الدرس الثاني: تساوي مساحتي مثلثين

أولاً:

١) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث، س $\in$ $\overline{أب}$، ص $\in$ $\overline{أ\mathrm{جـ}}$، $\overline{سص}$ // $\overleftrightarrow{ب\mathrm{جـ}}$

أكمل: مساحة $△$ س م ص = مساحة .....

= مساحة $△$ س د ص

مساحة الشكل أ س م ص = مساحة ..... لماذا؟

= $△$ أ س جـ

٢) في كل من الأشكال التالية بين أن الأشكال المظللة متساوية المساحة (استعن بالمعطيات على الرسم):

أ)

$\overline{بء}$ توازي $▱$ أ ب جـ ء

$\therefore$ م ($△$ ء ب جـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ م ($▱$ أ ب جـ ء) (١)

$\because$ $△$ $△$ ء ب جـ، ء هـ و قواعدهما متساوية في الطول (ب جـ = هـ و) وعلى استقامة واحدة. ولهما رأس مشتركة (النقطة ء)

$\therefore$ م ($△$ ء هـ و) = م ($△$ ء ب جـ) (٢)

من ١) و٢)

م ($△$ ء هـ و) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ م ($▱$ أ ب جـ ء) (٣)

$\because$ $△$ أ ب س، $▱$أ ب جـ ء مشتركان في القاعدة $\overline{أب}$، $\overline{أب}$// $\overline{\mathrm{جـ}ء}$

$\therefore$ م ($△$ أ ب س) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ م ($▱$ أ ب جـ ء) (٤)

من ٣) و٤)

$\therefore$ ($△$ أ ب س) = م ($△$ ء هـ و)

ب)

$\because$ $△△$ أ ب جـ، ء ب جـ مشتركان في القاعدة $\overline{ب\mathrm{جـ}}$، $\overline{أء}//\overline{ب\mathrm{جـ}}$

$\therefore$ م ($△$ أ ب جـ) = م ($△$ ء ب جـ)

بحذف م ($△$ م ب جـ) من الطرفين.

$\therefore$ م ($△$ أ م ب) = م ($△$ ء م جـ) (١)

$\because$ $△$ $△$ أ م س، ء م ص قواعدهما متساوية في الطول (أ ء = ء ص) وعلى استقامة واحدة.

ولهما رأس مشتركة (النقطة م)

$\therefore$ م ($△$ أ م س) = م ($△$ ء م ص) (٢)

بإضافة ١) إلى ٢)

$\therefore$ م الشكل أ م ب س = م الشكل ء جـ م ص

جـ)

$\because$ $△△$ أ ب جـ، ء ب جـ مشتركان في القاعدة $\overline{ب\mathrm{جـ}}$، $\overline{ب\mathrm{جـ}}$ // $\overline{أء}$

$\therefore$ م ($△$ أ ب جـ) = م ($△$ ء ب جـ)

بحذف م ($△$ م ب جـ) من الطرفين

$\therefore$ م ($△$ أ م ب) = م ($△$ ء م جـ) (١)

$\because$ $\overline{أب}$ متوسط في $△$ أ ص م

$\therefore$ م ($△$ أ م ن) = م ($△$ أ ص ب) (٢)

$\because$ $\overline{ء\mathrm{جـ}}$ متوسط في $△$ ء م س

$\therefore$ م ($△$ ء م جـ) = م ($△$ ء س جـ) (٣)

من ١) و٢) و٣)

$\therefore$ م ($△$ أ ب ص) = م ($△$ ء جـ س)

د)

$\because$ $△$ أ ب جـ، ء ب جـ

مشتركان في القاعدة $\overline{ب\mathrm{جـ}}$، $\overline{ب\mathrm{جـ}}$ // $\overline{أء}$

$\therefore$ م ($△$ أ ب جـ) = م ($△$ ء ب جـ)

بحذف م ($△$ م ب جـ) من الطرفين

$\therefore$ م ($△$ أ م ب) = م ($△$ ء م جـ) (١)

$\because$ $\overline{م\mathrm{هـ}}$ متوسط في $△$ أ م ب

$\therefore$ م ($△$ أ م هـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ م ($△$ أ م ب) (٢)

$\because$ $\overline{ءن}$ متوسط في $△$ ء م جـ

$\therefore$ م ($△$ ء ن جـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ م ($△$ ء م جـ) (٣)

من ١) و٢) و٣)

$\therefore$ م ($△$ أ هـ م) = م ($△$ ء جـ ن)

هـ)

$\because$ $△$ أ ء جـ، ب ء جـ

مشتركان في القاعدة $\overline{ء \mathrm{جـ}}$، $\overline{ء \mathrm{جـ}}$ // $\overline{أ ب}$

$\therefore$ م ($△$ أ ء جـ) = م ($△$ ب ء جـ) (١)

$\because$ $\overline{ء ب}$ متوسط في $△$ ء هـ جـ

$\therefore$ م ($△$ أ م هـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ م ($△$ أ م ب) (٢)

$\because$ $\overline{ءن}$ متوسط في $△$ ء م جـ

$\therefore$ م ($△$ ء ب جـ) = م ($△$ ء ب هـ) (٢)

من ١) و٢)

$\therefore$ م ($△$ أ جـ ء) = م ($△$ ء هـ ب)

و)

$\because$ $△$ أ س و، جـ ص و

قواعدهما متساوية في الطول (س و = ص و) و على استقامة واحدة

$\overline{أ \mathrm{جـ}}$ // $\overline{س ص}$

$\therefore$ م ($△$ أ س و) = م ($△$ جـ ص و) (١)

$\because$ $\overline{ب و}$ متوسط في $△$ ب س ص

$\therefore$ م ($△$ ب س و) = م ($△$ ب ص ء) (٢)

بجمع ١) و٢)

م ($△$ أ ب و) = م ($△$ ب جـ و)

٣) في كل من الأشكال التالية المثلثات الملونة لها نفس المساحة فسر لماذا يكون $\overline{أء}$ // $\overline{ب\mathrm{جـ}}$؟

أ)

$\because$ ($△$أ م ب) = م ($△$ ء م جـ)

بإضافة م ($△$ أ م ء) للطرفين

$\therefore$ م ($△$ أ ب ء) = م ($△$ أ جـ ء)

وهما مشتركان في القاعدة $\overline{أ ء}$ وفي نفس الجهة

ومنها $\overline{أء}$ // $\overline{ب\mathrm{جـ}}$

ب)

$\because$ ($△$أ م ب) = م ($△$ ء م جـ) (١)

$\because$ $△$ $△$ أ س م، ء ص م قواعدهما متساوية في الطول (أ س = ء ص) وعلى استقامة واحدة ولهما رأس مشتركة (النقطة م)

$\therefore$ م ($△$ أ س م) = م ($△$ ء ص م) (٢)

بطرح ٢) من ١)

م ($△$ أ س ب) = م ($△$ ء ص جـ) وهما قواعدهما متساوية في الطول (أ س = ء ص) وعلى استقامة واحدة وفي الجهة نفسها.

$\therefore$ $\overline{أء}$ // $\overline{ب\mathrm{جـ}}$

جـ)

$\because$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ قطران في $▱$ أ ب هـ جـ

$\therefore$ م ($△$ أ ب جـ) = م ($△$ ب هـ جـ) (١)

$\therefore$ م ($△$ ء ب جـ) = م ($△$ ب هـ جـ) (٢)

من ١) و٢)

$\therefore$ م ($△$ ء ب جـ) = م ($△$ أ ب جـ)

وهما مشتركان في القاعدة $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ وفي نفس الجهة منها $\overline{أء}$ // $\overline{ب\mathrm{جـ}}$

٤) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء شكل رباعي، س منتصف $\overline{أء}$ ص منتصف $\overline{ب\mathrm{جـ}}$ بحيث كان: مساحة الشكل أ ب ص س = مساحة الشكل ء جـ ص س

برهن أن: $\overline{أ ء}$ // $\overline{ب\mathrm{جـ}}$

إرشاد للحل: ارسم $\overline{بس}$، $\overline{\mathrm{جـ}س}$ في $△$ س ب جـ، $\overline{سص}$ متوسط ماذا تستنتج؟ مساحة $△$ أ س ب = مساحة ..... لماذا؟ $\overline{أء}$ // $\overline{ب\mathrm{جـ}}$ لماذا؟

$\because$ م الشكل أ ب ص س = م الشكل ء جـ ص س (١)

$\because$ $\overline{ص س}$ متوسط في $△$ ص ب جـ

$\therefore$ م ($△$ ص ب س) = م ($△$ ص جـ س) (٢)

بطرح ٢) من ١)

$\therefore$ م ($△$ أ ب ص) = م ($△$ ء جـ ص)

وهما مثلثان قواعدهما متساوية وعلا استقامة واحدة ومحصوران بين مستقيمين أحدهما يحمل القاعدتين

$\therefore$ $\overline{أ ء}$ // $\overline{ب\mathrm{جـ}}$

ثانياً:

١) في الشكل المقابل: $\overleftrightarrow{أء}//\overleftrightarrow{ب\mathrm{جـ}}$، هـ $\in$ $\underset{ب\mathrm{جـ}}{\leftarrow }$، $\overleftrightarrow{أ\mathrm{جـ}}//\underset{ء\mathrm{هـ}}{\leftarrow }$، $\overline{أ\mathrm{جـ}}\cap \overline{بء}$ = {م}

برهن أن:

٢) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء متوازي أضلاع، هـ $\in$ $\underset{\mathrm{جـ}ب}{\leftarrow }$ حيث ب جـ = ب هـ برهن أن: مساحة $△$و هـ جـ = مساحة $▱$ أ ب جـ ء

$\because$ $△$ و ب جـ، $▱$ أ ب جـ ء مشتركان في القاعدة $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، و $\in$ $\overline{أ ء}$ (محصوران بين مستقيمين متوازيين)

$\therefore$ م ($△$ و ب جـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ (م $▱$ أ ب جـ ء) (١)

$\because$ $\overline{و ب}$ متوسط في $△$ و هـ جـ

$\therefore$ م ($△$ و ب جـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ (م $△$ و هـ جـ)

من ١) و ٢)

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ (م $▱$ أ ب جـ ء) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ (م $△$ و هـ جـ)

$\therefore$ (م $▱$ أ ب جـ ء) = (م $△$ و هـ جـ)

٣) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء شكل رباعي فيه $\overline{أء}$ // $\overline{ب\mathrm{جـ}}$، هـ $\in$ $\underset{ب\mathrm{جـ}}{\leftarrow }$، $\overline{أ\mathrm{جـ}}$ $\cap$ $\overline{بء}$ = {م}

مساحة $△$ أ ب م = مساحة $△$ هـ جـ م.

برهن أن: $\overline{ء\mathrm{هـ}}//\overleftrightarrow{أ\mathrm{جـ}}$

$\therefore$ $△$ $△$ أ ب جـ، ء ب جـ

مشتركان في القاعدة $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، $\overline{أ ء}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ م ($△$ أ ب جـ) = م ($△$ ء ب جـ)

بحذف م ($△$ م ب جـ) من الطرفين.

$\therefore$ م ($△$ أ ب م) = م ($△$ ء م جـ)

$\because$ م ($△$ أ ب م) = م ($△$ هـ جـ م)

$\therefore$ م ($△$ أ ب جـ) = م ($△$ ء م جـ)

وهما مثلثان مشتركان في القاعدة م جـ، وفي جهة واحدة

$\therefore$ $\overline{ء\mathrm{هـ}}// \overline{ م \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ $\overline{ء\mathrm{هـ}}//\overleftrightarrow{أ\mathrm{جـ}}$

٤) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء شكل رباعي تقاطع قطراه في م، هـ $\in$$\overline{بم}$ حيث م هـ = م ء، مساحة $△$ أ م ب = مساحة $△$ جـ م هـ

برهن أن: $\overline{أء}//\overline{ب\mathrm{جـ}}$

$\because$ $\overline{\mathrm{جـ} م}$ متوسط في $△$ ء جـ هـ

$\therefore$ م ($△$ ء جـ م) = م ($△$ جـ هـ م) (١)

$\because$ م ($△$ أ م ب) = م ($△$ جـ هـ م) (٢)

من ١) و ٢)

$\therefore$ م ($△$ أ م ب) = م ($△$ ء م جـ)

بإضافة م ($△$ أ م ء)

$\therefore$ م ($△$ أ ب ء) = م ($△$ أ جـ ء) وهما مثلثان مشتركان في القاعدة أ ء، وفي جهة واحدة

$\therefore$ $\overline{أء}//\overline{ب\mathrm{جـ}}$