الدرس الأول: العمليات على الأحداث (التقاطع والاتحاد)

أولاً:

ألقي حجر نرد منتظم مرة واحدة.

١) اكتب فضاء العينة.

ف = {١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦}

٢) اكتب الأحداث الآتية:

أ) أ = حدث الحصول على عدد زوجي.

أ = {٢، ٤، ٦}

ب) ب = حدث الحصول على عدد فردي.

ب = {١، ٣، ٥}

جـ) جـ = حدث الحصول على عدد أولي زوجي

جـ = {٢}

٣) أوجد كلاً من الاحتمالات الآتية:

أ) وقوع الحدثين أ و ب معاً.

أ $\cap$ ب = $\varnothing$

ب) وقوع الحدثين أ و جـ معاً.

أ $\cap$ جـ = {٢}

ثانياً:

١) إذا كان أ، ب حدثين في فضاء العينة لتجربة عشوائية، أكمل:

أ) ل (أ) = ٠,٣

ل (ب) = ٠,٦

ل (أ $\cap$ ب) = ٠,٢

ل (أ $\cup$ ب) = .....

ل (أ) + ل (ب) - ل (أ $\cap$ ب) = ل (أ $\cup$ ب)

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}$ + $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١٠}}$ - $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١٠}}$ = ل (أ $\cup$ ب)

$\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٠}}$ = ل (أ $\cup$ ب)

ب) ل (أ) = ٠,٥٥

ل (ب) = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}$

ل (أ $\cap$ ب) = ....

ل (أ $\cup$ ب) = $\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{٢٠}}$

ل (أ) + ل (ب) - ل (أ $\cap$ ب) = ل (أ $\cup$ ب)

$\frac{\mathrm{٥٥}}{\mathrm{١٠٠}}$ + $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}$ - $\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{٢٠}}$ = ل (أ $\cap$ ب)

$\frac{\mathrm{٥٥} + \mathrm{٣٠} + \mathrm{٦٥}}{\mathrm{١٠٠}}$ = ل (أ $\cap$ ب)

ل (أ $\cap$ ب) = $\frac{\mathrm{١٥٠}}{\mathrm{١٠٠}}=\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

جـ) ل (أ) = .....

ل (ب) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

ل (أ $\cap$ ب) = صفر

ل (أ $\cup$ ب) = ٠,٩

ل (أ) + ل (ب) - ل (أ $\cap$ ب) = ل (أ $\cup$ ب)

ل (أ) + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ + ٠ = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٠}}$

ل (أ) = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٠}}-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ = $\frac{\mathrm{١٨}}{\mathrm{٢٠}}-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢٠}}$

ل (أ) = $\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{٢٠}}$

٢) باستخدام شكل ڤن المقابل أوجد:

أ) ل (أ $\cap$ ب)، ل (أ $\cup$ ب)

أ = {١، ٣، ٤، ٧}، ب = {٢، ٥، ٧}، جـ = {٦، ٩، ١٢}

ن = {١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٦، ٧، ٨، ٩، ١٢}

(أ $\cap$ ب) = {٧} = (أ $\cap$ ب) = ١

(أ $\cap$ ب) = $\frac{ن (أ \cap ب)}{ن \left(ف\right)}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٠}}$

(أ $\cup$ ب) = {١، ٢، ٣، ٤، ٥، ٧}

ن (أ $\cup$ ب) = ٦

ل (أ $\cup$ ب) = $\frac{ن (أ \cup ب)}{ن \left(ف\right)}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

ب) ل (أ $\cap$ جـ)، ل (أ $\cup$ جـ)

(أ $\cap$ جـ) = $\varnothing$ $\leftarrow$ ن (أ $\cap$ جـ) = صفر $\leftarrow$ ل (أ $\cap$ جـ) = $\frac{ن (أ \cap \mathrm{جـ})}{ن \left(ف\right)}=\frac{\mathrm{صفر}}{\mathrm{١٠}}$ = ٠

(أ $\cup$ جـ) = {١، ٣، ٤، ٦، ٧، ٩، ١٢} $\leftarrow$ ن (أ $\cup$ جـ) = ٧

ل (أ $\cup$ جـ) = $\frac{ن (أ \cup \mathrm{جـ})}{ن \left(ف\right)}=\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٠}}$

جـ) ل (ب $\cap$ جـ)، ل (ب $\cup$ جـ)

(ب $\cap$ جـ) = $\varnothing$ $\leftarrow$ ن (ب $\cap$ جـ) = صفر ​​​​​​$\leftarrow$ ل (ب $\cap$ جـ) = $\frac{\mathrm{٠}}{\mathrm{١٠}}$ = ٠

(ب $\cup$ جـ) = {٢، ٥، ٧، ٩، ١٢} $\leftarrow$ ل (ب $\cup$ جـ) = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

ثالثاً: إذا كان أ، ب حدثين في فضاء العينة لتجربة عشوائية، أجب عن الآتي:

١) ل (أ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، ل (ب) = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$، ل (أ $\cap$ ب) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ فأوجد ل (أ $\cup$ ب)

ل (أ) + ل (ب) - ل (أ $\cap$ ب) = ل (أ $\cup$ ب)

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}} + \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}} - \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ = ل (أ $\cup$ ب)

ل (أ $\cup$ ب) = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٦}} +\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٦}} -\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٦}}$ = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

٢) ل (أ) = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}$، ل (ب) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، ل (أ $\cap$ ب) = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$ فأوجد ل (أ $\cap$ ب)

ل (أ) + ل (ب) - ل (أ $\cap$ ب) = ل (أ $\cup$ ب)

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}} +\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ - ل (أ $\cap$ ب) = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$

ل (أ $\cap$ ب) = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}} +\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ - $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$

ل (أ $\cap$ ب) = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}+\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٨}}-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$

ل (أ $\cap$ ب) = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

٣) ل (أ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، ل (ب) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ فأوجد ل (أ $\cup$ ب) في الحالات الآتية:

أ) ل (أ $\cap$ ب) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}$

ل (أ) + ل (ب) - ل (أ $\cap$ ب) = ل (أ $\cup$ ب)

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ - $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}$ = ل (أ $\cup$ ب)

$\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٢٤}}+\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٢٤}}-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢٤}}$ = ل (أ $\cup$ ب)

ل (أ $\cup$ ب) = $\frac{\mathrm{١٧}}{\mathrm{٢٤}}$

ب) أ، ب حدثان متنافيان.

(أ $\cap$ ب) = صفر

ل (أ) + ل (ب) - ل (أ $\cap$ ب) = ل (أ $\cup$ ب)

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}-\mathrm{٠}$ = ل (أ $\cup$ ب)

ل (أ $\cup$ ب) = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٦}}+\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

رابعاً: اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة:

١) إذا كان أ، ب حدثين متنافيين فإن ل (أ $\cap$ ب) تساوي

أ) $\varnothing$

ب) صفر

جـ) ٠,٥٦

د) ١

٢) إذا كانت أ $\subset$ ب، فإن ل (أ $\cup$ ب) تساوي:

أ) صفر

ب) ل (أ)

جـ) ل (ب)

د) ل (أ $\cap$ ب)

٣) إذا ألقيت قطعة نقود منتظمة مرة واحدة فإن احتمال ظهور صورة أو كتابة يساوي:

أ) صفر ٪

ب) ٢٥٪

جـ) ٥٠٪

د) ١٠٠٪

٤) إذا ألقي حجر نرد مرة واحدة فإن احتمال ظهور عدد زوجي وظهور عدد فردي معاً يساوي:

أ) صفر

ب) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

جـ) $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

د) ١

خامساً:

١) صندوق يحتوي على ١٢ كرة منها ٥ كرات زرقاء، ٤ كرات حمراء، وباقي الكرات بيضاء. سحبت كرة واحدة عشوائياً من الصندوق. أوجد احتمال أن تكون الكرة المسحوبة:

أ) زرقاء

ب) ليست حمراء

جـ) زرقاء أو حمراء

٢) كيس به ٢٠ بطاقة متماثلة ومرقمة من ١ إلى ٢٠، سحبت منه بطاقة واحدة عشوائياً. أوجد احتمال أن يكون العدد المكتوب على البطاقة المسحوبة:

أ) يقبل القسمة على ٥

ب) فردياً ويقبل القسمة على ٥

٣) إذا كان أ، ب حدثين من فضاء عينة لتجربة عشوائية، وكان ل (ب) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٢}}$، ل (أ $\cup$ ب) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ فأوجد ل (أ) إذا كان:

أ) أ، ب حدثان متنافيان.

ب) ب $\subset$ أ

٤) سحبت بطاقة عشوائية من ٢٠ بطاقة متماثلة ومرقمة بالأرقام من ١ إلى ٢٠ احسب احتمال أن تكون البطاقة المختارة تحمل عدداً:

أ) يقبل القسمة على ٣

ب) يقبل القسمة على ٥

جـ) يقبل القسم ة على ٣ ويقبل القسمة على ٥

د) يقبل القسمة على ٣ أو يقبل القسمة على ٥