الدرس الثالث: حل معادلتين في متغيرين إحداهما من الدرجة الأولى والأخرى من الرجة الثانية

أولاً: اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة:

١) مجموعة الحل للمعادلتين س - ص = ٠، س ص = ٩ هي:

أ) {(٠، ٠)}

ب) {(-٣، -٣)}

جـ) {(٣، ٣)}

د) {(-٣، -٣)، (٣، ٣)}

٢) أحد حلول المعادلتين: س - ص = ٢، س^٢ + ص^٢ = ٢٠ هو:

أ) (-٤، ٢)

ب) (٢، -٤)

جـ) (٣، ١)

د) (٤، ٢)

٣) عددان موجبان مجموعهما ٧، حاصل ضربها ١٢ فإن العددين هما:

أ) ٢، ٥

ب) ٢، ٦

جـ) ٣، ٤

د) ١، ٦

ثانياً:

١ ) أوجد مجموعة حل كل من المعادلات الآتية:

أ) ص - س = ٢، س^٢ + س ص - ٤ = ٠

ص - س = ٢ (١)

س^٢ - س ص - ٤ = ٠ (٢)

نعوض من ١) في ٢

س^٢ + س (س + ٢) - ٤ = ٠

س^٢ + س^٢ +٢س - ٤ = ٠

٢س^٢ +٢س - ٤ = ٠ نقسم على ٢

س^٢ +س - ٢ = ٠

(س + ٢) (س - ١) = ٠

س = -٢، ص = س + ٢ $\Leftarrow$ ص = -٢ + ٢ $\Leftarrow$ ص = ٠ (-٢، ٠)

س = +١، ص = ٣ (١، ٣)

م. ح = {(-٢، ٠)، (١، ٣)}

ب) س + ٢ص = ٤، س^٢ + س ص + ص^٢ = ٧

س = ٤ - ٢ص (١)

س^٢ + س ص + ص^٢ = ٧ (٢)

(٤ - ٢ص)^٢ + (٤ - ٢ص) × ص + ص^٢ = ٧

١٦ - ١٦ص + ٤ص^٢ + ٤ص -٢ص^٢ + ص^٢ = ٧

٣ص^٢ -١٢ص + ١٦ - ٧ = ٠

٣ص^٢ -١٢ص + ٩ = ٠ نقسم على ٣

ص^٢ -٤ص + ٣ = ٠

(ص - ١) (ص - ٣) = ٠

ص = ١ $\Leftarrow$ س = ٤ - ٢ × ١ $\Leftarrow$ س = ٢

ص = ٣ $\Leftarrow$ س = ٤ - ٢ × ٣ $\Leftarrow$ س = -٢

م. ح = {(٢، ١)، (-٢، ٣)}

جـ) س - ٢ص - ١ = ٠، س^٢ + س ص = ٠

س = ٢ص + ١ (١)

س^٢ + س ص = ٠ (٢)

(٢ص + ١)^٢ - (٢ص + ١) × ص = ٠

٤ص^٢ + ٤ص + ١ - ٢ص^٢ - ص = ٠

(٢ص + ١) (ص + ١) = ٠

٢ص = -١ $\Leftarrow$ ص = $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، س = ٢ × -١ + ١ $\Leftarrow$ س = -١ + ١ = ٠

ص = -١ $\Leftarrow$ س = ٢ × -١ + ١ $\Leftarrow$ س = -١

م. ح = {(٠، $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)، (-١، -١)}

د) ص + ٢س = ٧، ٢س^٢ + س + ٣ص = ١٩

ص = ٧ - ٢س (١)

٢س^٢ + س + ٣ص = ١٩ (٢)

نعوض من ١) في ٢)

٢س^٢ + س + ٣ (٧ - ٢س) = ٠

٢س^٢ + س + ٢١ - ٦س - ١٩ = ٠

٢س^٢ -٥س + ٢ = ٠

(٢س - ١) (س - ٢) = ٠

٢س = ١، س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ $\Leftarrow$ ص = ٧ - ٢ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ص = ٦

س = ٢ $\Leftarrow$ ص = ٧ - ٢ × ٢ $\Leftarrow$ ص = ٣

م. ح = {($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، ٦)، (٢، ٣)}

هـ) س - ص = ١٠، س^٢ - ٤ س ص + ص^٢ = ٥٢

س = ١٠ + ص = ص + ١٠ (١)

س^٢ - ٤ س ص + ص^٢ = ٥٢ (٢)

(ص + ١٠)^٢ - ٤ (ص + ١٠) × ص + ص^٢ = ٥٢

ص^٢ + ٢ص + ١٠٠ - ٤ص - ٤٠ + ص^٢ = ٥٢

-٢ص^٢ - ٢٠ص + ١٠٠ - ٥٢ = ٠

-٢ص^٢ - ٢٠ص + ٤٨ = ٠ نقسم على - ٢

ص^٢ + ١٠ ص - ٢٤ = ٠

(ص + ١٢) (ص - ٢) = ٠

ص = -١٢ $\Leftarrow$ س = ١٠ + (-١٢) $\Leftarrow$ س = -٢

ص = ٢ $\Leftarrow$ س = + ٢ + ١٠ $\Leftarrow$ س = ١٢

م. ح = {(-٢، -١٢)، (١٢، ٢)}

و) س + ص = ٢، $\frac{\mathrm{١}}{س}$ + $\frac{\mathrm{١}}{ص}$ = ٢ حيث (س، ص $\ne$ ٠)

س = ٢ - ص (١)

$\frac{\mathrm{١}}{س}$ + $\frac{\mathrm{١}}{ص}$ = ٢ نضرب ب س ص

ص + س = ٢س ص

٢ = ٢س ص نقسم على ٢

س ص = ١ (٢)

(٢ - ص) × ص = ١

٢ص - ص^٢ = ١

- ص^٢ + ٢ص - ١ = ٠

ص^٢ - ٢ص + ١ = ٠

(ص - ١) (ص - ١) = ٠

ص = ١ $\Leftarrow$ س = ٢ - ١ = ١

م. ح = {(١، ١)}

٢) عدد مكون من رقمين رقم آحاده ضعف رقم عشراته، فإذا كان حاصل ضرب الرقمين يساوي نصف العدد الأصلي، فما هو العدد؟

س آحاد، ص عشرات

س = ٢ص (١)

س × ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ (س + ١٠ص)

٢ص × ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ (٢ص + ١٠ص)

٢ص^٢ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١٢ص

٢ص^٢ = ٦ص

٢ص^٢ - ٦ص = ٠

٢ص (ص - ٣) = ٠

٢ص = ٠، ص = ٠ $\Leftarrow$ س = ٠

ص = ٣ $\Leftarrow$ س = ٢ × ٣ = ٦

العدد ٣٦

٦ × ٣ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٣٦

١٨ = ١٨ الجواب صحيح

٣) مستطيل يزيد طوله عن عرضه بمقدار ٣ سم، ومساحته ٢٨ سم^٢. أوجد محيطه.

الطول س سم، العرض ص سم

س - ص = ٣، س ص = ٢٨ (٢)

س = ٣ + ص (١)

نعوض من ١) في ٢)

(٣ + ص) × ص = ٢٨

٣ص + ص^٢ = ٢٨

ص^٢ + ٣ص - ٢٨ = ٠

(ص + ٧) (ص - ٤) = ٠

ص = - ٧ مرفوض

ص = ٤ $\Leftarrow$ س = ٣ + ٤ = ٧

محيط المستطيل = (٧ + ٤) × ٢

= ١١ × ٢

= ٢٢ سم

٤) مثلث قائم الزاوية طول وتره ١٣ سم، محيطه يساوي ٣٠ سم. أوجد طول ضلعي القائمة.

س + ص + ١٣ = ٣٠

س + ص = ١٧ $\Leftarrow$ ص = ١٧ - س (١)

س^٢ + ص^٢ = (١٣)^٢

س^٢ + ص^٢ = ١٦٩ (٢)

س^٢ + (١٧ - س)^٢ = ١٦٩

س^٢ + ٢٨٩ - ٣٤س + س^٢ - ١٦٩ = ٠

٢س^٢ - ٣٤س + ١٢٠ = ٠ (نقسم على ٢)

س^٢ - ١٧س + ٦٠ = ٠

(س - ٥) (س - ١٢) = ٠

س = ٥ $\Leftarrow$ ص = ١٧ - ٥ = ١٢

س = ١٢ $\Leftarrow$ ص = ١٧ - ١٢ = ٥

ضلعي القاعدة ٥، ١٢

١٢، ٥

٥) معين الفرق بين طولي قطريه ٤سم، ومحيطه يساوي ٤٠ سم. أوجد طول كل من قطريه.

س - ص = ٤ س > ص

($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$س)^٢ + ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ص)^٢ = ١٠٠

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ س^٢ + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ ص^٢ = ١٠٠ (× ٤)

س^٢ + ص^٢ = ٤٠٠ (٢)

س = ص + ٤ (١) نعوض من ١) في ٢)

(ص + ٤)^٢ + ص^٢ = ٤٠٠

ص^٢ + ٨ص + ١٦ + ص^٢ = ٤٠٠

٢ص^٢ + ٨ص + ١٦ - ٤٠٠ = ٠

٢ص^٢ + ٨ص - ٣٨٤ = ٠ (نقسم على ٢)

ص^٢ + ٤ص - ١٩٢ = ٠

(ص - ١٢) (ص + ١٦) = ٠

ص = ١٢ $\Leftarrow$س = ص + ٤ = ١٦

ص = - ١٦ مرفوض.

طول كل من قطريه ١٦، ١٢

٦) تتحرك نقطة على المستقيم ٥س - ٢ص = ١ بحيث كان إحداثيها الصادي ضعف مربع إحداثيها السيني. أوجد إحداثي هذه النقطة.

ص = ٢س^٢ (١)

٥س - ٢ص = ١ (٢)

٥س - ٢ (٢س^٢) = ١

٥س - ٤س^٢ = ١

٤س^٢ - ٥س + ١ = ٠

(٤س - ١) (س - ١) = ٠

٤س = ١، س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ $\Leftarrow$ ص = ٢ × س^٢ = ٢ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٦}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}$

س = ١ $\Leftarrow$ ص = ٢ × ١ = ٢

م. ح = {($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}$)، (١، ٢)}