تمارين متنوعة على العمليات على الأحداث

١) مجموعة بطاقات مرقمة من ١ إلى ٣٠ خلطت جيداً، فإذا سحبت منها بطاقة واحدة عشوائياً. احسب احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة تحمل:

أ) عدداً مضاعفاً للعدد ٦.

ف = {١، ٢، ٣، ٤، ٥، ....... ٣٠}

ن (ف) = ٣٠

نفرض أن أ = حدث البطاقة المسحوبة التي تحمل عدداً مضاعفاً للعدد ٦.

أ = {٦، ١٢، ١٨، ٢٤، ٣٠}

ن (أ) = ٥

ل (أ) = $\frac{ن \left(أ\right)}{ن \left(ف\right)}$= $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣٠}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$

ب) عدداً مضاعفاً للعدد ٨.

نفرض أن ب = حدث البطاقة المسحوبة التي تحمل عدداً مضاعفاً للعدد ٨.

أ = {٨، ١٦، ٢٤}

ن (ب) = ٣

ل (ب) = $\frac{ن\left(ب\right)}{ن \left(ف\right)}$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٣٠}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٠}}$

جـ) عدداً مضاعفاً للعدد ٦، ٨ معاً.

احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة عدداً مضاعفاً للعدد ٦، ٨ معاً هو ل (أ $\cap$ ب)

أ $\cap$ ب = {٢٤}، ن (أ $\cap$ ب) = ١

ل (أ $\cap$ ب) = $\frac{ن (أ \cap ب)}{ن \left(ف\right)}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣٠}}$

د) عدداً مضاعفاً للعدد ٦ أو ٨.

احتمال أن تكون البطاقة المسحوبة عدداً مضاعفاً للعدد ٦ أو ٨ معاً هو ل (أ $\cup$ ب)

أ $\cup$ ب = {٦، ١٢، ١٨، ٢٤، ٣٠، ٨، ١٦}، (أ $\cup$ ب) = ٧

ل (أ $\cup$ ب) = $\frac{ن (أ \cup ب)}{ن \left(ف\right)}=\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٣٠}}$

٢) إذا كان أ، ب حدثين متنافيين من فضاء عينة لتجربة عشوائية بحيث كان احتمال وقوع الحدث ب يساوي ثلاثة أمثال وقوع الحدث أ، واحتمال وقوع أحد الحدثين على الأقل يساوي ٠,٦٤ أوجد احتمال وقوع كل من الحدث أ واحتمال وقوع الحدث ب.

ل (أ $\cup$ ب) = ٠,٦٤، ل (ب) = ٣ ل (‌أ)

$\because$ أ، ب حدثين متنافيين.

$\therefore$ ل (أ $\cup$ ب) = ل (أ) + ل (ب)

٠,٦٤ = ل (أ) + ٣ ل (أ)

٠,٦٤ = ٤ ل (أ)

ل (أ) = $\frac{\mathrm{٦٤},\mathrm{٠}}{\mathrm{٤}}$ = ٠,١٦

ل (ب) = ٣ ل (‌أ) = ٣ (٠,١٦) = ٠,٤٨

٣) إذا كان أ، ب حدثين ممن فضاء عينة لتجربة عشوائية، وكان ل (أ) = ٠,٥، ل (أ $\cup$ ب) = ٠,٨ ل (ب) = س. فأوجد قيمة س إذا كان:

أ) الحدثين أ، ب متنافيين.

ل (أ $\cup$ ب) = ل (أ) + ل (ب)

٠,٨ = ٠,٥ + ل (ب)

ل (ب) = ٠,٨ - ٠,٥ = ٠,٣

ب) ل (أ $\cap$ ب) = ٠,١

ل (أ $\cup$ ب) = ل (أ) + ل (ب) - ل (أ $\cap$ ب)

٠,٨ = ٠,٥ + س - ٠,١

٠,٨ = ٠,٤ + س

س = ٠,٨ - ٠,٤ = ٠,٤

٤) حجر نرد غير متنظم، احتمال ظهور كل من الأعداد ١، ٢، ٣، ٤، ٥ متساوي واحتمال ظهور العدد ٦ يساوي ٣ مرات احتمال العدد ١، فإن ألقي هذا الحجر مرة واحدة. احسب احتمال:

أ) ظهور العدد ٦

ف = {١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦}، ن (ف) = ٦

$\because$ ل (١) = ل (٢) = ل (٣) = ل (٤) = ل (٥)

$\therefore$ ل (١) + ل (٢) + ل (٣) + ل (٤) + ل (٥) = ٥ ل (٥)

$\because$ ل (٦) = ٣ ل (١)

ل (١) + ل (٢) + ل (٣) + ل (٤) + ل (٥) + ل (٦) = ١

٥ (١) + ل (٦) = ١

٥ (١) + ٣ ل (١) = ١

٨ ل (١) = ١

ل (١) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}$

$\therefore$ ل (١) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}$

$\therefore$ ل (٦) = ٣ ل (١) = ٣ ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}$) = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}$

ب) ظهور عدد فردي أولي

حدث ظهور عدد فردي أولي = {٣، ٥}

$\therefore$ احتمال ظهور عدد فردي أولي = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

٥) اشترك ثلاثة لاعبين أ، ب، جـ في مسابقة لرفع الأثقال، فإذا كان احتمال فوز اللاعب أ يساوي ضعف احتمال فوز ب، واحتمال فوز اللاعب ب يساوي احتمال فوز اللاعب جـ، فأوجد احتمال فوز اللاعب ب أو جـ علماً بأن لاعباً واحداً سيفوز في المسابقة.

ل (أ) = ٢ ل (ب)، ل (ب) = ل (جـ)

$\because$ ل (أ) + ل (ب) + ل (جـ) = ١

$\therefore$ ٢ ل (ب) + ل (ب) + ل (ب) = ١

٤ ل (ب) = ١

ل (ب) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

$\therefore$ ل (جـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

$\because$ ب، جـ حدثين متنافيين

$\therefore$ل (ب $\cup$ جـ) = ل (ب) + ل (جـ)

$\therefore$ ل (ب $\cup$ جـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

٦) ف فضاء عينة لتجربة عشوائية جميع نواتجها متساوية الإمكانات، وكان أ، ب حدثين من ف، فإذا كان عدد النواتج التي تؤدي إلى وقوع الحدث أ يساوي ١٣، وعدد جميع النواتج الممكنة للتجربة العشوائية يساوي ٢٤ وكان ل (أ $\cup$ ب) = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$، ل (ب) = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٢}}$ فأوجد:

أ) احتمال وقوع الحدث أ.

$\because$ ن (أ) = ١٣، ن (ف) = ٢٤

$\therefore$ ل (أ) = $\frac{ن \left(أ\right)}{ن \left(ف\right)}=\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{٢٤}}$

ب) احتمال وقوع الحدثين أ، ب معاً.

ل (أ $\cap$ ب) = ل (أ) + ل (ب) - ل (أ $\cup$ ب)

$\therefore$ ل (أ $\cap$ ب) = $\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{٢٤}}+\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٢}}-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}$

٧) اشترك ٤٥ تلميذاً في إحدى المدارس في الأنشطة الرياضية منهم ٢٧ تلميذاً في فريق كرة القدم، ١٥تلميذاً في فريق كرة السلة، ٩ تلاميذ في كرة القدم وكرة السلة، اختير تلميذ من هذه المدرسة عشوائياً. مثل ذلك بشكل ڤن، ثم أوجد احتمال أن يكون التلميذ المختار:

أ) مشترك في فريق كرة القدم.

نفرض أن أ = حدث فريق كرة القدم

ب = حدث فريق كرة السلة

ل (أ) = $\frac{ن \left(أ\right)}{ن \left(ف\right)}=\frac{\mathrm{٢٧}}{\mathrm{٤٥}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

ب) مشترك في فريق كرة السلة.

ل (ب) = $\frac{ن \left(ب\right)}{ن \left(ف\right)}=\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٤٥}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

جـ) مشترك في فريق كرة القدم وفريق كرة السلة.

ل (أ $\cap$ ب) = $\frac{ن (أ \cap ب)}{ن \left(ف\right)}=\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤٥}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$

د) غير مشترك في أي من الفرق السابقة.

ل (أ $\cup$ ب) = ل (أ) + ل (ب) - ل (أ $\cap$ ب)

= $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{١٥}}$