الدرس الثاني: تشابه المثلثات

١) اذكر أي الحالات يكون فيها المثلثان متشابهين، وفي حالة التشابه اذكر سبب التشابه.

أ)

المثلثان متشابهان لوجود ثلاث زوايا متساوية من الأول مع مقابلتها من الثاني

ب)

لا يوجد حالات تشابه.

جـ)

$\frac{أ ء}{ء ب}=\frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{٤٥}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٩}}$

$\frac{أ \mathrm{هـ}}{\mathrm{هـ} \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٥٥}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١١}}$

$\frac{أ \mathrm{هـ}}{أ ب}=\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٤٥}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٩}}$

$\frac{أ ء}{أ \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{٥٥}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{١١}}$

لا يوجد فيها أي تشابه

د)

$\frac{س ع}{م ن}=\frac{\mathrm{٥},\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$ = ١,٥

$\frac{ص ع}{ل ن}=\frac{\mathrm{٥},\mathrm{٧}}{\mathrm{٦}}$ = ١,٢٥

النسب غير متساوية

لا يوجد تشابه.

هـ)

المثلثان متشابهان

لتساوي زاويتا القاعدة في المثلثين.

و)

$\frac{أ \mathrm{هـ}}{\mathrm{هـ} ب}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

$\frac{\mathrm{هـ} \mathrm{جـ}}{\mathrm{هـ} ء}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

النسب متساوية إذاً المثلثان متشابهان.

٢) أوجد قيمة الرمز المستخدم في القياس:

أ)

$\frac{أ \mathrm{هـ}}{أ \mathrm{جـ}}=\frac{ء \mathrm{هـ}}{ب \mathrm{جـ}}\Leftarrow$ $\frac{س}{س + \mathrm{٩}}=\frac{{\bcancel{\mathrm{١٢}}}^{\mathrm{٤}}}{{\bcancel{\mathrm{١٥}}}^{\mathrm{٥}}}$

٥س = ٤س + ٣٦

٥س - ٤س = ٣٦

س = ٣٦

ب)

$△$ أ ب جـ $~$$△$ ء ب أ $~$$△$ ء أ جـ

من المثلث أ ب جـ و ء ب أ

$\frac{أ ب}{ء ب}=\frac{ب \mathrm{جـ}}{ب أ}$

$\Leftarrow$ (أ ب)^٢ = ء ب × ب جـ

= ٩ × ٢٥

أ ب = $\sqrt{\mathrm{٩} \times \mathrm{٢٥}}$ = ٣ × ٥ = ١٥سم.

ص = ١٥سم.

من المثلث أ ب جـ والمثلث ء أ جـ

$\frac{أ \mathrm{جـ}}{ء \mathrm{جـ}}=\frac{ب \mathrm{جـ}}{أ \mathrm{جـ}}$

(أ جـ)^٢ = ء جـ × ب جـ

= ١٦ × ٢٥

أ جـ = س = $\sqrt{\mathrm{١٦} \times \mathrm{٢٥}}$ = ٤ × ٥ = ٢٠

جـ)

• $△$و ء جـ $~$ $△$ و ب هـ

$\frac{و ء}{و ب}=\frac{ء \mathrm{جـ}}{ ب \mathrm{هـ}}=\frac{و \mathrm{جـ}}{و \mathrm{هـ}}$

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٦}}=\frac{ء \mathrm{جـ}}{\mathrm{٦}}$ = $\frac{\mathrm{٢}}{و \mathrm{هـ}}$

ء جـ = ٣ سم.

و هـ = ٤ سم.

س = ٣، ص = ٤سم.

• $△$أ ء هـ $~$ $△$ أ ب جـ

$\frac{أ \mathrm{هـ}}{أ \mathrm{جـ}}=\frac{ء \mathrm{هـ}}{ب \mathrm{جـ}}\Leftarrow \frac{ع}{{\bcancel{\mathrm{٦},\mathrm{٩}}}_{\mathrm{٢},\mathrm{١}}}=\frac{\mathrm{٧}}{\bcancel{\mathrm{٨}}}$

ع = ٧ × ١,٢ = ٨,٤

٣) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث قائم الزاوية $\overline{أ ء}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

أولاً: أكمل: $△$ أ ب جـ $~$ $△$ ...... $~$ $△$ .....

$△$ أ ب جـ $~$ $△$ ء ب أ$~$ $△$ ء أ جـ

ثانياً: إذا كان س، ص، ع، ل، م، ن هي أطوال القطع المستقيمة بالسنتمترات والمعينة بالشكل: فأكمل التناسبات التالية:

أ) $\frac{س}{ع}=\frac{م}{....}$

ب) $\frac{س}{ع}=\frac{ل}{....}$

جـ) $\frac{م}{ل}=\frac{س}{....}$

د) $\frac{ل}{....}=\frac{....}{ل}$

هـ) $\frac{س}{....}=\frac{....}{س}$

و) $\frac{....}{ص}=\frac{ص}{....}$

ز) $\frac{ل}{س}=\frac{....}{ع}$

ح) $\frac{ل}{س}=\frac{....}{ص}$

٤) $\overline{أ ب}$، $\overline{ء \mathrm{جـ}}$ وتران في دائرة، $\overline{أ ب}$$\cap$ $\overline{ء \mathrm{جـ}}$ = {هـ} حيث هـ خارج الدائرة، أ ب = ٤سم، ء جـ = ٧سم، ب هـ = ٦سم. أثبت أن $△$ أ ء هـ $~$ $△$ جـ ب هـ، ثم أوجد طول $\overline{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$

$△$هـ ب جـ $~$ $△$ هـ ء أ

$\frac{\mathrm{هـ} ب}{\mathrm{هـ} ء}=\frac{\mathrm{هـ} \mathrm{جـ}}{\mathrm{هـ} أ}\Leftarrow \frac{\mathrm{٦}}{س + \mathrm{٧}}=\frac{س}{\mathrm{١٠}}$

س^٢ + ٧س = ٦٠

س^٢ + ٧س - ٦٠ = ٠

(س + ١٢) (س - ٥) = ٠

إما س = -١٢ مرفوض

أو س = ٥ سم

٥) أ ب جـ، ء هـ و مثلثان متشابهان. رسم $\underset{أ س}{\leftarrow }$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ ليقطعه في س، ورسم $\underset{ء ص}{\leftarrow }$ $\perp$ $\overline{\mathrm{هـ} و}$ وليقطعه في ص. أثبت أن ب س × ص و = جـ س × ص هـ

البرهان: المثلث أ ب جـ يشابه المثلث ء هـ و

ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ هـ)، ق ($\angle$ جـ) = ق ($\angle$ و)

• في المثلث أ ب س، المثلث ء هـ ص

ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ هـ)، ق ($\angle$أ س ب) = ق ($\angle$ ء ص هـ)

نستنتج أن المثلث أ ب س يشابه المثلث ء هـ ص

إذاً $\frac{أ ب}{ء \mathrm{هـ} }=\frac{ب س}{\mathrm{هـ} ص}=\frac{أ س}{ء ص}$ (١)

في المثلث أ س جـ، المثلث ء ص و فيهما

ق ($\angle$ جـ) = ق ($\angle$ و)، ق ($\angle$أ س جـ) = ق ($\angle$ ء ص و)

نستنتج أن المثلث أ س جـ يشابه المثلث ء هـ ص و

إذاً $\frac{أ س}{ء ص }=\frac{س \mathrm{جـ}}{ص و}=\frac{أ \mathrm{جـ}}{ء و}$ (٢)

من ١) و٢)

نجد $\frac{ب س}{\mathrm{هـ} ص}=\frac{س \mathrm{جـ}}{ص و}\Leftarrow$ ب س × ص و = جـ س × ص هـ

٦) في المثلث أ ب جـ، أ جـ > أ ب، م $\in$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ حيث ق ($\angle$ أ ب م) = ق ($\angle$ جـ) أثبت أن (أ ب)^٢ = أ م × أ جـ

البرهان: في المثلث أ ب جـ، المثلث أ ب م فيهما

ق ($\angle$أ ب م) = ق ($\angle$ جـ)، $\angle$ زاوية أ مشتركة

إذاً المثلث أ ب م يشابه المثلث أ جـ ب

إذاً $\frac{أ ب}{أ \mathrm{جـ}}=\frac{ب م}{\mathrm{جـ} ب}=\frac{أ م}{أ ب}$

(أ ب)^٢ = أ م × أ جـ وهو المطلوب.

٧) أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في أ رسم $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ ليقطعه في ء. إذا كان $\frac{ب ء}{ء \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، أ ء = ٦$\sqrt{\mathrm{٢}}$ سم أوجد طول كل من $\overline{ب ء}$، $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$.

$△$ أ ب ء $~△$ جـ ب أ

$\frac{أ ب}{\mathrm{جـ} ب}=\frac{ب ء}{ب أ}=\frac{أ ء}{\mathrm{جـ} أ}$

$△$ أ ب ء $~△$ جـ أ ء

$\frac{أ ب}{\mathrm{جـ} أ}=\frac{ب ء}{أ ء}=\frac{أ ء}{\mathrm{جـ} ء}$

• (أ ء)^٢ = ب ء × جـ ء = (٦$\sqrt{\mathrm{٢}}$)^٢ = ٣٦ × ٢ = ٧٢ = ٦ × ١٢

ب ء = ٦سم، جـ ء = ١٢ سم.

• (أ ب)^٢ = ب ء × جـ ب = ٦ × ١٨

(أ ب) = $\sqrt{\mathrm{٦} \times \mathrm{١٨}}=\sqrt{\mathrm{١٢} \times \mathrm{٩}}=\mathrm{٦}\sqrt{\mathrm{٣}}$ سم.

• أ جـ = $\frac{أ ب \times أ ء}{ب ء}=\frac{\bcancel{\mathrm{٦}}\sqrt{\mathrm{٣}}\times \mathrm{٦}\sqrt{\mathrm{٢}}}{\bcancel{\mathrm{٦}}} = \mathrm{٦}\sqrt{\mathrm{٦}}$ سم

٨) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في أ، $\overline{أ ء}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، $\overline{ء \mathrm{هـ}}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$، $\overline{ء و}$ $\perp$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ أثبت أن:

أ) $△$ أ ء هـ $~$ $△$ جـ ء و

بما أن أ ء $\perp$ ب جـ، المثلث أ ب جـ قائم الزاوية.

إذاً المثلث أ ب ء يشابه المثلث جـ أ ء (١)

بما أن ء هـ $\perp$ أ ب، المثلث أ ء هـ قائم الزاوية

إذاً المثلث أ ب ء يشابه المثلث أ ء هـ (٢)

بما أن ء و $\perp$ أ جـ، المثلث أ ء جـ قائم الزاوية.

إذا المثلث جـ أ ء يشابه المثلث جـ ء و (٣)

من ١) و٢) و٣)

$△$ أ ء هـ $~$ $△$ جـ ء و

ب) مساحة المستطيل أ هـ ء و = $\sqrt{أ \mathrm{هـ} \times \mathrm{هـ} ب \times أ و \times و \mathrm{جـ}}$

مساحة المستطيل = الطول × العرض = هـ ء × ء و

بما أن المثلث هـ ب ء يشابه المثلث هـ ء أ $\Leftarrow$ $\frac{\mathrm{جـ} ب}{\mathrm{هـ} ء}=\frac{ب ء}{ء أ}=\frac{ء \mathrm{هـ}}{\mathrm{هـ} أ}$

(هـ ء)^٢ = هـ ب × هـ أ $\Leftarrow$ (هـ ء) = $\sqrt{أ \mathrm{هـ} \times \mathrm{هـ} ب}$ (١)

المثلث و أ ء يشابه المثلث و ء جـ $\Leftarrow$ $\frac{و أ}{و ء}=\frac{أ ء}{ء \mathrm{جـ}}=\frac{و ء}{و \mathrm{جـ}}$

(و ء)^٢ = و أ × و جـ $\Leftarrow$ و ء = $\sqrt{أ و \times و \mathrm{جـ}}$

إذاً مساحة المستطيل = $\sqrt{أ \mathrm{هـ} \times \mathrm{هـ} ب}$ × $\sqrt{أ و \times و \mathrm{جـ}}$

= $\sqrt{أ \mathrm{هـ} \times \mathrm{هـ} ب \times أ و \times و \mathrm{جـ}}$ وهو المطلوب.

٩) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث منفرج الزاوية في أ، أ ب = أ جـ. رسم $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ $\perp$ $\overline{أ ب}$ ويقطع $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ في ء. أثبت أن: ٢(أ ب)^٢ = ب ء × ب جـ

البرهان: بما أن المثلث أ ب جـ متساوي الساقين، فإن $\overline{أ \mathrm{هـ}}\perp \overline{ب \mathrm{جـ}}$ $\Leftarrow$ فإن ب هـ = هـ جـ $\Leftarrow$

ب هـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ب جـ

$\overline{أ \mathrm{هـ}}\perp \overline{ب \mathrm{جـ}}$، المثلث ب أ ء قائم الزاوية.

فإن المثلث أ ب هـ يشابه المثلث ء ب أ

إذاً $\frac{أ ب}{ء ب}=\frac{ب \mathrm{هـ}}{ب أ}\Leftarrow$

(أ ب)^٢ = ب هـ × ب ء

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ب جـ × ب ء نضرب ب ٢

فإن ٢ (أ ب)^٢ = ب جـ × ب ء

١٠) تعبر المجموعتان أ، ب عن أطوال أضلاع مثلثات مختلفة بالسنتيمترات. اكتب أمام كل مثلث من المجموعة أ رمز المثلث الذي يشابهه من المجموعة ب

١١) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث أ ب = ٦سم، ب جـ = ٩سم، أ جـ = ٧,٥سم، ء نقطة خارجة عن المثلث أ ب جـ حيث ء ب = ٤سم، ء أ = ٥سم. أثبت أن:

أ) $△$ أ ب جـ $~$ $△$ ء ب أ

بما أن $\frac{أ ب}{ء ب}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ (١)

$\frac{ب \mathrm{جـ}}{ب أ}=\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ (٢)

$\frac{أ \mathrm{جـ}}{ء أ}=\frac{\mathrm{٥},\mathrm{٧}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ (٣)

من ١) و٢) و٣) نجد أن $△$ أ ب جـ $~$ $△$ ء ب أ

ب) $\underset{ب أ}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ء ب جـ

ق ($\angle$ ء ب أ) = ق ($\angle$ أ ب جـ)

إذاً $\underset{ب أ}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ء ب جـ

١٢) من الشكل المقابل أكمل: $△$ ا ب جـ $~$ $△$ .....

ومعامل التشابه = .....

(أ ء)^٢ = (أ جـ)^٢ + (جـ ء)^٢

$△$ ا ب جـ $~$ $△$ ‌أ ء هـ

ومعامل التشابه = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٢}\sqrt{\mathrm{٥}}}=\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٥}}}$

١٣) في الشكل المقابل: أ ب جـ $~$ س ص ع، هـ منتصف $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، م منتصف $\overline{ص ع}$، $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$، $\overline{ع ل}$ $\perp$ $\overline{س ص}$ أثبت أن:

أ) $△$ أ هـ جـ $~$ $△$ س م ع

بما أن المثلث أ ب جـ $~$ المثلث س ص ع

فإن $\frac{أ ب}{س ص}=\frac{ب \mathrm{جـ}}{ص ع}=\frac{أ \mathrm{جـ}}{س ع}$ $\Leftarrow$$\frac{أ ب}{س ص}=\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}} ب \mathrm{جـ}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}} ص ع}=\frac{أ \mathrm{جـ}}{س ع}$

ق ($\angle$ أ) = ق ($\angle$ س)

ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ ص)

ق ($\angle$ جـ) = ق ($\angle$ ع)

المثلث أ هـ جـ، المثلث س م ع فيهما

ق ($\angle$ جـ) = ق ($\angle$ ع) (١)

$\frac{أ \mathrm{جـ}}{س ع}=\frac{\mathrm{هـ} \mathrm{جـ}}{م ع}$

$△$ أ هـ جـ $~$ $△$ س م ع وهو المطلوب.

ب) $\frac{\mathrm{جـ} ء}{ع ل}=\frac{أ \mathrm{هـ}}{س م}$

المثلث أ ء جـ، المثلث س ل ع فيهما

ق ($\angle$أ ء جـ) = ق ($\angle$ س ل ع) = ٩٠°

ق ($\angle$ أ) = ق ($\angle$ س)

إذاً $△$ أ ء جـ $~$ $△$ س ل ع

$\frac{أ ء}{س ل}=\frac{ء \mathrm{جـ}}{ل ع}=\frac{أ \mathrm{جـ}}{س ع}$

إذاً $\frac{أ \mathrm{هـ}}{س م}=\frac{ء \mathrm{جـ}}{ل ع}$ وهو المطلوب.

١٤) أ ب جـ، س ص ع مثلثان متشابهان، حيث أ ب > أ جـ، س ص > س ع. هـ، ل منتصفي $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، $\overline{ص ع}$ على الترتيب، رسم $\overline{أ و}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، $\overline{س م}$ $\perp$ $\overline{ص ع}$ أثبت أن $△$ أ هـ و $~$ $△$ س ل م

بما أن المثلث أ ب جـ يشابه المثلث س ص ع

$\frac{أ ب}{س ص}=\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}}ب \mathrm{جـ}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}}ص ع}=\frac{أ \mathrm{جـ} }{س ع}\Leftarrow \frac{أ ب}{س ص}=\frac{\mathrm{هـ} ب}{ل ص}$

ق ($\angle$ب) = ق ($\angle$ ص)

إذاً المثلث أ ب هـ يشابه المثلث س ص ل

ق ($\angle$ أ هـ ب) = ق ($\angle$ س ل ص)

ق ($\angle$أ هـ و) = ق ($\angle$ س ل م)

بما أن $\overline{أ و}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ و $\overline{س م}$ $\perp$ $\overline{ص ع}$

فإن ق ($\angle$ أ و هـ) = ق ($\angle$ س م ل) = ٩٠°

إذاً $△$ أ هـ و $~$ $△$ س ل م وهو المطلوب.

١٥) أ ب جـ مثلث، ء $\in$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ حيث (أ ء)^٢ = ب ء × ء جـ، ب أ × أ ء = ب ء × أ جـ أثبت أن:

أ) $△$ أ ب ء $~$ $△$ جـ أ ء

بما أن (أ ء)^٢ = ب ء × ء جـ

أ ء × أ ء = ب ء × ء جـ $\Leftarrow$ $\frac{أ ء}{ب ء}=\frac{ء \mathrm{جـ}}{أ ء}$

بما أن ب أ × أ ء = ب ء × أ جـ

$\frac{أ ء}{ب ء}=\frac{أ \mathrm{جـ}}{ب أ}$

فإن $\frac{أ ء}{ب ء}=\frac{ء \mathrm{جـ}}{ء أ}$ = $\frac{أ \mathrm{جـ}}{ب أ}$

إذاً $△$ أ ء جـ $~$ $△$ ب ء أ $\Leftarrow$ $△$ أ ب ء $~$ $△$ جـ أ ء وهو المطلوب.

ب) $\overline{أ ء}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

ق ($\angle$ أ ء ب) = ق ($\angle$ جـ ء أ) زاويتان متجاورتان.

ق ($\angle$ أ ء ب) = ق ($\angle$ جـ ء أ) = ٩٠°

جـ) ق ($\angle$ ب أ جـ) = ٩٠°

(أ ء)^٢ = ب ء × ء جـ

ق ($\angle$ أ ء ب) = ق ($\angle$ أ ء جـ) = ٩٠°

ق ($\angle$ أ) = ٩٠° عكس نظرية اقليدس.

١٦) يبين المخطط المقابل موقع محطة خدمة وتموين سيارات يراد إقامتها على الطريق السريع عند تقاطع طريق جانبي يؤدي إلى المدينة جـ وعمودياً على الطريق السريع بين المدينتين أ، ب.

أ) كم ينبغي أن يبتعد على الطريق السريع بين المدينتين أ، ب.

ب) ما البعد بين المدينتين ب، جـ؟