الدرس الثاني: النسب المثلثية الأساسية لبعض الزوايا

١) أكمل ما يأتي:

(١) إذا كانت جا س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ حيث س زاوية حادة فإن ق ($\angle$ س) = .......

جا س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

س= ٣٠°

(٢) إذا كانت جتا $\frac{س}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ حيث $\frac{س}{\mathrm{٢}}$ زاوية حادة فإن ق ($\angle$ س) = .......

جتا $\frac{س}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

$\frac{س}{\mathrm{٢}}$ = ٦٠°

س = ١٢٠°

(٣) جا ٦٠° + جتا ٣٠° - ظا ٦٠° = ........

$\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}+\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}-\sqrt{\mathrm{٣}}$ = ٠

(٤) إذا كانت ظ (س + ١٠) = $\sqrt{\mathrm{٣}}$ حيث س زاوية حادة فإن ق ($\angle$ س) = .......

ظ (س + ١٠) = $\sqrt{\mathrm{٣}}$

س + ١٠ = ٦٠°

س = ٦٠ - ١٠ = ٥٠°

(٥) إذا كانت ظا ٣س = $\sqrt{\mathrm{٣}}$ حيث س زاوية حادة فإن ق ($\angle$ س) = .......

ظا ٣س = $\sqrt{\mathrm{٣}}$

٣س = ٦٠°

س = ٢٠°

٢) أوجد قيمة المقدار التالي مبيناً خطوات العمل جا ٤٥° جتا ٤٥° + جا ٣٠° جتا ٦٠° - جتا^٢ ٣٠°

جا ٤٥° جتا ٤٥° + جا ٣٠° جتا ٦٠° - جتا^٢ ٣٠° = $\frac{\sqrt{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\sqrt{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}- {\left(\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}\right)}^{\mathrm{٢}}$

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ = صفر

٣) أثبت أن:

أ) جتا ٦٠° = ٢ جتا^٢ ٣٠° - ١

الطرف الأيمن = جتا ٦٠°

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ (١)

الطرف الأيسر = ٢ جتا^٢ ٣٠° - ١

= ٢ × ${\left(\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}\right)}^{\mathrm{٢}}$- ١

= $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ - ١

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ (٢)

من ١) و٢) الطرفان متساويان.

ب) ظا^٢ ٦٠° - ظا^٢ ٤٥° = جا^٢ ٦٠° + جتا^٢ ٦٠° + ٢ جا ٣٠°

الأيمن = ظا^٢ ٦٠° - ظا^٢ ٤٥°

= ($\sqrt{\mathrm{٣}}$)^٢ - (١)^٢

= ٣ - ١

= ٢

الأيسر = جا^٢ ٦٠° + جتا^٢ ٦٠° + ٢ جا ٣٠°

= ($\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$)^٢ + ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$)^٢ + ٢ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

= $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ + ١

= ٢ (٢)

من ١) و٢) الطرفان متساويان.

٤) أوجد قيمة س إذا كان: ٤س = جتا^٢ ٣٠° ظا^٢ ٣٠° ظا^٢ ٤٥°

٤س = ($\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$)^٢ × ($\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}}$)^٢ × (١)^٢

٤س = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × ١

٤س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ ÷ ٤

س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٦}}$

٥) أوجد هـ، حيث هـ زاوية حادة.

جا هـ = جا ٦٠° جتا ٣٠° - جتا ٦٠° جا ٣٠°

جا هـ = $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}} \times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

= $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

هـ = ٣٠°

٦) الربط بالهندسة: في الشكل المقابل: أ ب جـ ء مستطيل فيه أ ب = ١٥ سم، أ جـ = ٢٥ سم.

أوجد: أولاً: ق ($\angle$ أ جـ ب)

$\because$ أ ب جـ ء مستطيل

$\therefore$ م ($\angle$ ب) = ٩٠°

ب جـ = $\sqrt{{\mathrm{٢٥}}^{\mathrm{٢}} - {\mathrm{١٥}}^{\mathrm{٢}}}$ = ٢٠ سم.

جا ($\angle$ أ جـ ب) = $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٢٥}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

ق ($\angle$ أ جـ ب) = ١٢ ً ٥٢ َ ٣٦°

مساحة المستطيل = الطول × العرض

= ٢٠ × ١٥ = ٣٠٠ سم^٢.

ثانياً: مساحة سطح المستطيل أ ب جـ ء.

٧) الربط بالهندسة: في الشكل المقابل: أ ب جـ ء متوازي أضلاع مساحة سطحه ٩٦ سم^٢، ب هـ : هـ جـ = ١ : ٣

$\overline{أ \mathrm{هـ}}\perp \overline{ب \mathrm{جـ}}،$ أ هـ = ٨ سم

أوجد: أولاً: طول $\overline{أ ء}$

مساحة = طول القاعدة × الارتفاع

٩٦ = أ ء × ٨

أ ء = $\frac{\mathrm{٩٦}}{\mathrm{٨}}$ = ١٢ سم.

ثانياً: ق ($\angle$ ب)

ب هـ : هـ جـ : المجموع

١ : ٣ : ٤

١٢

ب هـ = $\frac{\mathrm{١٢} \times \mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ = ٣ سم.

ظا ب = $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٣}}$

م ($\angle$ ب) = ٣٨ ً ٢٦ َ ٦٩°

ثالثا: طول $\overline{أ ب}$ لأقرب رقم عشري واحد (استخدم أكثر من طريقة)

• أ ب = $\sqrt{{\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}} + {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}}}= \sqrt{\mathrm{٧٢}}$ = ٨,٥
• جا ب = $\frac{أ \mathrm{هـ}}{أ ب}$

جا ٣٨ ً ٢٦ َ ٦٩° = $\frac{\mathrm{٨}}{أ ب}$

أ ب = $\frac{\mathrm{١} \times \mathrm{٨}}{\mathrm{جا} \mathrm{٣٨} ً \mathrm{٢٦} َ \mathrm{٦٩}°}$ = ٨,٥ سم.