الدرس الأول: على حل معادلتين من الدرجة الأولى في متغيرين جبرياً وبيانياً

أولاً: أكمل ما يأتي:

أ) مجموعة حل المعادلتين س + ص = ٠، ص - ٥ = ٠ هي .....

س + ٥ = ٠

ص = ٠

{-٥، ٥}

ب) مجموعتين حل المعادلتين س + ٣ص = ٤، ٣ص + س = ١ هي .....

س + ٣ص = ٤

س + ٣ً = ١ (× -١)

$$\begin{gathered} \bcancel{ س }\bcancel{+ \mathrm{٣}ص} = \mathrm{٤} \\ \underline{ \bcancel{-س }\bcancel{- \mathrm{٣}ص}=-\mathrm{١}} \\ \mathrm{٠} + \mathrm{٠} = \mathrm{٣} \end{gathered}$$

م. ح = $\varnothing$

جـ) مجموعة حل المعادلتين ٤س + ص = ٦، ٨س + ٢ص = ١٢ هي .....

٤س + ص = ٦ (× -٢)

٨س + ٢ص = ١٢

$$\begin{gathered} \bcancel{-\mathrm{٨}س} \bcancel{-\mathrm{٢} ص}=\bcancel{-\mathrm{١٢} } \\ \underline{\bcancel{ \mathrm{٨}س} \bcancel{+ \mathrm{٢}ص} =\bcancel{ \mathrm{١٢}}} \\ \mathrm{٠} = \mathrm{٠} \end{gathered}$$

م. ح = {(س، ص) : (س/ص) $\in$ ح × ح، ٤س + ص = ٦}

د) إذا كان المستقيمان الممثلان للمعادلتين س + ٣ص = ٤، س + أ ص = ٧ متوازيين فإن أ = ......

$\frac{\mathrm{معامل} {س}_{\mathrm{١}}}{\mathrm{معامل} {س}_{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{معامل} {ص}_{\mathrm{١}}}{\mathrm{معامل} {ص}_{\mathrm{٢}}}$

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٣}}{أ}$

أ = $\frac{\mathrm{١} \times \mathrm{٣}}{\mathrm{١}}$ = ٣

هـ) إذا كان للمعادلتين س + ٢ص = ١، ٢س + ك ص = ٢ حل وحيد فإن ك لا يمكن أن تساوي .....

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٢}}{ك}$

ك = $\frac{\mathrm{٢} \times \mathrm{٢}}{\mathrm{١}}$ = ٤

ثانياً: اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة:

١) المستقيمان: ٣س + ٥ص = ٠، ٥س - ٣ص = ٠ يتقاطعان في:

أ) نقطة الأصل

ب) الربع الأول

جـ) الربع الثاني

د) الربع الرابع

٣س + ٥ص = ٠ (× ٣)

٥س - ٣ص = ٠ (× ٥)

$$\begin{gathered} \mathrm{٩}س \bcancel{+ \mathrm{١٥}ص} = \mathrm{٠} \\ \underline{ \mathrm{٢٥}س \bcancel{-\mathrm{١٥}ص} = \mathrm{٠}} \\ \mathrm{٣٤}س = \mathrm{٠} \end{gathered}$$

س = ٠ ص = ٠

٢) مجموعة حل المعادلتين: س - ٢ص = ١، ٣س + ص = ١٠ هي:

أ) {(٥، ٢)}

ب) {(٢، ٤)}

جـ) {(١، ٣)}

د) {(٣، ١)}

س - ٢ص = ١

٣س + ص = ١٠ (× ٢)

س - ٢ص = ١

٦س + ٢ص = ٢٠

٧س = ٢١

س = ٣ بالتعويض في ٢

٣ × ٣ + ص = ١٠

٩ + ص = ١٠

ص = ١

٣) إذا كان للمعادلتين س + ٤ص = ٧، ٣س + ك ص = ٢١ عدد لا نهائي من الحلول فإن ك = .....

أ) ٤

ب) ٧

جـ) ١٢

د) ٢١

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٤}}{ك}$

ك = ١٢

ثالثاً:

١) أوجد مجموعة الحل لكل زوج من المعادلات الآتية جبرياً وبيانياً:

أ) ص = س + ٤، س + ص = ٤

• جبرياً

- س + ص = ٤

س + ص = ٤

٢ص = ٨

ص = ٤بالتعويض في (١)

س + ٤ = ٤ق =

س = ٤ - ٤

س = ٠

م. ح = {(٠، ٤)}

• بيانياً

ص = س + ٤

ب) س - ص = ٤، ٣س - ٢ص = ٧

• جبرياً

س - ص = ٤ (× ٢)

٣س - ٢ص = ٧

٢س - ٢ص = ٨

٣س + ٢ص = ٧

الجمع ٥س = ١٥

س = ٣ بالتعويض

٣ × ٣ + ٢ص = ٧

٩ + ٢ ص = ٧

• بيانياً

٢ص = ٧ - ٩

٢ص = -٢

ص = -١

س - ص = ٤

- ص = ٤ - س

ص = = -٤ + س

٣س + ٢ص = ٧

٢ص = ٧ - ٣س

ص = $\frac{\mathrm{٧} - \mathrm{٣}س}{\mathrm{٢}}$

م. ح = {(٣، -١)}

جـ) ٣س + ٤ص = ١١، ٢س + ص - ٤ = ٠

• جبرياً

٣س + ٤ص = ١١

٢س + ص - ٤ = ٠ (× -٤)

٣س + ٤ص = ١١

-٨س - ٤ص = -١١

-٥س = -٥

س = ١ بالتعويض

٢ × ١ + ص = ٤

٢ + ص = ٤

ص = ٤ - ٢

ص = ٢

م. ح = {(١، ٢)}

• بيانياً

٣س + ٤ص = ١١

٤ص = ١١ - ٣س

ص = $\frac{\mathrm{١١} - \mathrm{٣}س}{\mathrm{٤}}$

٢س + ص - ٤ = ٠

ص = ٤ - ٢س

م. ح = {(١، ٢)}

د) ٣س - ص + ٤ = ٠، ص = ٢س + ٣

• جبرياً

٣س - ص = -٤

-٢س + ص = ٣

س = -١ بالتعويض في ١

-٢ × -١ + ص = ٣

٢ + ص = ٣

ص = ٣ - ٢

ص = ١

م. ح = {(-١، ١)}

• بيانياً

٣س - ص + ٤ = ٠

٣س + ٤ = ص

ص = ٣س + ٤

ص = ٢س + ٣

م. ح = {(-١، ١)}

هـ) ٢س + ص = ١، س + ٢ص = ٥

• جبرياً

٢س + ص = ١ (× -٢)

س + ٢ص = ٥

-٤س - ٢ص = -٢

س + ٢ص = ٥

-٣س = ٣

س = -١ بالتعويض

٢ × -١ + ص = ١

-٢ + ص = ١

س = ١ + ٢

س = ٣

م. ح = {(-١، ٣)}

• بيانياً

ص = ١ - ٢س

٢ص = ٥ - س

ص = $\frac{\mathrm{٥} - س}{\mathrm{٢}}$

م. ح = {(-١، ٣)}

و) س + ٢ص = ٨، ٣س + ص = ٩

• جبرياً

س + ٢ص = ٨

٣س + ص = ٩ (× -٢)

س + ٢ص = ٨

-٦س - ٢ص = -١٨

-٥س = -١٠

س = ٢

٣ × ٢ + ص = ٩

٦ + ص = ٩

ص = ٩ - ٦ = ٣

م. ح = {(٢، ٣)}

• بيانياً

٢ص = ٨ - س

ص = $\frac{\mathrm{٨} - س}{\mathrm{٢}}$

ص = ٩ - ٣س

م. ح {(٢، ٣)}

٢) إذا كان عدد الفرق الرياضية المشاركة في بطولة كأس الأمم الأفريقية ١٦ فريقاً، وكان عدد الفرق غير العربية يزيد على ثلاثة أمثال عدد الفرق العربية بمقدار ٤، أوجد عدد الفرق العربية المشاركة في البطولة.

عدد الفرق غير العربية س، عدد الفرق العربية ص

س + ص = ١٦ (× ٣) (١)

س - ٣ص = ٤ (٢)

٣س + ٣ص = ٤٨

س - ٣ص = ٤ بالجمع

٤س = ٥٢

س = ١٣ بالتعويض

١٣ + ص = ١٦

ص = ١٦ - ١٣ = ٣

عدد الفرق العربية = ٣

٣) زاويتا حادتان في مثلث قائم الزاوية الفرق بين قياسيهما ٥٠. أوجد قياس كل زاوية.

نفرض أن قياس الزاويتان س، ص

س + ص = ٩٠

س - ص = ٥٠ بالجمع

٢س = ١٤٠

س = ٧٠ بالتعويض

٧٠ + ص = ٩٠

ص = ٩٠ - ٧٠

ص = ٢٠

قياس الزاويتين هما ٧٠°، ٢٠°

٤) زاويتان متكاملتان ضعف قياس الكبرى يساوي سبعة أمثال قياس الصغرى. أوجد قياس زاوية.

قياس الزاويتين س، ص

س + ص = ١٨٠° (× ٧)

٢س - ٧ص = ٠

٧س + ٧ص = ١٢٦٠

٢س - ٧ص = ٠ بالجمع

٩س = ١٢٦٠

س = ١٤٠° بالتعويض

١٤٠ + ص = ١٨٠

ص = ١٨٠ - ١٤٠ = ٤٠°

قياس الزاويتين ٤٠°، ١٤٠°

٥) إذا كان مجموع عمري أحمد وأسامة الآن ٤٣ سنة، وبعد ٥ سنوات يكون الفرق بين عمريهما ٣ سنوات. أوجد عمر كل منهما بعد سنوات.

الآن عمر أحمد س، عمر أسامة ص

س + ص = ٤٣ (١)

بعد خمس سنوات عمر أحمد س + ٥، عمر أسامة ص + ٥

(س + ٥) - (ص + ٥) = ٣

س + ٥ ص - ٥ = ٣

س - ص = ٣ (٢)

٢س = ٤٦

س = ٢٣

٢٣ + ص = ٤٣

ص = ٤٣ - ٢٣ = ٢٠

عمر أحمد الآن = ٢٣ سنة

عمر أسامة الآن = ٢٠ سنة

بعد ٧ سنوات

عمر أحمد = ٢٣ + ٧ = ٣٠ سنة

عمر أسامة = ٢٠ + ٧ = ٢٧ سنة

٦) سنوات طوله يزيد على عرضه بمقدار ٤سم، فإذا كان محيط المستطيل ٢٨سم. أوجد مساحة المستطيل.

نفرض الطول س، العرض ص

س - ص = ٤ (١)

محيط المستطيل = ٢٨

(الطول + العرض) × ٢ = ٢٨ (÷ ٢)

س + ص = ١٤ (٢) بالجمع

٢س = ١٨

س = ٩ بالتعويض

٩ + ص = ١٤

الطول = ٩، العرض = ٥

مساحة المستطيل = ٩ × ٥ = ٤٥ سم^٢