الدرس الثالث: الاحتمال النظري

١) إذا صادفتك قطعة نقود وقد صممت وعلى الوجهين صورة.

أكمل [أ] ف = {$\square$}، ن (ف) = .....

ف = {صورة}، ن (ف) = ١

[ب] احتمال طهور الصورة: ل (ب) = $\frac{ن \left(ب\right)}{ن \left(ف\right)}=\frac{...}{...}$ = $\square$

ل (ب) = $\frac{ن \left(ب\right)}{ن \left(ف\right)}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٢}}$ = ١

[جـ] احتمال طهور الكتابة: ل (جـ) = $\frac{ن \left(\mathrm{جـ}\right)}{ن \left(ف\right)}=\frac{...}{...}$ = $\square$

ل (جـ) = $\frac{ن \left(\mathrm{جـ}\right)}{ن \left(ف\right)}=\frac{\mathrm{٠}}{\mathrm{٢}}$ = $\square$

٢) ألقي حجر نرد منتظم مرة واحدة ما احتمال ظهور:

ف = {١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦}

[أ] عدد زوجي

احتمال ظهور عدد زوجي = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

[ب] عدد أولي

احتمال ظهور عدد أولي = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

[جـ] عدد أكبر من ٣

احتمال ظهور عدد أكبر من ٣ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

٣) سحبت بطاقة عشوائياً من ٢٥ بطاقة مرقمة من ١ إلى ٢٥ احسب احتمال أن تحملي البطاقة عدداً:

{١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦، ٧، ٨، ٩، ١٠، ١١، ١٢، ١٣، ١٤، ١٥، ١٦، ١٧، ١٨، ١٩، ٢٠، ٢١، ٢٢، ٢٣، ٢٤، ٢٥}

[أ] يقبل القسمة على ٥

احتمال أن تحمل البطاقة عدد يقبل القسمة على ٥ = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢٥}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$

[ب] أكبر من أو يساوي ٢٠

احتمال أن تحمل البطاقة عدد أكبر من أو يساوي ٢٠ = $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٢٥}}$

[جـ] مربع كامل

احتمال أن تحمل البطاقة عدد مربع كامل = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢٥}}$

٤) سحبت بطاقة مكتوب عليها حرف من حروف كلمة (تفاح) ما احتمال أن يكون الحرف:

ف = {ت، ف، ا، ح}

[أ] ت

احتمال أن يكون الحرف المسحوب هو حرف ت = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

[ب] ف

احتمال أن يكون الحرف المسحوب هو حرف ف = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

[جـ] ع

احتمال أن يكون الحرف المسحوب هو حرف ع = $\frac{\mathrm{٠}}{\mathrm{٤}}$ = صفر

٥) صمم مكعب، بحيث يحمل كل وجهين متقابلين فيه أحد الأرقام التالية ١، ٢، ٣ ألقي المكعب مرة واحدة ولوحظ العدد الظاهر على الوجه العلوي.

[أ] اكتب فضاء العينة للنواتج.

ف = {١، ٢، ٣}

[ب] ما احتمال أن يكون العدد الظاهر على الوجه العلوي ٢؟

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

[جـ] ما احتمال أن يكون العدد الظاهر على الوجه العلوي فردياً؟

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

٦) صندوق يحتوي على ٥ كرات بيضاء، ٤ كرات سوداء، ٧ كرات حمراء.. سحبت كرة عشوائياً من هذا الصندوق. اكتب فضاء العينة ثم أوجد احتمال كل من الأحداث الآتية:

ف = ٥ + ٤ + ٧ = ١٦

[أ] حدث أن تكون الكرة المسحوبة بيضاء.

= $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٦}}$

[ب] حدث أن تكون الكرة المسحوبة سوداء.

= $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٦}}$

[جـ] حدث أن تكون الكرة المسحوبة ليست بيضاء.

= $\frac{\mathrm{٤} + \mathrm{٧}}{\mathrm{١٦}}=\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{١٦}}$

٧) سحبت بطاقة عشوائياً من ثماني بطاقات مرقمة من ١ إلى ٨ اكتب فضاء العينة ثم أوجد احتمال كل من الأحداث الآتية:

ف = {١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦، ٧، ٨}

[أ] حدث الحصول على عدد زوجي.

= $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٨}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

[ب] حدث الحصول على عدد فردي.

= $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٨}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

[جـ] حدث الحصول على عدد أكبر من أو يساوي ٦

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}$

[د] حدث الحصول على عدد يقبل القسمة على ٣

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٨}}$

٨) في تجربة لإلقاء حجر نرد مرة واحدة وملاحظة عدد النقط الذي يظهر على الوجه العلوي. اكتب فاء العينة، ثم أوجد احتمال كل من الأحداث الآتية:

ف = {١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦}

[أ] حدث الحصول على عدد أكبر من ٦

$\frac{\mathrm{٠}}{\mathrm{٦}}$ = صفر مستحيل.

[ب ] حدث الحصول على عدد يحقق المتباينة ١$\le$ س $\le$ ٦

$\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٦}}$ = ١ مؤكد؟

[جـ] حدث الحصول على عدد يحقق المتباينة ٢ < س < ٤

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$

{٣}

٩) من مجموعة الأرقام {٢، ٣، ٥} كون عدداً من رقمين.. ما احتمال كل من الأحداث الآتية:

ف = {٢٢، ٣٢، ٥٢، ٣٣، ٢٣، ٥٣، ٥٥، ٢٥، ٣٥}

[أ] حدث أن يكون رقم العشرات فردياً.

= $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٩}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

[ب] حدث أن يكون رقم الآحاد فردياً.

= $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٩}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

[جـ] حدث أن يكون مجموع الرقمين ٧

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٩}}$

[د] حدث أن يكون حاصل ضرب الرقمين ١٥

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٩}}$

١٠) فصل دراسي به ٤٠ تلميذاً نجح منهم ٣٠ تلميذاً في الرياضيات، ٢٤ تلميذاً في العلوم، ٢٠ تلميذاً في الامتحانين. فإذا اختير تلميذاً عشوائياً. أوجد احتمال أن يكون التلميذ المختار:

عدد التلاميذ الراسبين في العلوم = ٤٠ - ٢٤ = ١٦

[أ] ناجحاً في الرياضيات.

$\frac{\mathrm{٣٠}}{\mathrm{٤٠}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

[ب] ناجحاً في العلوم

$\frac{\mathrm{٢٤}}{\mathrm{٤٠}}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

[جـ] راسباً في العلوم

$\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٤٠}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$

[د] راسباً في الرياضيات والعلوم.

$\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٤٠}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢٠}}$