الدرس الأول تشابه المضلعات

١) بين أياً من أزواج المضلعات التالية تكون متشابهة، واكتب المضلعات المتشابهة بترتيب الرؤوس المتناظرة، وحدد معامل التشابه (الأطوال مقدرة بالسنتيمترات).

أ)

الشكل س ص ع ل مستطيل، س ص = ٣٠ سم.

$\frac{ب \mathrm{جـ}}{ص ع}$ = $\frac{\mathrm{٢٨}}{\mathrm{٤٩}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٧}}$، $\frac{أ ب}{س ص}$ = $\frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{٣٠}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

إذاً المضلعان أ ب جـ ء، س ص ع ل غير متشابهان.

ب)

الشكل أ ب جـ ء معين.

ق ($\angle$ أ) = ق ($\angle$ جـ) = $\frac{\mathrm{٣٦٠} - \mathrm{١٤٠}}{\mathrm{٢}}$ = ١١٠°

الشكل س ص ع ل معين

ق ($\angle$ س) = ق ($\angle$ ع) = $\frac{\mathrm{٣٦٠} - \mathrm{٢٢٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٧٠°

ر ($\angle$ أ) = ق ($\angle$ ص)، ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ س)، ق ($\angle$ جـ) = ق ($\angle$ ل)

ق ($\angle$ ء) = ق ($\angle$ ع) (١)

$\frac{أ ب}{ص س}=\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٧}}،\frac{ب \mathrm{جـ}}{س ل}=\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٧}}$، $\frac{\mathrm{جـ} ء}{ل ع}=\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٧}}،\frac{أ ء}{ص ع}=\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٧}}$

$\frac{أ ب}{ص س}=\frac{ب \mathrm{جـ}}{س ل}=\frac{\mathrm{جـ} ء}{ل ع}=\frac{أ ء}{ص ع}$ (٢)

من (١) و (٢) نجد أن المضلعان متشابهان. نسبة التشابه = $\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٧}}$

جـ)

ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ ء)

ق ($\angle$ جـ) = ق ($\angle$ و)

ق ($\angle$ أ) = ق ($\angle$ هـ) (١)

$\frac{ب \mathrm{جـ}}{ء و}=\frac{\mathrm{٨},\mathrm{٢}}{\mathrm{٨},\mathrm{٤}}$ = $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٢}}$

$\frac{\mathrm{جـ} أ}{و \mathrm{هـ}}=\frac{\mathrm{٢},\mathrm{٤}}{\mathrm{٢},\mathrm{٧}}=\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٢}}$

$\frac{ب أ}{ء \mathrm{هـ}}=\frac{\mathrm{٩},\mathrm{٤}}{\mathrm{٤},\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٢}}$

$\frac{ب \mathrm{جـ}}{ء و}=\frac{\mathrm{جـ} أ}{و \mathrm{هـ}}=\frac{ب أ}{ء \mathrm{هـ}}$ (٢)

من (١) و (٢) نجد أن $△$ ب أ جـ يشابه المثلث ء و هـ.

د)

بما أن $\overline{أ ء}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

إذاً ق ($\angle$ أ) = ١٨٠° - ق ($\angle$ ب)

بما أن $\overline{ص ع}// \overline{س ل}$

إذاً ق ($\angle$ ع) = ١٨٠° - ق ($\angle$ ل)

بما أن ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ ل)

إذاً ق ($\angle$ أ) = ق ($\angle$ ع)

ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ ل) = ق ($\angle$ جـ) = ق ($\angle$ س) = ق ($\angle$ أ) = ق ($\angle$ ع)

إذاً ق ($\angle$ ء) = ق ($\angle$ ص) (١)

$\frac{أ ب}{ل ع}=\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٨},\mathrm{٨}}$ = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$، $\frac{أ ء}{ص ع}=\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٦},\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$، $\frac{\mathrm{جـ} ء}{س ص}=\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{٤},\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$، $\frac{ب \mathrm{جـ}}{س ل}=\frac{\mathrm{١٨}}{\mathrm{٤},\mathrm{١٤}} =\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$ (٢)

من ١) و٢) المضلع أ ب جـ ء يشابه المضلع ع ل س ص

٢) إذا كان المضلع أ ب جـ ء $~$ المضلع س ص ع ل، أكمل:

أ) $\frac{أ ب}{ب \mathrm{جـ}}=\frac{....}{ص ع}$

$\frac{أ ب}{س ص}=\frac{ب \mathrm{جـ}}{ص ع}$

إذاً $\frac{أ ب}{ب \mathrm{جـ}}=\frac{س ص}{ص ع}$

ب) أ ب × ع ل = س ص × ......

$\frac{أ ب}{س ص}=\frac{\mathrm{جـ} ء}{ع ل}$ من الطرفين بالوسطين نجد

أ ب × ع ل = س ص × جـ ء

جـ) $\frac{ب \mathrm{جـ} \times ص ع}{ص ع}=\frac{.... \times ل س}{ل س}$

$\frac{ب \mathrm{جـ}}{ص ع}=\frac{أ ء}{ل س}$ $\leftarrow$$\frac{ب \mathrm{جـ} \times ص ع}{ص ع}=\frac{أ ء \times ل س}{ل س}$

د) $\frac{\mathrm{محيط} \mathrm{المضلع} .....}{\mathrm{محيط} \mathrm{المضلع} ....}=\frac{س ص}{أ ب}$

$\frac{\mathrm{محيط} \mathrm{المضلع} س ص ل ع ل}{\mathrm{محيط} \mathrm{المضلع} أ ب \mathrm{جـ} ء}=\frac{س ص}{أ ب}$

٣) المضلع أ ب جـ ء $~$ المضلع س ص ع ل. فإذا كان: أ ب = ٣٢ سم، ب جـ = ٤٠ سم، س ص = ٣م - ١، ص ع = ٣م + ١. أوجد قيمة م العددية.

بما أن المضلع أ ب جـ ء يشابه المضلع س ص ع ل

إذاً $\frac{أ ب}{س ص}=\frac{ب \mathrm{جـ}}{ص ع}=\frac{\mathrm{جـ} ء}{ع ل}=\frac{أ ء}{س ل}$

$\frac{\bcancel{{\mathrm{٣٢}}^{\mathrm{٤}}}}{\mathrm{٣}م -\mathrm{١}}=\frac{\bcancel{{\mathrm{٤٠}}^{\mathrm{٥}}}}{\mathrm{٣}م +\mathrm{١}}$

٤ (٣م + ١) = ٥ (٣م - ١)

١٢م + ٤ = ١٥م - ٥

-١٥م + ١٢م = -٥ -٤

-٣م = -٩ نقسم على -٣

م = ٣

٤) مستطيل بعداه ١٠سم، ٦سم. أوجد محيط ومساحة المستطيل آخر مشابه له إذا كان:

أ) معامل التشابه ٣

نفرض أن المستطيل المطلوب أَ بَ جـَ ءَ المستطيل المعطى أ ب جـ ء

بما أن المستطيل أَ بَ جـَ ءَ يشابه المستطيل أ ب جـ ء

إذاً $\frac{أ ب}{أَ بَ}=\frac{\mathrm{بَ} \mathrm{جـَ}}{ب \mathrm{جـ}} = \frac{\mathrm{محيط} \mathrm{المستطيل} \mathrm{أَ} \mathrm{بَ} \mathrm{جَـ} \mathrm{ءَ}}{\mathrm{محيط} \mathrm{المستطيل} أ ب \mathrm{جـ} ء}$ = ٣

$\frac{أ ب}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{بَ} \mathrm{جـَ}}{\mathrm{٦}} = \frac{\mathrm{محيط} \mathrm{المستطيل} \mathrm{أَ} \mathrm{بَ} \mathrm{جـَ} \mathrm{ءَ}}{\mathrm{٢}(\mathrm{١٠} +\mathrm{٦})}$ = ٣

$\frac{أَ بَ}{\mathrm{١٠}}$ = ٣ $\leftarrow$ أ َ بَ = ١٠ × ٣ = ٣٠ سم.

$\frac{\mathrm{بَ} \mathrm{جـَ}}{\mathrm{٦}}$ = ٣ $\leftarrow$ بَ جـَ = ٦ × ٣ = ١٨

$\frac{\mathrm{محيط} \mathrm{المستطيل} \mathrm{أَ} \mathrm{بَ} \mathrm{جـَ} \mathrm{ءَ}}{\mathrm{٣٢}}$ = ٣

محيط المستطيل أَ بَ جـَ ءَ = ٣٢ × ٣ = ٩٦ سم.

مساحة المستطيل أَ بَ جـَ ءَ = أَ بَ × جـَ ءَ = ٣٠ × ١٨ = ٥٤٠ سم^٢

ب) معامل التشابه ٠,٤

$\frac{أَ بَ}{أ ب}=\frac{\mathrm{بَ} \mathrm{جـَ}}{ب \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{محيط} \mathrm{المستطيل} \mathrm{أَ} \mathrm{بَ} \mathrm{جـَ} \mathrm{ءَ}}{\mathrm{محيط} \mathrm{المستطيل} أ ب \mathrm{جـ} ء}$ = ٠,٤

إذاً $\frac{أَ بَ}{\mathrm{١٠}}$ = ٠,٤ $\leftarrow$ أَ بَ = ٤سم.

$\frac{\mathrm{بَ} \mathrm{جـَ}}{\mathrm{٦}}$ = ٠,٤ $\leftarrow$ بَ جـَ = ٢,٤

$\frac{\mathrm{محيط} \mathrm{المستطيل} \mathrm{أَ} \mathrm{بَ} \mathrm{جـَ} \mathrm{ءَ}}{\mathrm{٣٢}}$ = ٠,٤

محيط المستطيل أَ بَ جـَ ءَ = ٣٢ × ٠,٤ = ١٢,٨ سم.

مساحة المستطيل أَ بَ جـَ ءَ = أَ بَ × جـَ ءَ = ٤ × ٢,٤ = ٩,٦ سم^٢

٥) في كل من الأشكال التالية المضلع م_١$~$ المضلع م_٢ $~$ المضلع م_٣ أوجد معامل تشابه كل من المضلع م_١$~$ المضلع م_٢ $~$ المضلع م_٣.

أ)

نفرض أن طول ضلع المعين = ل وحدة

إذاً طول قطر المربع = $\sqrt{\mathrm{٢}}$ ل وحدة طول.

أ ب = $\sqrt{\mathrm{٢}}$ ل، جـ ء = ٣$\sqrt{\mathrm{٢}}$ ل، هـ و = ٤ $\sqrt{\mathrm{٢}}$ ل

معامل تشابه المضلع م_١ للمضلع م_٣

= $\frac{\mathrm{هـ} و }{أ ب}$ = $\frac{\mathrm{٤}\bcancel{\sqrt{\mathrm{٢}}ل}}{\bcancel{\sqrt{\mathrm{٢}}ل}}$ = ٤

معامل تشابه المضلع م_٢ للمضلع م_٣

= $\frac{\mathrm{جـ} ء }{أ ب}=\frac{\mathrm{٣}\bcancel{\sqrt{\mathrm{٢}}ل}}{\bcancel{\sqrt{\mathrm{٢}}ل}}$ = $\frac{\mathrm{٤}\bcancel{\sqrt{\mathrm{٢}}ل}}{\bcancel{\sqrt{\mathrm{٢}}ل}}$ = ٣

ب)

أ ب = ٨ وحدة طول، جـ ء = ١٢ وحدة طول.

هـ ء = ٨ وحدة طول

معامل تشابه المضلع م_١ للمضلع م_٣

$\frac{أ ب}{\mathrm{هـ} ء}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٨}}$ = ١ المضلعان منطبقان.

معامل تشابه المضلع م_٢ للمضلع م_٣

= $\frac{\mathrm{جـ} ء }{\mathrm{هـ} ء}=\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

٦) المضلعات الثلاثة التالية متشابهة. أوجد القيمة العددية للرمز المستخدم في القياس.

ص = ١٠٠، ع = ٣٦٠ - (١٠٠ + ١١٠ + ٨٠) = ٧٠°

الشكل الأول والثاني

$\frac{ل}{م}=\frac{\mathrm{١٨}}{\mathrm{٢٤}}$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

الشكل الثاني والثالث

$\frac{\mathrm{٢٤}}{ن}=\frac{م}{\mathrm{٣٥}}$

الشكل الأول والثاني

$\frac{ل}{\mathrm{٣٥}}=\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٢٥}}$ = $\frac{\mathrm{١٨}}{ن}$

$\frac{ل}{\mathrm{٣٥}}=\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٢٥}}$ = ل = ٢١، $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٢٥}}$ = $\frac{\mathrm{١٨}}{ن}$ = ن = ٣٠

$\frac{\mathrm{٢٤}}{\mathrm{٣٠}}=\frac{م}{\mathrm{٣٥}}$ $\leftarrow$ م = ٢٨

٧) مستطيلان متشابهان بعدا الأول ٨سم، ١٢سم، ومحيط الثاني ٢٠٠سم. أوجد طول المستطيل الثاني ومساحته.

محيط المستطيل الأول = ٢ (٨ + ١٢) = ٤٠

نفرض أن طول المستطيل المطلوب = س

عرض المستطيل = ص

$\frac{س}{\mathrm{١٢}}=\frac{ص}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{٢٠٠}}{\mathrm{٤٠}}$

$\frac{س}{\mathrm{١٢}}=\frac{\mathrm{٢٠٠}}{\mathrm{٤٠}}$

س = $\frac{\mathrm{١٢} \times \mathrm{٢٠٠}}{\mathrm{٤٠}}$ = ٦٠ سم.

$\frac{ص}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{٢٠٠}}{\mathrm{٤٠}}$

ص = $\frac{\mathrm{٨} \times \mathrm{٢٠٠}}{\mathrm{٤٠}}$ = ٤٠ سم.

مساحة المستطيل = ٦٠ × ٤٠ = ٢٤٠٠سم^٢

٨) هندسة معمارية: يوضح الشكل المقابل مخططاً لإحدى الوحدات السكنية بمقياس رسم ١ : ١٥٠ أوجد:

أ) أبعاد حجرة الاستقبال.

ب) أبعاد حجرة النوم.

جـ) مساحة حجرة ا لمعيشة.

د) مساحة الوحدة السكنية.