الدرس الأول: النسب المثلثية الأساسية للزاوية الحادة

١) في الشكل المقابل: أكمل

في المثلث س ع ص قائم في ع

ص س = $\sqrt{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}} + {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}}}$ = ٥ سم.

أ) جا س = ............

جا س = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

ب) جتا س = ............

جتا س = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$

جـ) ظا س = ............

ظا س = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

د) جتا ص = ............

جتا ص = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

هـ) ظا ص = ............

ظا ص = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$

و) جا ص = ............

جا ص = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$

٢) إذا كانت النسبة بين قياسي زاويتين متتامتين كنسبة ٣ : ٥ فأوجد مقدار كل منهما بالقياس الستيني.

الأولى : الثانية : المجموع

٣ : ٥ : ٨

س : ص : ٩٠

س = $\frac{\mathrm{٣} \times \mathrm{٩٠}}{\mathrm{٨}}$ = ٠ً ٤٥َ ٣٣°

ص = $\frac{\mathrm{٥} \times \mathrm{٩٠}}{\mathrm{٨}}$ = ٠ً ١٥َ ٥٦°

٣) إذا كانت النسبة بين قياسي زاويتين متكاملتين كنسبة ٣ : ٥ فأوجد مقدار كل منهما بالقياس الستيني.

الأولى : الثانية : المجموع

٣ : ٥ : ٨

س : ص : ١٨٠

س = $\frac{\mathrm{٣} \times \mathrm{١٨٠}}{\mathrm{٨}}$ = ٠ ً ٣٠ َ ٦٧°

ص = $\frac{\mathrm{٥} \times \mathrm{١٨٠}}{\mathrm{٨}}$ = ٠ ً ٨٠ َ ١١٢°

٤) إذا كنت النسبة بين قياسات زوايا كنسبة ٣ : ٤ : ٧ فأوجد القياس الستيني لكل زاوية من زواياه.

الأولى : الثانية : الثالثة : المجموع

٣ : ٤ : ٧ : ١٤

س : ص : ع : ١٨٠

س = $\frac{\mathrm{٣} \times \mathrm{١٨٠}}{\mathrm{١٤}}$ = ١٧ ً ٣٤ َ ٣٨°

ص = $\frac{\mathrm{٤} \times \mathrm{١٨٠}}{\mathrm{١٤}}$ = ٤٣ ً ٢٥ َ ٥١°

ع = $\frac{\mathrm{٧} \times \mathrm{١٨٠}}{\mathrm{١٤}}$ = ٠ ً ٠ َ ٩٠°

٥) أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في ب فيه أ ب = ٨ سم، ب جـ = ١٥ سم، اكتب ما تساويه كل من النسب المثلثية الآتية: جا حـ، جتا أ، جتا حـ، ظا حـ.

في المثلث أ ب جـ قائم في ب

أ جـ = $\sqrt{{\mathrm{١٥}}^{\mathrm{٢}} + {\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}}}$ = ١٧

جا جـ = $\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٧}}$

جتا أ = $\frac{\mathrm{المجاور}}{\mathrm{المجاور}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٧}}$

جتا جـ = $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{١٧}}$

ظا جـ = $\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{المجاور}}$ = $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٥}}$

٦) أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في ب، فإذا كان ٢ أ ب = $\sqrt{\mathrm{٣}}$ أ جـ فأوجد النسب المثلثية الأساسية للزاوية جـ.

٢ أ ب = $\sqrt{\mathrm{٣}}$ أ جـ

$\frac{أ ب}{أ \mathrm{جـ}}=\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$

ب جـ = $\sqrt{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}} - (\sqrt{\mathrm{٣}{)}^{\mathrm{٢}}}}$ = ١

جا جـ = $\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$

جتا جـ = $\frac{\mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

ظا جـ = $\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{المجاور}}=\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{١}}$ = $\sqrt{\mathrm{٣}}$

٧) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث ق ($\angle$ أ) = ٩٠°، أ جـ = ١٥ سم، أ ب = ٢٠ سم

أثبت أن: جتا جـ جتا ب - جا جـ جا ب = صفر

في المثلث أ ب جـ قائم في أ

ب جـ $\sqrt{{\mathrm{٢٠}}^{\mathrm{٢}} + {\mathrm{١٥}}^{\mathrm{٢}}} = \sqrt{\mathrm{٦٢٥}}$ = ٢٥ سم.

جتا جـ جتا ب - جا جـ جا ب = $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٢٥}}\times \frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{٢٥}}-\frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{٢٥}}\times \frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٢٥}}$

= ٠

٨) س ص ع مثلث قائم الزاوية في ص فيه س ص = ٥ سم، س ع = ١٣ سم

أوجد قيمة:

في المثلث س ص ع قائم في ص

ص ع = $\sqrt{{\mathrm{١٣}}^{\mathrm{٢}} - {\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}}}$ = ١٢ سم

أ) ظا س + ظا ع

ظا س + ظا ع = $\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٥}}+\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٢}} =\frac{\mathrm{١٦٩}}{\mathrm{٦٠}}$

ب) جتا س جتا ع - جا س جا ع

جتا س جتا ع - جا س جا ع = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٣}}\times \frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{١٣}}-\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{١٣}}\times \frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٣}}$ = صفر.

جـ) جا س جتا ع + جتا س جا ع

جا س جتا ع + جتا س جا ع = $\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{١٣}}\times \frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{١٣}}-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٣}}\times \frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٣}}$ = ١

٩) س ص ع مثلث قائم الزاوية في ع، س ع = ٧ سم، س ص = ٢٥ سم، أوجد قيمة كل من:

في المثلث س ص ع قائم في ع

ع ص = $\sqrt{{\mathrm{٢٥}}^{\mathrm{٢}} - {\mathrm{٧}}^{\mathrm{٢}}}$ = ٢٤ سم

أ) ظا س × ظا ص

ظا س × ظا ص = $\frac{\mathrm{٢٤}}{\mathrm{٧}}\times \frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٢٤}}$ = ١

ب) جا^٢ س + جا^٢ ص

جا^٢ س + جا^٢ ص = ($\frac{\mathrm{٢٤}}{\mathrm{٢٥}}$)^٢ + ($\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٢٥}}$)^٢ = $\frac{\mathrm{٥٧٦}}{\mathrm{٦٢٥}}+\frac{\mathrm{٤٩}}{\mathrm{٦٢٥}}=\frac{\mathrm{٦٢٥}}{\mathrm{٦٢٥}}$ = ١

١٠) أ ب جـ ء شبه منحرف متساوي الساقين فيه $\overline{أ ء}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، أ ء = ٤سم، أ ب = ٥ سم، ب جـ = ١٢ سم

أثبت أن: $\frac{\mathrm{٥} \mathrm{ظا} ب \mathrm{جتا} \mathrm{جـ}}{{\mathrm{جا}}^{\mathrm{٢}} \mathrm{جـ} + {\mathrm{جتا}}^{\mathrm{٢}} ب}$ = ٢

العمل نرسم $\overline{أ س}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، $\overline{ء ص}\perp \overline{ب \mathrm{جـ}}$

الحل: $\overline{أ س}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، $\overline{ء ص}\perp \overline{ب \mathrm{جـ}}$

$\overline{أ س}$ // $\overline{ء ص}$، $\overline{أ ء}$ // $\overline{ء ص}$

إذاً الشكل أ س ص ء مستطيل

أ ء = س ص = ٤ سم، أ س = ء ص

$△$ أ س ب، $△$ ء ص جـ

أ ب = ء جـ

ق ($\angle$ أ س ب) = ق ($\angle$ ء ص جـ) = ٩٠°

أ س = ء ص

$\therefore$ $△$ أ س ب $\equiv$ $△$ ء ص جـ

وينتج من التطابق ب س = ص جـ = $\frac{\mathrm{١٢} - \mathrm{٤}}{\mathrm{٢}}$ = ٤ سم.

أ س = $\sqrt{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}} - {\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}}}$ = ٣ سم.

$\frac{\mathrm{٥} \mathrm{ظا} ب \mathrm{جتا} \mathrm{جـ}}{{\mathrm{جا}}^{\mathrm{٢}} \mathrm{جـ} + {\mathrm{جتا}}^{\mathrm{٢}} ب}$ = $\frac{\mathrm{٥} \times {\displaystyle \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}}\times {\displaystyle \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}}}{{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}}\right)}^{\mathrm{٢}}+ {\left({\displaystyle \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٣

١١) أ ب جـ مثلث فيه أ ب = أ جـ = ١٠ سم، ب جـ = ١٢ سم، رسم $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ $\cap$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ = {ء}

$\because$ أ ب = أ جـ، $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ ب ء = ء جـ = $\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٢}}$ = ٦ سم.

من فيثاغورث أ ء = $\sqrt{{\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٢}} - {\mathrm{٦}}^{\mathrm{٢}}}$ = ٨ سم.

أولاً: أوجد قيمة: جا ($\angle$ جـ أ ء)، جتا ($\angle$ جـ أ ء)، ظا ($\angle$ جـ أ ء)

جتا ($\angle$ جـ أ ء) = $\frac{\mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$

جا ($\angle$ جـ أ ء) = $\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

ظا ($\angle$ جـ أ ء) = $\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{المجاور}}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

ثانياً: أثبت أن:

أ) جا^٢ جـ + جتا^٢ جـ = ١

جا^٢ جـ + جتا^٢ جـ = ${\left(\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٠}}\right)}^{\mathrm{٢}}+{\left(\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١٠}}\right)}^{\mathrm{٢}}$= ١

ب) جا ب + جتا جـ > ١

جا ب + جتا جـ = $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٠}}+\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{١٤}}{\mathrm{١٠}}$ > ١