الدرس الثاني: منصفا الزاوية والأجزاء المتناسبة

١) في الشكل المقابل: $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ. أكمل:

أ) $\frac{ب ء}{ء \mathrm{جـ}}$ = .....

$\frac{ب ء}{ء \mathrm{جـ}}$ = $\frac{ب أ}{أ \mathrm{جـ}}$

ب) $\frac{أ \mathrm{جـ}}{أ ب}$ = .....

$\frac{أ \mathrm{جـ}}{أ ب}$ = $\frac{ء \mathrm{جـ}}{ء ب}$

جـ) $\frac{ب ء}{ب أ}$ = .....

$\frac{ب ء}{ب أ}$ = $\frac{ء \mathrm{جـ}}{أ \mathrm{جـ}}$

د) أ ب × جـ ء = .....

أ ب × جـ ء = ب ء × ب أ

٢) في كل من الأشكال التالية، أوجد قيمة س (الأطوال مقدرة بالسنتمترات)

أ)

$\frac{س + \mathrm{٣}}{\mathrm{٥},\mathrm{١٧}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٠}}$

س + ٣ = $\frac{\mathrm{٨} \times \mathrm{٥},\mathrm{١٧}}{\mathrm{١٠}}$

س = $\frac{\mathrm{٨} \times \mathrm{٥},\mathrm{١٧}}{\mathrm{١٠}}$ - ٣

س = ١١

ب)

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{١٢} + \mathrm{٤}}{\mathrm{٤}س -\mathrm{١}}$

١٦س - ٤ = ٦٠

١٦س = ٦٤

س = ٤

جـ)

$\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{١٠}س + \mathrm{٤}}{\mathrm{٩}س + \mathrm{٢}}$

٥٤س = ١٢ = ٥٠س + ٢٠

٥٤س - ٥٠ س = ٣٠ -١٢

٤س = ٨

س = ٢

د)

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٥}س + \mathrm{٢}}{\mathrm{٩}}$

١٥س + ٦ = ٣٦

١٥س = ٣٠

س = ٢

٣) أ ب جـ مثلث محيطه ٢٧سم، رسم $\underset{ب ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ب ويقطع $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ في ء. إذا كان أ ء = ٤سم، جـ ء = ٥سم، أوجد طول كل من $\overline{أ ب}$، $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، $\overline{أ ء}$

أ ب + ب جـ = ٢٧ - ٩ = ١٨

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}=\frac{س}{\mathrm{١٨} -س}$

٥س = ٧٢ - ٤س

٩س = ٧٢

س = $\frac{\mathrm{٧٢}}{\mathrm{٩}}$

ب ء = $\sqrt{\mathrm{٨} \times \mathrm{١٠} - \mathrm{٤} \times \mathrm{٥}}$

٤) في كل من الأشكال التالية أوجد قيمة س، ثم أوجد محيط $△$ أ ب جـ.

أ)

$\frac{س}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٧}}$

س = ٤

ب)

ء جـ = $\sqrt{{\mathrm{٥٠}}^{\mathrm{٢}} - {\mathrm{٣٠}}^{\mathrm{٢}}}$ = ٤٠

$\frac{س}{\mathrm{٤٠} - س}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$

٣س = ٢٠٠ - ٥س

٨س = ٢٠٠

س = ٢٥

جـ)

$\frac{\mathrm{٤}}{س}=\frac{\mathrm{٦}}{س + \mathrm{٣}}$

٦س = ٤س + ١٢

٢س = ١٢

س = ٦

٥) أ ب جـ مثلث فيه أ ب = ٨ سم، أ جـ = ٤سم، ب جـ = ٦سم، رسم $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ ويقطع $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ في ء. ورسم $\underset{أ \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ الخارجة ويقطع $\underset{ب \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ في هـ أوجد طول كل من $\overline{ء \mathrm{هـ}}$، $\overline{أ ء}$، $\overline{أ \mathrm{هـ}}$.

$\frac{\mathrm{٦} - س}{س}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١}}$

٢س = ٦ - س

٣س = ٦

س = ٢

$\frac{ب \mathrm{هـ}}{\mathrm{هـ} \mathrm{جـ}}=\frac{ب أ}{أ \mathrm{جـ}}$

$\frac{\mathrm{٦} + ص}{ص}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١}}$

٢ص = ٦ + ص

ص = ٦

ء هـ = ء جـ + جـ هـ = س + ص

ء هـ = ٢ + ٦ = ٨

‌ أ ء منصف داخلي أ ء = $\sqrt{\mathrm{٨} \times \mathrm{٤} - \mathrm{٤} \times \mathrm{٢}}$

أ هـ منصف خارجي أ هـ = $\sqrt{\mathrm{١٢} \times \mathrm{٦} - \mathrm{٨} \times \mathrm{٤}}$

٦) في كل من الأشكال التالية: أثبت أن $\overline{س ص}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

أ)

في المثلث أ ء جـ

ء ص سنصف $\angle$ ء

$\frac{أ ص}{ص \mathrm{جـ}}=\frac{أ ء}{ء \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

$\frac{أ س}{س ب}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

إذاً $\frac{أ س }{س ب}=\frac{أ ء}{ء \mathrm{جـ}}$

إذاً $\overline{س ص}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

ب)

$\overline{ء س}$ ينصف $\angle$ جـ ء أ

إذاً $\frac{\mathrm{جـ} س}{س أ}=\frac{\mathrm{جـ} ء}{ء أ}$

بما أن $\overline{ء ص}$ ينصف $\angle$ أ ء ب

$\frac{ب ص}{ص أ}=\frac{ء ب}{ء أ}$

جـ ء = ب ء معطى.

إذاً $\frac{ء ب}{ء أ}=\frac{\mathrm{جـ} ء}{ء أ}$

إذاً $\frac{\mathrm{جـ} س}{س أ}=\frac{\mathrm{جـ} ء}{ء أ}$

هذا شرط التوازي

٧) في كل من الأشكال التالية، أثبت أن $\underset{ب \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ ب جـ

أ)

بما أن $\overline{ء \mathrm{هـ}}$ ينصف $\angle$ ء

إذاً $\frac{أ \mathrm{هـ}}{\mathrm{هـ} \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{٤٢}}{\mathrm{٢٨}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

$\frac{أ ب}{ب \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{٥٤}}{\mathrm{٣٦}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

$\frac{أ \mathrm{هـ}}{\mathrm{هـ} \mathrm{جـ}}$ = $\frac{أ ب}{ب \mathrm{جـ}}$ بما أن النسب متساوية إذاً $\underset{ب \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ ب جـ

ب)

ب جـ = $\sqrt{{\mathrm{٤٠}}^{\mathrm{٢}} + {\mathrm{٣٠}}^{\mathrm{٢}}}$ = ٥٠

أ ء = $\frac{\mathrm{٤٠} \times \mathrm{٣٠}}{\mathrm{٥٠}}$ = ٢٤سم.

ء ب = $\sqrt{{\mathrm{٣٠}}^{\mathrm{٢}} + {\mathrm{٢٤}}^{\mathrm{٢}}}$ = ١٨

$\frac{ء \mathrm{هـ}}{\mathrm{هـ} أ}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

$\frac{ء ب}{أ ب}=\frac{\mathrm{١٨}}{\mathrm{٣٠}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

بما أن النسب متساوية إذاً $\underset{ب \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ ب جـ

٨) في الشكل المقابل: $\overline{\mathrm{هـ} ء}$ // $\overline{س ص}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، أ ء × ب س = أ جـ × هـ س. أثبت أن $\underset{أ ص}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ جـ أ ء.

من المعطيات أ ء × ب س = أ جـ × هـ س

$\frac{أ ء}{أ \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{هـ} س}{ب س}$ (١)

إذاً $\frac{\mathrm{هـ} س}{ء ص}=\frac{س ب}{\mathrm{جـ} ص}$

إذاً $\frac{\mathrm{هـ} س}{س ب}=\frac{ء ص}{ص \mathrm{جـ}}$ (٢)

من ١) و ٢)

$\frac{\mathrm{هـ} س}{س ب}$ =$\frac{\mathrm{هـ} س}{ب س}$

إذاً $\frac{أ ء}{أ \mathrm{جـ}}$ = $\frac{ء ص}{ص \mathrm{جـ}}$

إذاً $\underset{أ ص}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ جـ أ ء.

٩) أ ب جـ مثلث $\in$ $\underset{ب \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$، ء $\notin$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ حيث جـ ء = أ ب. رسم $\underset{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ // $\overline{أ ء}$ ويقطع $\overline{أ ب}$ في هـ، ورسم $\underset{\mathrm{هـ} و}{\leftarrow }$ // $\underset{ب \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ ويقطع $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ في و أثبت أن $\underset{ب و}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ ب جـ

شرط الإثبات تحقق العلاقة $\frac{أ و}{و \mathrm{جـ}}=\frac{أ ب}{ب \mathrm{جـ}}$

بما أن $\overline{\mathrm{جـ} أ}// \overline{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$

$\frac{\mathrm{جـ} د}{\mathrm{جـ} ب}=\frac{أ \mathrm{هـ}}{\mathrm{هـ} ب}$

بما أن أ ب = جـ ء

$\frac{أ ب}{\mathrm{جـ} ب}=\frac{أ \mathrm{هـ}}{\mathrm{هـ} ب}$ (١)

بما أن $\overline{\mathrm{هـ} و}//\overline{ب \mathrm{جـ}}$

$\frac{أ \mathrm{هـ}}{\mathrm{هـ} ب}=\frac{أ و}{و \mathrm{جـ}}$ (٢)

من ١) و٢) ينتج

$\frac{أ ب}{\mathrm{جـ} ب}$ = $\frac{أ و}{و \mathrm{جـ}}$ وهو المطلوب

١٠) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث فيه أ ب = ٦سم، أ جـ = ٩سم، ب جـ = ١٠سم. ء $\in$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ بحيث ب ء = ٤سم. رسم $\underset{ب \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ $\perp$ $\overline{أ ء}$ ويقطع $\overline{أ ء}$، $\overline{أ ب}$ في هـ، و على الترتيب.

أ) أثبت أن $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ.

$\frac{ب ء}{ء \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

$\frac{ب أ}{أ \mathrm{جـ}}$ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

بما أن النسب متساوية إذاً $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ.

ب) أوجد مـ ($△$ أ ب و) : مـ ($△$ جـ ب و)

$△$ أ ب و

$\underset{أ \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ

$\overline{أ \mathrm{هـ}}\perp \overline{ب و}$

إذاً المثلث متساوي الساقين

إذاً أ ب = أ و

النسبة بين مساحتي مثلثين لهما نفس الارتفاع تساوي النسبة بين قاعدتيهما

بما أن المثلثين لما نفس الرأس أي لهما نفس الارتفاع.

النسبة بين المساحتين تساوي النسبة بين القاعدتين

$\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١}}$