اختبار الوحدة

١) أثبت صحة كل من المتساويات الآتية، مبيناً خطوات الحل:

أ) جا ٦٠° = ٢ جا ٣٠° جتا ٣٠°

الطرف الأيمن = جا ٦٠°

= $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$ (١)

الطرف الأيسر = ٢ جا ٣٠° جتا ٣٠°

= ٢ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$

= $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$ (٢)

من ١) و٢) الطرفان متساويان.

ب) ظا ٦٠° = $\frac{\mathrm{٢}ظا \mathrm{٣٠}°}{\mathrm{١} - ظ{ا}^{\mathrm{٢}} \mathrm{٣٠}°}$

الطرف الأيمن = ظا ٦٠°

= $\sqrt{\mathrm{٣}}$ (١)

الطرف الأيسر = $\frac{\mathrm{٢} {\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}}}}{\mathrm{١} - {\left(\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}}\right)}^{\mathrm{٢}}}=\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}}\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{١} - {\displaystyle \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}}}$

= $\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}}\sqrt{\mathrm{٣}}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}}}=\sqrt{\mathrm{٣}}$ (٢)

من ١) و٢) الطرفان متساويان.

٢) بدون استخدام الحاسبة أوجد قيمة س (حيث س زاوية حادة) التي تحقق كلاً من:

أ) ظا س = ٤ جتا ٦٠° جا ٣٠°

ظا س = ٤ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

ظا س = ١

س = ٤٥°

ب) ٢ جا س = جا٣٠° جتا ٦٠° + جتا ٣٠° جا ٦٠°

٢ جا س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢}}$

٢ جا س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}+\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

٢ جا س = ١

جا س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

س = ٣٠°

٣) أ ب جـ مثلث متساوي الساقين فيه أ ب = أ جـ = ١٢,٦سم، ق ($\angle$ جـ) = ٢٤ َ ٨٤°.

العمل نرسم $\overline{أ ء}\perp \overline{ب \mathrm{جـ}}$

جتا جـ = $\frac{\mathrm{المجاور}}{\mathrm{الوتر}}$

جتا (٢٤ َ ٨٤°) = $\frac{\mathrm{جـ} ء}{\mathrm{٦},\mathrm{١٢}}$

جـ ء = ١٢,٦ × جتا (٢٤ َ ٨٤°)

ب جـ = ٢ × جـ ء = ٢ × ١٢,٦ × جتا (٢٤ َ ٨٤°) ° ٢,٥ سم.

٤) أ ب جـ ء شبه منحرف فيه $\overline{أ ء}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، ق ($\angle$ ب) = ٩٠°، فإذا كان أ ب = ٢سم، أ ء = ٦ سم، ب جـ = ١٠ سم.

أثبت أن: جتا ($\angle$ ء جـ ب) - ظا ($\angle$ أ جـ ب) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

العمل نرسم $\overline{و س}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

الحل: $\overline{أ ب}\perp \overline{ب \mathrm{جـ}}$

$\overline{ء س}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

$\overline{أ ب}$ // $\overline{ء س}$، أ ء // $\overline{ب س}$

الشكل أ ب س ء مستطيل ء س = أ ب = ٣ سم، أ ء = ب س = ٦ سم.

س جـ = ١٠ - ٦ = ٤ سم

ء جـ = $\sqrt{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}} + {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}}}$ = ٥ سم.

الطرف الأيمن = جتا ($\angle$ ء جـ ب) - ظا ($\angle$ أ جـ ب)

= $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ = الطرف الأيسر.

٥) سلم $\overline{أ ب}$ طوله ٦ امتار يستند طرفه العلوي أ على حائط رأسي وطرفه ب على أرض أفقيه، فإذا كانت جـ هي مسقط نقطة أ على سطح الأرض، وكان زاوية ميل السلم على الأرض ٦٠° فأوجد طول $\overline{أ \mathrm{جـ}}$.

جا ب = $\frac{\mathrm{المقابل}}{\mathrm{الوتر}}$

جا ٦٠ = $\frac{أ \mathrm{جـ}}{\mathrm{٦}}$

أ جـ = $\frac{\mathrm{٦} \times \mathrm{جـ} \mathrm{٦٠}}{\mathrm{١}}$ = $\mathrm{٣}\sqrt{\mathrm{٣}}$