الموضوع الثاني: معنى الاستنباط وتطبيقه في العلوم الصورية

الرياضيات هي علم اليقين: علل؟ لأنها:

1. علم استنباطي.
2. ترتبط بالمتعلق ارتباطاً وثيقاً مثل نظريات المنطق الرياضي الحديث.
3. اختلطت الرياضيات بالمنطق فلا نعلم من أين يبدأ المنطق ولا أين تنتهي الرياضيات.
4. يرى راسل أن المنطق لأصبح أكثر رياضة والرياضيات أصبحت أكثر منطقية.

أولاً: المنطق والرياضيات في المنهج الاستنباطي:

• يری أرسطو: أن أي علم برهاني لابد أن يبدأ بمبادئ غير مبرهنة (مقدمات) وإلا استمر الأمر إلى ما لا نهاية.
• تعتمد الرياضيات على الاستدلال الاستنباطي لأنها مفاهيم عقلية مجردة غير مادية ملموسة.
• تتعدد النظريات الفلسفية المفسرة للرياضيات كالآتي:

1. نظرية ترى: أن الحقائق الرياضية بناء فكري موجود في العقل فقط.
2. نظرية ترى أن الحقائق الرياضية هي مجرد وقائع في عالم منفصل عن العالم الفيزيائي.
3. نظرية ترى أنها موجودة في أوراق العلماء ولا علاقة لها بالواقع.
4. ونظرية ترى أنها قائمة في عالمنا الواقعي.

ومن الملاحظ أن البناء الرياضي لا يتأثر بالتفسيرات المختلفة.

ثانياً: النسق الرياضي ومكوناته:

1. كلمة نسق تعني: بقاء مترابط الأجزاء متكامل يتكون من (مقدمات) وهي مفاهيم (معرفات لا معرفات) وقضايا (بديهيات ومسلمات) ويضم قضايا أخرى تسمى (المبرهنات النتائج التي يتم البرهنة عليها.
2. ومعنى هذا أن البناء الرياضي يلعب فيه الاستنباط أو الاستدلال الرياضي دوراً رئيسياً حين نستنبط نتائج من مقدمات ليكتمل بناء النسق.

• ولذلك نصف الرياضيات بأنها نسق استنباطي حيث تتصف القضايا فيها بعدة صفات منها:

وهي خصائص القضية الرياضية: س حدد اهم خصائص القضية الرياضية؟

1. قضية تعبر عن تحصيل حاصل يعني أن محمولها لا يضيف جديد إلى موضوعها.
2. تعتمد على مبدأ عدم التناقض بين طرفيها.
3. تعبر عن اللزوم المنطقي أي أن الشطر الثاني يلزم لزوماً منطقياً عن الشطر الأول۔

يتكون النسق الرياضي من قضايا يفترضها الباحث وهي:

1. مقدمات (المعرفات - اللا معرفات - البديهيات - المسلمات).
2. النتائج وهي النظريات والمبرهنات.

مقدمات النسق:

(1) المعرفات (التعريفات):

1. هي مجموعة من المفاهيم يعرفها الرياضي حتى لا يحدث أي لبس أو غموض.
2. تعتبر هذه التعريفات اشتراطية يضعها الرياضي وليس لنا أن نغيرها بشرط أن يلتزم بها طوال النسق ولا يغيرها امثلتها تعريف إقليدس النقطة (بأنه ما ليس له أجزاء) * الخط (بأنه طول ليس له عرض).

(2) اللا معرفات:

1. هي مجموعة من المفاهيم والألفاظ واضحة بذاتها لا يعرفها الرياضي. (تستخدم في وضع التعليقات).
2. يستخدمها في تعريفات أخرى لا تمتد التعريفات إلى ما لانهاية.
3. من أمثلتها كلمة: (الطول - العرض - جزء).

(3) البديهيات والمسلمات:

- أوجه الاتفاق بينهم:

• قضايا نسلم بها مباشرة بدون برهان لأنها واضحة بذاتها وهي قضايا أولية نستخدمها في البرهنة على قضايا أخرى.
• هي أساس الاستدلال ولا تحتاج إلى استدلال.
• تقوم المسلمات والبديهيات على أساس عدم التناقض.

- أوجه الاختلاف:

- البديهيات: هي قضايا واضحة بذاتها لا تحتاج لدليل أو برهان لإثبات صدقها. (أكثر عمومية من المسلمات) تفرض نفسها على العمل بوضوحها. مثال لا يمكن رسم الخط مستقيم واحد بين نقطتين. الكل أكبر الجزء.

- المسلمات "المصادرات":

• هي قضية واضحة لا تحتاج إلى برهان عليها.
• يتخذها الباحث أساسا لبرهنة على غيرها من القضايا.
• ليس لها عمومية البديهيات ولها شروط مثل:

1. متسقة: غير متناقضة مع باقي النسق الرياضي حتى لا نصل لنظريات خاطئة.
2. مكتملة أو كافية: للبرهان على جميع النظريات.
3. مستقلة: أن تكون غير مشتقة من مسلمة أخرى.

• أمثلة: المستقيمان المتوازيان لا يلتقيان أبداً، الخطان المستقيمان يتقطعان في نقطة واحدة.

شروط بناء المسلمات والبديهيات:

1- مبدأ الذاتية: ينص على أن الشيء هو نفسه بمعنى حقيقة الشيء لا تتغير ولا تتبدل مثال أرسطو هو أرسطو رمزه أ هو أ.

2- مبدأ عدم التناقض: ينص على أن الشيء لا يمكن أن يوصف بالصف ونقيضها في نفس الوقت لذا فهو يعد الصورة السالبة للذاتية مثال الطالب لا يمكن أن يكون حاضر ولا حاضر في نفس الوقت رمزه أ لا يمكن أن تكون ب ولا ب في نفس الوقت.

3- مبدأ الثالث المرفوع (الوسط الممتنع): الشيء إما أن يوصف بالصفة أو نقيضها ولا وسط بينهما مثال الطالب إما أن يكون حاضر أو لا حاضر ولا وسط بينهما رمزه: أ إما أن يكون ب أو لا ب ولا وسط بينهما.

ثالثاً: الحجج الاستنباطية:

يهتم المفارقة في الاستدلال الاستنباطي بالجمل الخيرية التي يمكن وصفها بالصدق أو الكذب تكون الحَجَّة صحيحة رغم كذب مقدماتها أو يعضها أو كذب كل قضاياها.

تعريف الحجة:

"عبارة عن مجوعة من القضايا تنقسم إلى مقدمات (واحدة أو أكثر) ونتيجة واحدة کالآتي:

1. نتيجة الحجة هي القضية التي يتم إقرارها.
2. المقدمات في القضايا التي تعد أسباباً لقبول الحجة.
3. وترتيب المقيمات ليس مهماً في المنطق ولكن غالباً ما تأتي المقدمات تم النتيجة.
4. ويسبق نتيجة الحجة مؤشرات مثل (إذن - ومن ثم) وقد يستغني عنها عندما تفهم من السياق.

رابعاً: الصياغة الرمزية للحجج والقضايا:

غالباً ما تكون الحجج التي تصاغ باللغة العربية أو أي لغة أخرى قد تعوق صياغ الحجة وتكون صعبة على التقويم بسبب:

1. غموض الألفاظ.
2. غموض تراكيب اللغة.
3. العبارات اللغوية المضللة.
4. الأساليب المجازية التي تحدث الخلط.

ولتجنب هذه الصعوبات لجأ المناطقة في العصر الحديث إلى استخدام لغة رمزية تخلو من الصعوبات وتتميز هذه الرموز ب:

1. تحدد المعاني الواضحة لكل مفهوم.
2. توفر الوقت والجهد.
3. تعكس صورية المنطق الذي يهتم بالعلاقات القائمة بين القضايا.

وفيما يلي سنعرض لطريقة تَرْجَمَة القضايا من اللغة العربية إلى اللغة الرمزية وذلك كما يلي:

القضية الأولى:

هي قضية بسيطة من حيث تركيبها، أي أنها خالية من الدوال الصدقية فإنها ترمز باختيار أحد الحروف العربية.

القضية الثانية:

• قضية بسيطة بالرغم من اشتمالها على رابط صدقي هو رابط السلب أو النقي لذلك فهي ترمز باستخدام روابط السلب ~ق.
• ترمز باقي القضايا على حسب استخدام الروابط (وصل) - (فصل ۷) - (شرط) (تشارط).
• وسوف تستخدم الحرف (ص) لقيمة الصدق والحرف (ك) القيمة الكذب.

رابط السلب (النفي):

1. توجد صياغات متعددة تعبر عن السلب في اللغة العربية منها "ليس- غير - لن - لا - لم".
2. بالرغم من وجود فروق بين معاليها إلا أنها تشترك في نفي أو سلب القضية.
3. تتحدد مهمة رابط السلب الذي الرمز له بالرمز (~) في تغيير قيم صدق القضية التي يدخل فيها>

رابط الوصل (العطف):

1. توجد صياغات متعددة الرابط الوصل مثل" لكن، و" غيرها.
2. لا تصدق قضية الوصل إلا في حالة واحدة وهي الحالة التي تصدق فيها كل من أجزائها كما في الجدول.
3. يصدق الوصل إذا صدق طرفاه معا ويكتب إذا كتب أحد أطرافه، مثال: أحمد رجل أعمال وحمزة طبيب.

• - نلاحظ أن رابط الوصل يتصف بخاصية التبادلية أي يمكننا عكس وضع القضيتين البسيطتين دون تغيير قيمة صدق قضية الوصل المركبة حيث أن هناك تكافؤ منطقي بينهما.
• (ق. ل) = (ل، ق) * يصدق الوصل إذا صدق طرفاه معاً، ويكذب إذا كذب أحد أطرافه.

رابط الفصل:

• يرمز لرابط الفصل بالرمز (۷) فهو يرتبط أساساً بكلمة" أو" يوضح الجدول المقابل أن هذا النوع من الفصل يصدق في جميع الأحوال ما عدا الحالة التي يكذب فيها طرفاه.
• يوجد نوع من الغموض في هذا الرابط حين يتم التعبير عنه.

أ- الفصل القوي (دلالة استبعادية):

• هو الذي يحول دون الجمع بين البديلين.
• مثال: ذلك الشيء الذي يلمع في الظلام حجر أو حشرة (هنا يستحيل أن يصدق البديلان في وقت واحد). أو مثال أخر: ستهبط طائرة فريق كرة القدم التاسعة صباحا في القاهرة أو الإسكندرية.

ب- الفصل الضعيف:

هو الذي لا تكتب فيه القضية الفصلية إلا إذا كتب مفصولها أي من الممكن أن يصدق البديلان معاً مثال: عادل مهندس أو مدرس فمن الممكن أن يجمع بين الاثنين. (ق v ل) = (ل ۷ ق)

ج- رابط الشرط:

• يرمز لهذا الرابط بالرمز ويسمى فعل الشرط فيه بالمقدم وجواب الشرط بالتالي:
• يتصف هذا الرابط بالخاصية التبادلية لأن ترتيب أجزاء القضية الشرطية يحدث فرقا في قيمتها الصدقية.

مثال: إذا كان أيمن مصرياً فإن أیمن عربي (صادقة)، إذا كان أيمن عربي فإن أيمن مصريا (باطلة).

• يوضح الجدول أن القضية الشرطية لا تكذب إلا في حال صدق مقدمها وكذب تاليها وباقي الحالات تكون صادقة.

مثال: إذا فاز الأهلي في مباراته القادمة سوف يحصل على بطولة الدوري هذا القول يكن في حالة واحدة فقط وهي إذا فاز الأهلي ولم يحصل على الدوري ولكنه يصدق في جميع الأحوال الأخرى.

(د) رابط التشارط (التكافؤ):

• يعبر عنه بالعبارة "إذا وفقط إذا".

مثال: هذه السنة كبيسة إذا وفقط إذا كانت تقبل القسمة على (4).

ينجح المرشح الرئاسي إذا وفقط إذا حصل على أكثر من نصف الأصوات.

• يتصف رابط التشارط بخاصية التبادلية أي يمكن عكس القضيتين البسيطتين دون تغيير في قيمة صدق قضية الفصل المركبة حيث أنه تكافؤ منطقي بينهما.