الدرس الثاني: حل معادلة من الدرجة الثانية في مجهول واحد بيانياً وجبرياً

١) أوجد مجموعة الحل لكل من المعادلات الآتية باستخدام القانون العام مقرباً الناتج لثلاثة أرقام عشرية:

أ) س^٢ - ٢س - ٦ = ٠

أ = ١، ب = -٢، جـ = -٦

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{- (-\mathrm{٢}) \pm \sqrt{{(-\mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤}\times \mathrm{١}\times -\mathrm{٦}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{١}}$ = $\frac{\mathrm{٢} \pm \sqrt{\mathrm{٢٨}}}{\mathrm{٢}}$

س_١ = $\frac{\mathrm{٢} +\sqrt{\mathrm{٢٨}}}{\mathrm{٢}}$ = ١ + $\sqrt{\mathrm{٧}}$ = ٣,٦٤٦

س_٢ = $\frac{\mathrm{٢} -\sqrt{\mathrm{٢٨}}}{\mathrm{٢}}$ = ١ - $\sqrt{\mathrm{٧}}$ = - ١,٦٤٦

م. ح = {٣,٦٤٦، -١,٦٤٦}

ب) س^٢ + ٣س - ٣ = ٠

أ = ١، ب = ٣، جـ = -٣

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-\mathrm{٣} \pm \sqrt{{\left(\mathrm{٣}\right)}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤}\times \mathrm{١}\times -\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{١}}$ = $\frac{-\mathrm{٣}\pm \sqrt{\mathrm{٢١}}}{\mathrm{٢}}$

س_١ = $\frac{-\mathrm{٣}+\sqrt{\mathrm{٢١}}}{\mathrm{٢}}$ = ٠,٧٩١

س_٢ = $\frac{-\mathrm{٣}-\sqrt{\mathrm{٢١}}}{\mathrm{٢}}$ = - ٣,٧٩١

م. ح {(٠,٧٩١، ٣,٧٩١)}

جـ) ٢س^٢ - ٤س + ١ = ٠

أ = ٢، ب = -٤، جـ = ١

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-(-\mathrm{٤}) \pm \sqrt{{(-\mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤}\times \mathrm{٢}\times \mathrm{١}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٢}}$ = $\frac{\mathrm{٤}\pm \sqrt{\mathrm{٨}}}{\mathrm{٤}}$

س_١ = $\frac{\mathrm{٤}+\sqrt{\mathrm{٨}}}{\mathrm{٤}}$ = $\frac{\mathrm{٢} + \sqrt{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}$ = ١,٧٠٧

س_٢ = $\frac{\mathrm{٤}-\sqrt{\mathrm{٨}}}{\mathrm{٤}}$ = $\frac{\mathrm{٢} - \sqrt{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}$ = ٠,٢٩٣

م. ح {(١,٧٠٧، ٠,٢٩٣)}

د) ٣س^٢ - ٦س + ١ = ٠

أ = ٣، ب = -٦، جـ = ١

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-(-\mathrm{٦}) \pm \sqrt{{(-\mathrm{٦})}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤}\times \mathrm{٣}\times \mathrm{١}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٣}}$ = $\frac{\mathrm{٦}\pm \sqrt{\mathrm{٢٤}}}{\mathrm{٦}}$

س_١ = $\frac{\mathrm{٦}+\sqrt{\mathrm{٢٤}}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٣} +\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}}$ = ١,٨١٦

س_٢ = $\frac{\mathrm{٦}-\sqrt{\mathrm{٢٤}}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٣} -\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}}$ = ٠,١٨٤

م. ح {(٠,١٨٤، ١,٨١٦)}

هـ) س (س - ١) = ٤

س^٢ - س - ٤ = ٠

أ = ١، ب = -١، جـ = -٤

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-(-\mathrm{١}) \pm \sqrt{{(-\mathrm{١})}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤}\times \mathrm{١}\times -\mathrm{٤}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{١}}$ = $\frac{\mathrm{١}\pm \sqrt{\mathrm{١٧}}}{\mathrm{٢}}$

س_١ = $\frac{\mathrm{١}+\sqrt{\mathrm{١٧}}}{\mathrm{٢}}$ = ٢,٥٦٢

س_٢ = $\frac{\mathrm{١}-\sqrt{\mathrm{١٧}}}{\mathrm{٢}}$ = -١,٥٦٢

م. ح {(٢,٥٦٢، -١,٥٦٢)}

و) (س - ٣)^٢ - ٥س = ٠

س^٢ - ٦س + ٩ - ٥س = ٠

س^٢ -١١س + ٩ = ٠

أ = ١، ب = -١١، جـ = ٩

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-(-\mathrm{١١}) \pm \sqrt{{(-\mathrm{١١})}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤}\times \mathrm{١}\times \mathrm{٩}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{١}}$ = $\frac{\mathrm{١١} \pm \sqrt{\mathrm{٨٥}}}{\mathrm{٢}}$

س_١ = $\frac{\mathrm{١١} +\sqrt{\mathrm{٨٥}}}{\mathrm{٢}}$ = ١٠,١١٠

س_٢ = $\frac{\mathrm{١١} -\sqrt{\mathrm{٨٥}}}{\mathrm{٢}}$ = ٠,٨٩٠

م. ح = {(١٠,١١٠، ٠,٨٩٠)}

ز) س + $\frac{\mathrm{٤}}{س}$ = ٦

نضرب ب س

س^٢ + ٤ = + ٦س

س^٢ - ٦س + ٤ = ٠

أ = ١، ب = -٦، جـ = ٤

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-(-\mathrm{٦}) \pm \sqrt{{(-\mathrm{٦})}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤}\times \mathrm{١}\times \mathrm{٤}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{١}}$ = $\frac{\mathrm{٦} \pm \sqrt{\mathrm{٢٠}}}{\mathrm{٢}}$

س_١ = $\frac{\mathrm{٦} +\sqrt{\mathrm{٢٠}}}{\mathrm{٤}}$ = $\frac{\mathrm{٣} + \sqrt{\mathrm{٥}}}{\mathrm{٢}}$ = ٢,٦١٨

س_٢ = $\frac{\mathrm{٦} -\sqrt{\mathrm{٢٠}}}{\mathrm{٤}}$ = $\frac{\mathrm{٣} - \sqrt{\mathrm{٥}}}{\mathrm{٢}}$ = ٠,٣٨٢

م. ح = {(٢,٦١٨، ٠,٣٨٢)}

ح) $\frac{\mathrm{٨}}{{س}^{\mathrm{٢}}}+\frac{\mathrm{١}}{س}$ = ١

نضرب ب س^٢

٨ + س = س^٢

- س^٢ + س + ٨ = ٠

أ = -١، ب = ١، جـ = ٨

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-\left(\mathrm{١}\right) \pm \sqrt{{\left(\mathrm{١}\right)}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤}\times -\mathrm{١}\times \mathrm{٨}}}{\mathrm{٢} \times -\mathrm{١}}$ = $\frac{-\mathrm{١}\pm \sqrt{\mathrm{٣٣}}}{-\mathrm{٢}}$

س_١ = $\frac{-\mathrm{١}\pm \sqrt{\mathrm{٣٣}}}{-\mathrm{٢}}$ = - ٢,٣٧٢

س_٢ = $\frac{-\mathrm{١}-\sqrt{\mathrm{٣٣}}}{-\mathrm{٢}}$ = ٣,٣٧٢

م. ح = {(٣,٣٧٢، - ٢,٣٧٢)}

ط) $\frac{س}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥} - س}$

س (٥ - س) = ٣ × ١

٥س - س^٢ = ٣

- س^٢ + ٥س - ٣ = ٠

أ = -١، ب = ٥، جـ = -٣

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-\left(\mathrm{٥}\right) \pm \sqrt{{\left(\mathrm{٥}\right)}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤}\times -\mathrm{١}\times -\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢} \times -\mathrm{١}}$ = $\frac{-\mathrm{٥}\pm \sqrt{\mathrm{١٣}}}{-\mathrm{٢}}$

س_١ = $\frac{-\mathrm{٥}+\sqrt{\mathrm{١٣}}}{-\mathrm{٢}}$ = ٠,٦٩٧

س_٢ = $\frac{-\mathrm{٥}-\sqrt{\mathrm{١٣}}}{-\mathrm{٢}}$ = ٤,٣٠٣

م. ح = {( ٠,٦٩٧، ٤,٣٠٣)}

٢) ارسم الشكل البياني للدالة د في الفترة المعطاة ثم أوجد مجموعة حل المعادلة د (س) = ٠ مقرباً الناتج لرقم عشري واحد في كل مما يأتي:

أ) د (س) = س^٢ - ٢س - ٤ في الفترة [-٢، ٤]

م. ح = {٣,٥، -١,٣}

ب) د (س) = ٢س^٢ + ٥س في الفترة [-٤، ٢]

م. ح = {(٠، -٢,٥)}

جـ) د (س) = ٣س - س^٢ + ٢ في الفترة [-١، ٤]

م. ح = {(-٠,٧، ٣,٦)}

د) د (س) = س (س - ٥) + ٣ في الفترة [٠، ٥]

م. ح = {(٤,٢، ٠,٨)}

هـ) د (س) = ٢س^٢ - ٣ (٢ - س) في الفترة [-٣، ٢]

م. ح = {(١,٢، -٢,٨)}

و) د (س) = ٢س (س - ١) -٣ (س + ٢) + ٥ في الفترة [-١، ٣]

م. ح = {-٠,٣، ٢,٦}

ز) د (س) = (س - ٣)^٢ - (س - ٣) - ٤ في الفترة [٧، ١]

م. ح = {١,٣، ٥,٧}

٣) ارسم الشكل البياني للدالة د حيث د (س) = ٦س - س^٢ - ٩ في الفترة [٠، ٥] ومن الرسم أوجد:

أ) القيمة العظمى أو الصغرى للدالة.

نقطة رأس المنحني (٣، ٠)

معادلة محور التماثل س = ٣ على ح

القيمة العظمى = صفر

ب) مجموعة حل المعادلة ٦س - س^٢ - ٩ = ٠

م. ح = {٣}

٤) يرش رجل حديقته بخرطوم مياه يندفع فيه الماء في مسار يتحدد بالعلاقة: ص = -٠,٠٦س^٢ + ١,٢س + ٠,٨ حيث س المسافة الأفقية التي يصل إليها الماء بالمتر، أوجد لأقرب سنتيمتر أقصى مسافة أفقية يصل إليها الماء.

-٠,٠٦س^٢ + ١,٢س + ٠,٨ = ٠

أ = -٠,٠٦، ب = ١,٢، جـ = ٠,٨

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-(\mathrm{٢},\mathrm{١}) \pm \sqrt{{(\mathrm{٢},\mathrm{١})}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤}\times -\mathrm{٠٦},\mathrm{٠}\times \mathrm{٨},\mathrm{٠}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٠٦},\mathrm{٠}}$ = $\frac{-\mathrm{٢},\mathrm{١}\pm \sqrt{\mathrm{٦٣٢},\mathrm{١}}}{-\mathrm{١٢},\mathrm{٠}}$

س_١ = $\frac{-\mathrm{٢},\mathrm{١}+\sqrt{\mathrm{٦٣٢},\mathrm{١}}}{-\mathrm{١٢},\mathrm{٠}}$ ≈ -١ مرفوض

س_٢ = $\frac{-\mathrm{٢},\mathrm{١}-\sqrt{\mathrm{٦٣٢},\mathrm{١}}}{-\mathrm{١٢},\mathrm{٠}}$ ≈ ٢١ م = ٢١٠٠ سم

٥) رأى ثعبان على الأرض صقراً على ارتفاع ١٦٠ متراً منه، وهو ينطلق إليه بسرعة ٢٤ متراً / دقيقة لكي ينقض عليه، فإذا كان الصقر ينطلق رأسياً لأسفل حسب العلاقة ف = ع_٠ ن + ٤,٩ ن^٢ حيث ف المسافة بالمتر، ع_٠ سرعة الانطلاق بالمتر/ دقيقة، ن الزمن بالدقائق. أوجد الزمن الذي يأخذه الثعبان لكي يتمكن من الهرب قبل أن يصل إليه الصقر.

ف = ١٦٠

ف = ٢٤ ن + ٤,٩ ن^٢

١٦٠ = ٢٤ن + ٤,٩ ن^٢

٤,٩ ن^٢ + ٢٤ن - ١٦٠ = ٠

أ = ٤,٩، ب = ٢٤، جـ = - ١٦٠

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}أ}$

س = $\frac{-\left(\mathrm{٢٤}\right) \pm \sqrt{{\left(\mathrm{٢٤}\right)}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤}\times \mathrm{٩},\mathrm{٤}\times -\mathrm{١٦٠}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٩},\mathrm{٤}}$ = $\frac{-\mathrm{٢٤}\pm \sqrt{\mathrm{٣٧١٢}}}{\mathrm{٨},\mathrm{٩}}$

س_١ = $\frac{-\mathrm{٢٤}+\sqrt{\mathrm{٣٧١٢}}}{\mathrm{٨},\mathrm{٩}}$ = ٣,٨ دقيقة.

س_٢ = $\frac{-\mathrm{٢٤}-\sqrt{\mathrm{٣٧١٢}}}{\mathrm{٨},\mathrm{٩}}$ = - ٨,٧ مرفوض