اختبار الوحدة الأولى

١) أكمل ما يأتي:

أ) إذا كان (٥، س - ٧) = (ص +١، -٥) فإن س + ص = ٦

ص + ١ = ٥

ص = ٥ - ١

ص = ٤

س - ٧ = -٥

س = - ٥ + ٧

س = ٢

س + ص = ٤ + ٢ = ٦

ب) الدالة د حيث د (س) = س^٦ + ٢س^٤ - ٣ كثيرة حدود من الدرجة ......

الدرجة السادسة

جـ) إذا كان منحني الدالة د حيث د (س) = س^٢ - أ يمر بالنقطة (١، ٠) فإن أ = .......

د (س) = س^٢ - أ نعوض النقطة (٠، ١)

٠ = (١)^٢ - أ

٠ = ١ - أ

أ = ١

٢) أوجد مجموعة حل المعادلات الآتية:

أ) س + ٣ص = ٧، ٥س - ص = ٣ بيانياً وجبرياً.

• جبرياً

س + ٣ص = ٧

٥س - ص = ٣ (× ٣)

س + ٣ص = ٧

١٥س - ٣ص = ٩

١٦س = ١٦

س = ١ بالتعويض في ١)

١ + ٣ص = ٧

٣ص = ٧ - ١

٣ص = ٦

ص = ٢

م. ح = {(١، ٢)}

• بيانياً

س + ٣ص = ٧

٣ص = ٧ - س

ص = $\frac{\mathrm{٧} - س}{\mathrm{٣}}$

٥س - ص = ٣

- ص = ٣ - ٥س

ص = - ٣ + ٥س

م. ح = {(١، ٢)}

ب) س^٢ - ٤س + ١ = ٠ باستخدام القانون مقرباً الناتج لأقرب رقمين عشريين.

س^٢ - ٤س + ١ = ٠

أ = ١، ب = -٤، جـ = ١

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢} أ}$

س = $\frac{-(-\mathrm{٤}) \pm \sqrt{{(-\mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} \times \mathrm{١} \times \mathrm{١}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{١}}$

س = $\frac{\mathrm{٤} \pm \sqrt{\mathrm{١٢}}}{\mathrm{٢}}$

س_١ = $\frac{\mathrm{٤} + \sqrt{\mathrm{١٢}}}{\mathrm{٢}}$ = ٢ + $\sqrt{\mathrm{٣}}$ = ٣,٧٣

س_٢ = $\frac{\mathrm{٤} - \sqrt{\mathrm{١٢}}}{\mathrm{٢}}$ = ٢ - $\sqrt{\mathrm{٣}}$ = ٠,٢٧

م. ح = {٣,٧٣، ٠,٢٧}

جـ) ص - س = ٣، س^٢ + ص^٢ - س ص = ١٣

ص = ٣ + س (١)

س^٢ + ص^٢ - س ص - ١٣ = ٠ (٢)

بالتعويض من ١) في ٢)

س^٢ + (٣ + س)^٢ - س × (٣ + س) - ١٣ = ٠

س^٢ + ٩ +٦س + س^٢ -٣س - س^٢ - ١٣ = ٠

س^٢ +٣س - ٤ = ٠

(س + ٤) (س - ١) =٠

س = -٤، ص = ٣ + (-٤) = -١

س = ١، ص = ٣ + ١ = ٤

م. ح = {(-٤، -١)، (١، ٤)}

٣) ارسم الشكل البياني للدالة د حيث د (س) = س^٢ - ٢س - ١ في الفترة [-٢، ٤] ومن الرسم أوجد:

أ) معادلة محور التماثل

(١، -٢) نقطة رأس المنحني

معادلة محور التماثل س = ١

ب) مجموعة حل المعادلة س^٢ - ٢س - ١ = ٠

م. ح = {(٣، ٢)، (-٣، ٠)}

٤) عددان مجموعهما ٩٠، وحاصل ضربهما يساوي ٢٠٠٠ أوجد العددين.

نفرض العددين س، ص

س + ص = ٩٠

س ص = ٢٠٠٠

س = ٩٠ - ص (١)

س ص = - ٢٠٠٠ (٢)

بالتعويض من ١) في ٢)

ص (٩٠ - ص) - ٢٠٠٠ = ٠

٩٠ص - ص^٢ - ٢٠٠٠ = ٠

- ص^٢ + ٩٠ص - ٢٠٠٠ = ٠

ص^٢ - ٩٠ص + ٢٠٠٠ = ٠

(ص - ٤٠) (ص - ٥٠) = ٠

ص = ٤٠، س = ٩٠ - ٤٠ = ٥٠

ص = ٥٠، س = ٩٠ - ٥٠ = ٤٠

العددان هما ٤٠، ٥٠

٥) تحرك راكب دراجة من مدينة أ شرقاً قاصداً المدينة ب ثم تحرك من المدينة ب شمالاً قاصداً المدينة جـ، فقطع مسافة ١٤ كم. فإذا كان مجموع مربعي المسافتين المقطوعة ١٠٠ كم^٢، فأوجد أقصر مسافة بين المدينتين أ، جـ.

س + ص = ١٤، س^٢ + ص^٢ = ١٠٠

س = ١٤ - ص (١)

س^٢ + ص^٢ - ١٠٠ = ٠ (٢)

(١٤ - ص)^٢ + ص^٢ - ١٠٠ = ٠

١٩٦ - ٢٨ص + ص^٢ + ص^٢ - ١٠٠ = ٠

٢ص^٢ - ٢٨ص + ٩٦ = ٠ نقسم على ٢

ص^٢ - ١٤ص + ٤٨ = ٠

(ص - ٦) (ص - ٨) = ٠

ص = ٦، س = ١٤ - ٦ = ٨

ص = ٨، س = ١٤ - ٨ = ٦

أ جـ = $\sqrt{{\mathrm{٦}}^{\mathrm{٢}} + {\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}}}$ = ١٠ كم.

٦) عند قفز الدولفين فوق سطح الماء فإنه يرسم مساراً يتبع العلاقة: ص = -٠,٢ س^٢ + ٢س حيث ص ارتفاع الدولفين فوق سطح الماء، س المسافة الأفقية بالقدم. أوجد المسافة الأفقية التي يقطعها الدولفين عند قفزه من الماء.

-٠,٢ س^٢ + ٢س = ٠

أ = -٠,٢، ب = ٢، جـ = ٠

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢} أ}$

س = $\frac{-\mathrm{٢} \pm \sqrt{{\left(\mathrm{٢}\right)}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٤} \times -\mathrm{٢},\mathrm{٠} \times \mathrm{٠}}}{\mathrm{٢} \times -\mathrm{٢},\mathrm{٠}}$

س = $\frac{-\mathrm{٢} \pm \sqrt{\mathrm{٤}}}{-\mathrm{٤},\mathrm{٠}}$

س_١ = $\frac{-\mathrm{٢} + \sqrt{\mathrm{٤}}}{-\mathrm{٤},\mathrm{٠}}$ = ٠ مرفوض.

س_٢ = $\frac{-\mathrm{٢} - \sqrt{\mathrm{٤}}}{-\mathrm{٤},\mathrm{٠}}$ = ١٠ قدم