الدرس الأول: تعاريف ومفاهيم أساسية

١) في كل من الأشكال الآتية، م دائرة، أكمل:

أ)

$\because$ $\overline{م أ}$، $\overline{م ء}$ أنصاف أقطار

$\therefore$ م أ = م ء = ١٣ سم.

جـ ء = ١٣ - ٥ = ٨ سم.

$\because$ $\overline{م \mathrm{جـ}}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$

$\therefore$ جـ منتصف $\overline{أ ب}$

أ جـ = $\sqrt{{\left(\mathrm{١٣}\right)}^{\mathrm{٢}} - {\left(\mathrm{٥}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ١٢سم.

أ جـ = جـ ب = ١٢سم.

أ ب = ١٢ × ٢ = ٢٤ سم.

ب)

$\because$ $\overline{م أ}$، $\overline{م ء}$ أنصاف أقطار

$\therefore$ م أ = أ ب

$\therefore$ ق ($\angle$ أ) = ق ($\angle$ ب) = $\frac{\mathrm{١٨٠} - \mathrm{٩٠}}{\mathrm{٢}}$

$\therefore$ ق ($\angle$ أ) = ٤٥°

نق^٢ = نق^٢ = (١٠)^٢

٢نق^٢ = ١٠٠

نق^٢ = ٥٠

نق = $\sqrt{\mathrm{٥٠}} = \mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{٢}}$

م أ = نق = ٥$\sqrt{\mathrm{٢}}$

جـ)

م أ = نق

$\because$ $\overline{م ص}\perp \overline{أ ب}$

$\therefore$ ص منتصف $\overline{أ ب}$

في $△$ م ص أ

$\because$$\overline{س ص}$ متوسط، م ($\angle$ م ص أ) = ٩٠°

$\therefore$ س ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ م أ

م أ = ٢ × ٧ = ١٤سم.

مساحة الدائرة = $\mathrm{\pi }$ نق^٢

= $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$ × (١٤)^٢

= ٦١٦ سم^٢

٢) في الشكل المقابل: م دائرة طول نصف قطرها ١٣ سم، $\overline{أ ب}$ وتر فيها طوله ٢٤ سم، جـ منتصف $\overline{أ ب}$، $\underset{م \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ $\cap$ الدائرة = م = {ء} أوجد مساحة المثلث أ ء ب.

في الدائرة م $\because$ $\overline{م أ}$، $\overline{م أ}$ أنصاف أقطار

$\therefore$ م أ = م ء = ١٣سم

$\because$ جـ منتصف $\overline{أ ب}$

$\therefore$ $\overline{م \mathrm{جـ}}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$

$\therefore$ م ($\angle$ م جـ أ) = ٩٠°

أ جـ = جـ ب = ٢٤ ÷ ٢ = ١٢ سم.

م جـ = $\sqrt{{\left(\mathrm{١٣}\right)}^{\mathrm{٢}} - {\left(\mathrm{١٢}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٥ سم.

جـ ء = ١٣ - ٥ = ٨ سم.

مساحة المثلث أ ء ب = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٢٤ × ٨

= ٩٦ سم^٢

٣) في الأشكال المقابلة: اذكر القطع المستقيمة المتساوية في الطول؟ فسر إجابتك.

الشكل (١)

• في الدائرة الصغرى

$\because$ $\overline{م و}$ $\perp$ $\overline{س ص}$

$\therefore$ و منتصف س ص

س و = و ص (١)

في الدائرة الصغرى

$\because$ $\overline{م \mathrm{هـ}}$ $\perp$ $\overline{ع ل}$

$\therefore$ هـ منتصف ع ل

هـ ع = هـ ل

• في الدائرة الكبرى

$\overline{م و}\perp \overline{أ ب}$

و منتصف أ ب

أ و = و ب (٢)

من ١، ٢ $\therefore$ أ س = ص ب

بإضافة س ص للطرفين

أ ص = س ب

في الدائرة الكبرى

$\because$ $\overline{م \mathrm{هـ}} \perp \overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ هـ منتصف أ جـ

هـ أ = هـ جـ

$\therefore$ ع أ = ل جـ

بإضافة ل ع للطرفين.

أ ل = ع جـ

$\Leftarrow$ م س = م ع = م ص = م ل = نق الدائرة الصغرى

$\Leftarrow$ م أ = م جـ = م ب = م ء = نق للدائرة الكبرى

$\Leftarrow$ أ س = ص ب = جـ ع = ل ء

$\Leftarrow$ أ ص = ب س = جـ ل = ء ع

٤) في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$ وتر في الدائرة م، $\underset{أ \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ب أ م ويقطع الدائرة م في جـ. إذا كان ء منتصف $\overline{أ ب}$ فأثبت أ ن $\overline{ء م}$ $\perp$ $\overline{\mathrm{جـ} م}$

$\because$ $\overline{م أ}$، $\overline{م \mathrm{جـ}}$ أنصاف أقطار

$\therefore$ م أ = م جـ = نق

ق ($\angle$ جـ) = ق ($\angle$ م أ جـ) (١)

$\because$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ ينصف ($\angle$ ب أ م)

$\therefore$ ق ($\angle$ ب أ جـ) = ق ($\angle$ م أ جـ) (٢)

من ١، ٢ ق ($\angle$ ب أ جـ) = ق ($\angle$ جـ) وهما في وضع تبادل

$\therefore$ $\overline{أ ب}//\overline{\mathrm{جـ} م}$

$\because$ ء منتصف $\overline{أ ب}$

$\therefore$ $\overline{ء م}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$

$\therefore$ $\overline{ء م}$ $\perp$ $\overline{\mathrm{جـ} م}$

٥) في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ وتران في الدائرة م يحصران زاوية قياسها ١٢٠°، ء، هـ منتصفا $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ على الترتيب. رسم $\underset{ء م}{\leftarrow }$، $\underset{\mathrm{هـ} م}{\leftarrow }$ فقطعا الدائرة س، ص على الترتيب. أثبت أن المثلث ي ص م متساوي الأضلاع.

$\because$ $\overline{م س}$، $\overline{م ص}$ أنصاف أقطار

$\therefore$ م س = م ص (١)

$\because$ ء منتصف $\overline{أ ب}$

$\therefore$ $\overline{م ء}\perp \overline{أ ب}$

$\therefore$ ق ($\angle$ م ء أ) = ٩٠°

$\because$ هـ منتصف $\overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ $\overline{م \mathrm{هـ}} \perp \overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ ق ($\angle$ م جـ أ) = ٩٠°

ق ($\angle$ ء م هـ) = ٣٦٠ - (٩٠ + ٩٠ + ١٢٠) = ٦٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ س م ص) = ٦٠° بالتقابل بالرأس (٢)

من ١ و ٢ المثلث س ص م متساوي الأضلاع.

٦) في الشكل المقابل: دائرة م طول نصف قطرها ٧سم، $\overline{أ ب}$، $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ وتران متعامدان ومتقاطعان في النقطة و. فإذا كان أ ب = ١٢سم، جـ ء = ١٠ سم، أوجد طول $\overline{م و}$

$\because$ $\overline{م \mathrm{جـ}}$، $\overline{م ب}$ أنصاف أقطار

$\therefore$ م جـ = م ب = ٧ سم.

$\because$ $\overline{م س} \perp \overline{أ ب}$

$\therefore$ س منتصف $\overline{أ ب}$

س ب = $\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٢}}$ = ٦سم.

م ص $\perp$ جـ ء

$\therefore$ ص منتصف جـ ء

جـ ص = ٥سم.

في المثلث م س ب

م س = $\sqrt{{\left(\mathrm{٧}\right)}^{\mathrm{٢}} - {\left(\mathrm{٦}\right)}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{٤٩} - \mathrm{٣٦}}=\sqrt{\mathrm{١٣}}$

في $△$ جـ م ص

ص م = $\sqrt{{\left(\mathrm{٧}\right)}^{\mathrm{٢}} - {\left(\mathrm{٥}\right)}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{٤٩} - \mathrm{٢٥}}=\sqrt{\mathrm{٢٤}}$

الشكل ص و س م مستطيل

س و = ص م = $\sqrt{\mathrm{٢٤}}$

م و = $\sqrt{{\left(\sqrt{\mathrm{١٣}}\right)}^{\mathrm{٢}} + {\left(\sqrt{\mathrm{٢٤}}\right)}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{١٣} + \mathrm{٢٤}}=\sqrt{\mathrm{٣٧}}$

٧) في الشكل المقابل: في الدائرة م، $\overline{م س}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$، $\overline{م ص}$ $\perp$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، ق ($\angle$ أ) = ٦٠°، ق ($\angle$ ب) = ٧٠° أوجد قياسات زوايا المثلث م س ص

$\because$ $\overline{م س}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$

$\therefore$ س منتصف $\overline{أ ب}$

$\therefore$ أ س = س ب

$\because$ $\overline{م ص}$ $\perp$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$

أ ص = ص جـ

$\because$ س منتصف $\overline{أ ب}$، ص منتصف $\overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ $\overline{س ص}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ ق ($\angle$ أ س ص) = ق ($\angle$ ب) = ٧٠°

ق ($\angle$ ص س م) = ٩٠ - ٧٠ = ٢٠°

ق ($\angle$ أ ص م) = ١٨٠ - (٦٠ + ٧٠) = ٥٠°

ق ($\angle$ س ص م) = ٩٠ - ٥٠ = ٤٠°

ق ($\angle$ س م ص) = ١٨٠ - (٢٠ + ٤٠) = ١٢٠°

٨) $\overline{أ ب}$، $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ وتران متوازيان في الدائرة م، أ ب = ١٢سم، جـ ء = ١٦ سم. أوجد البعد بين هذين الوترين إذا كان طول نصف قطر الدائرة م = ١٠سم. هل توجد إجابات أخرى؟ فسر إجابتك.

$\because$ $\overline{م س}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$

$\therefore$ س منتصف $\overline{أ ب}$

س أ = س ب = $\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٢}}$ = ٦ سم.

م س = $\sqrt{{\left(\mathrm{١٠}\right)}^{\mathrm{٢}} - {\left(\mathrm{٦}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٨ سم.

$\overline{م ص}\perp \overline{\mathrm{جـ} ء}$

$\therefore$ ص منتصف $\overline{\mathrm{جـ} ء}$

جـ ص = ص ء = ١٦ ÷ ٢ = ٨ سم.

م ص = $\sqrt{{\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٢}} - {\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}}}$ = ٦ سم

س ص = ٨ + ٦ = ١٤ سم.

• نعم يوجد إجابة أخرى

م س = ٨ سم.

م ص = ٦

س ص = ٨ - ٦ = ٢ سم.