الدرس الثالث: العلاقة بين مساحتي مضلعين متشابهين

١) أكمل:

أ) إذا كان $△$ أ ب جـ $~$ $△$ س ص ع، وكان أ ب = ٣ س ص فإن $\frac{\mathrm{مـ} (△ س ص ع)}{\mathrm{مـ} (△ أ ب \mathrm{جـ})}$= ......

بما أن المثلثين متشابهين فإن $\frac{\mathrm{مـ} (△ س ص ع)}{\mathrm{مـ} (△ أ ب \mathrm{جـ})}$ = ${\left(\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\right)}^{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٩}}$

ب) إذا كان $△$ أ ب جـ $~$ $△$ ء هـ و، مـ ($△$ أ ب جـ) = ٩ مـ ($△$ ء هـ و) وكان ء هـ = ٤سم فإن: أ ب = ...... سم.

$\frac{\mathrm{مـ} (△ أ ب \mathrm{جـ})}{\mathrm{مـ} (△ ء \mathrm{هـ} و)}=\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١}}={\left(\frac{أ ب}{ء \mathrm{هـ}}\right)}^{\mathrm{٢}}$

= $\frac{{(أ ب)}^{\mathrm{٢}}}{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١}}$

(أ ب)^٢ = ٩ × ١٦

أ ب = ٣ × ٤ = ١٢ سم

٢) ادرس كلاً من الأشكال التالية، حيث ك ثابت تناسب، ثم أكمل:

أ)

$\overline{أ ب}\cap \overline{\mathrm{جـ} ء}$ = {هـ}

مـ ($△$ أ جـ هـ) = ٩٠٠ سم^٢

فإن: مـ ($△$ ء هـ ب) = ...... سم^٢

المثلث أ جـ هـ يشابه المثلث ء ب هـ

$\frac{\mathrm{مـ} △ أ \mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}{\mathrm{مـ} △ ء ب \mathrm{هـ}}={\left(\frac{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}{ب \mathrm{هـ}}\right)}^{\mathrm{٢}}$

$\frac{\mathrm{٩٠٠}}{\mathrm{مـ} △ ء ب \mathrm{هـ}}={\left(\frac{\mathrm{٥}\bcancel{ك}}{\mathrm{٦}\bcancel{ك}}\right)}^{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٣٦}}$

مـ ($△$ ء هـ ب) = $\frac{\mathrm{٩٠٠} \times \mathrm{٣٦}}{\mathrm{٢٥}}$ = ١٢٩٦ سم^٢

ب)

ق ($\angle$ ب أ جـ) = ٩٠°، $\overline{أ ء}\perp \overline{ب \mathrm{جـ}}$

مـ ($△$ أ ء جـ) = ١٨٠ سم^٢ فإن:

مـ ($△$ أ ب جـ) = ..... سم^٢

مـ ($△$ أ ء جـ) = ١٨٠ يشابه ب أ جـ

$\frac{\mathrm{مـ} △ أ ء \mathrm{جـ}}{\mathrm{مـ} △ ب أ \mathrm{جـ}}={\left(\frac{أ \mathrm{جـ}}{ب \mathrm{جـ}}\right)}^{\mathrm{٢}}={\left(\frac{\mathrm{٣}ك}{\mathrm{٥}ك}\right)}^{\mathrm{٢}}$

$\frac{\mathrm{١٨٠}}{\mathrm{مـ} △ ب أ \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{٩}\bcancel{{ك}^{\mathrm{٢}}}}{\mathrm{٢٥}\bcancel{{ك}^{\mathrm{٢}}}}$

مـ ($△$ أ ب جـ) = $\frac{\mathrm{١٨٠} \times \mathrm{٢٥}}{\mathrm{٩}}$ = ٥٠٠

٣) أ ب جـ مثلث، ء $\in$ $\overline{أ ب}$ حيث أ ء = ٢ ب ء، هـ $\in$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ حيث $\overline{ء \mathrm{هـ}}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ إذا كانت مساحة $△$ أ ء هـ = ٦٠ سم^٢. أوجد مساحة شبه المنحرف ء ب جـ هـ

المثلث أ ء هـ يشابه المثلث أ ب جـ

$\frac{\mathrm{مـ} △ أ ء \mathrm{هـ}}{\mathrm{مـ} △ ا ب \mathrm{جـ}}={\left(\frac{أ ء}{أ ب}\right)}^{\mathrm{٢}}$

$\frac{\mathrm{٦٠}}{\mathrm{مـ} △ ا ب \mathrm{جـ}}={\left(\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\right)}^{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٩}}$

مـ $△$ أ ب جـ = $\frac{\mathrm{٦٠} \times \mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$ = ١٣٥ سم^٢

مساحة شبه المنحرف = مساحة المثلث أ ب جـ - أ ء هـ

= ١٣٥ - ٦٠ = ٧٥ سم^٢

٤ ) أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في ب، رسمت المثلثات المتساوية الأضلاع أ ب س، ب جـ ص، أ جـ ع أثبت أن: مـ ($△$ أ ب س) + مـ ($△$ ب جـ ص) = م ($△$ أ جـ ع).

المثلث أ ب س يشابه المثلث ب جـ ص يشابه المثلث أ جـ ع

$\frac{\mathrm{مـ} △ أ ب س}{\mathrm{مـ} △ أ \mathrm{جـ} ع}=\frac{{(أ ب)}^{\mathrm{٢}}}{{(أ \mathrm{جـ})}^{\mathrm{٢}}}$ (١)

$\frac{\mathrm{مـ} △ ب \mathrm{جـ} ص}{\mathrm{مـ} △ أ \mathrm{جـ} ع}=\frac{{(ب \mathrm{جـ})}^{\mathrm{٢}}}{{(أ \mathrm{جـ})}^{\mathrm{٢}}}$ (٢)

$\frac{\mathrm{مـ} △ أ ب س}{\mathrm{مـ} △ أ \mathrm{جـ} ع}$ + $\frac{\mathrm{مـ} △ ب \mathrm{جـ} ص}{\mathrm{مـ} △ أ \mathrm{جـ} ع}$ = $\frac{{(أ ب)}^{\mathrm{٢}}}{{(أ \mathrm{جـ})}^{\mathrm{٢}}}$ + $\frac{{(ب \mathrm{جـ})}^{\mathrm{٢}}}{{(أ \mathrm{جـ})}^{\mathrm{٢}}}$

$\frac{\mathrm{مـ} △ أ ب س + \mathrm{مـ} △ ب \mathrm{جـ} ص}{\mathrm{مـ} △ أ \mathrm{جـ} ع}=\frac{{(أ ب)}^{\mathrm{٢}} + {(ب \mathrm{جـ})}^{\mathrm{٢}}}{{(أ \mathrm{جـ})}^{\mathrm{٢}}}$

$\frac{\mathrm{مـ} △ أ ب س + \mathrm{مـ} △ ب \mathrm{جـ} ص}{\mathrm{مـ} △ أ \mathrm{جـ} ع}=\frac{{(أ \mathrm{جـ})}^{\mathrm{٢}}}{{(أ \mathrm{جـ})}^{\mathrm{٢}}}$ = ١

إذاً مـ ($△$ أ ب س) + مـ ($△$ ب جـ ص) = م ($△$ أ جـ ع).

٥) أ ب جـ مثلث فيه $\frac{أ ب}{ب \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$، رسمت الدائرة المارة برؤوسه. من نقطة ب رسم المماس لهذه الدائرة فقطع $\underset{أ \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ في هـ أثبت أن : $\frac{\mathrm{مـ} (△ أ ب \mathrm{جـ})}{\mathrm{مـ} (△ أ ب \mathrm{هـ})}=\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٦}}$

ق ($\angle$ ب أ جـ) = ق ($\angle$ جـ ب هـ) زاوية محيطية وزاوية مماسية، هـ زاوية مشتركة

إذاً المثلث أ ب هـ يشابه المثلث ب جـ هـ

$\frac{\mathrm{مـ} △ أ ب \mathrm{هـ}}{\mathrm{مـ} △ ب \mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}={\left(\frac{أ ب}{ب \mathrm{جـ}}\right)}^{\mathrm{٢}}={\left(\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}\right)}^{\mathrm{٢}}$

$\frac{\mathrm{مـ} △ أ ب \mathrm{هـ}}{\mathrm{مـ} △ ب \mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}=\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٩}}$ $\Leftarrow$

مـ $△$ أ ب هـ = ١٦ ك

مـ $△$ ب جـ هـ = ٩ ك

إذاً المثلث أ ب جـ = ١٦ ك - ٩ ك

إذاً $\frac{\mathrm{مـ} △ أ ب \mathrm{جـ}}{\mathrm{مـ} △ أ ب \mathrm{هـ}}=\frac{\mathrm{٧}\bcancel{ ك}}{\mathrm{١٦} \bcancel{ك}}$

$\frac{\mathrm{مـ} △ أ ب \mathrm{جـ}}{\mathrm{مـ} △ أ ب \mathrm{هـ}}=\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٦}}$ وهو المطلوب.

٦) أ ب جـ ء متوازي أضلاع س $\in$ $\underset{أ ب}{\leftarrow }$، س $\notin$ $\overline{أ ب}$ حيث ب س = ٢أ ب، ص $\in$ $\underset{\mathrm{جـ} ب}{\leftarrow }$، ص $\notin$ $\overline{\mathrm{جـ} ب}$ حيث ب ص = ٢ب جـ، رسم متوازي الأضلاع ب س ع ص أثبت أن: $\frac{\mathrm{مـ} (△ أ ب \mathrm{جـ} ء)}{\mathrm{مـ} (△ س ب ص ع)}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

$\frac{أ ب}{ب س}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، $\frac{ب \mathrm{جـ}}{ب ص}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

المتوازي أ ب جـ يشابه المتوازي س ب ص ع

$\frac{\mathrm{مـ} (△ أ ب \mathrm{جـ} ء)}{\mathrm{مـ} (△ س ب ص ع)}={\left(\frac{أ ب}{ب س}\right)}^{\mathrm{٢}}$

= ${\left(\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\right)}^{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ وهو المطلوب.

٧) ا ب جـ مثلث قائم الزاوية في ب، $\overline{ب ء}\perp \overline{أ \mathrm{جـ}}$ المربعان أ س ص ب، ب م ن جـ خارج المثلث أ ب جـ.

أ) أثبت أن المضلع ء أ س ص ب $~$ المضلع ء ب م ن جـ

بما أن $\overline{ب ء}\perp \overline{أ \mathrm{جـ}}$ إذاً المثلث أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في ب

ق ($\angle$ أ ب ء) = ق ($\angle$ أ جـ ب)

ق ($\angle$ ب أ جـ) = ق ($\angle$ ء ب جـ)

المضلع أ ء جـ ب، المضلع ب م ن جـ فيهما

ق ($\angle$ أ ء ب) = ق ($\angle$ ب ء جـ) = ٩٠°

ق ($\angle$ ء ‌ س) = ق ($\angle$ ء ب م)

ق ($\angle$ س) = ق ($\angle$ م) = ٩٠°

ق ($\angle$ ص) = ق ($\angle$ ن) = ٩٠°

إذاً ق ($\angle$ ء ب ص) = ق ($\angle$ ء جـ ن)

المثلث أ ء ب يشابه المثلث ب ء جـ

$\frac{أ ء}{ب ء}=\frac{ء ب}{ء \mathrm{جـ}}$ = $\frac{أ ب}{ب \mathrm{جـ}}$ =$\frac{أ س}{ب م}=\frac{س ص}{ م ن}$ = $\frac{ص ب}{م \mathrm{جـ}}$

إذاً المضلع ء أ س ص ن يشابه المضلع ء ب م ن جـ

ب) إذا كان أ ب = ٦سم، أ جـ = ١٠سم. أوجد النسبة بين مساحتي سطحي المضلعين.

$\frac{\mathrm{مـ} \mathrm{المضلع} ء أ س ص ب}{\mathrm{مـ} \mathrm{المضلع} ء ب م ن \mathrm{جـ}}={\left(\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٨}}\right)}^{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٦}}$

٨) أ ب جـ مثلث $\overline{أ ب}،\overline{ب \mathrm{جـ}}، \overline{أ \mathrm{جـ}}$ أضلاع متناظرة لثلاثة مضلعات متشابهة مرسومة خارج المثلث، وهي المضلعات بين س، ص، ع على الترتيب. فإذا كانت مساحة المضلع س = ٤٠ سم^٢، ومساحة المضلع ص = ٨٥ سم^٢، ومساحة المضلع ع = ١٢٥ سم^٢. أثبت أن المثلث أ ب جـ قائم الزاوية.

المضلعات س، ص، ع متشابهة

فإن $\frac{\mathrm{مـ} \mathrm{المضلع} س}{\mathrm{مـ} \mathrm{المضلع} ع}=\frac{{(أ ب)}^{\mathrm{٢}}}{{(أ \mathrm{جـ})}^{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{٤٠}}{\mathrm{١٢٥}}$

بنفس الطريقة

$\frac{\mathrm{مـ} \mathrm{المضلع} ص}{\mathrm{مـ} \mathrm{المضلع} ع}=\frac{{(ب \mathrm{جـ})}^{\mathrm{٢}}}{{(أ \mathrm{جـ})}^{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{٨٥}}{\mathrm{١٢٥}}$

$\frac{{(أ ب)}^{\mathrm{٢}} + {(ب \mathrm{جـ})}^{\mathrm{٢}}}{{(أ \mathrm{جـ})}^{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{٤٠} + \mathrm{٨٥}}{\mathrm{١٢٥}}=\frac{\mathrm{١٢٥}}{\mathrm{١٢٥}}$ = ١

(أ ب)^٢ + (ب جـ)^٢ = (أ جـ)^٢

إذاً المثلث أ ب جـ قائم الزاوية حسب عكس نظرية فيثاغورث

٩) أ ب جـ ء مربع قسمت $\overline{ا ب}، \overline{ب \mathrm{جـ}}،\overline{\mathrm{جـ} ء}،\overline{ء أ}$ بالنقاط س، ص، ع، ل على الترتيب بنسبة ١ : ٣ أثبت أن:

أ) الشكل س ص ع ل مربع

أ ب جـ ء مربع

فيه أب = ب جـ = جـ ء = ء أ

قسمت أضلاعه $\overline{ا ب}، \overline{ب \mathrm{جـ}}،\overline{\mathrm{جـ} ء}،\overline{ء أ}$ بالنقاط س، ص، ع، ل بنسبة ١ : ٣

إذاً أ س = ب ص = جـ ع = د ل

إذاً أ ل = س ب = ص جـ = ع ء

إذاً المثلث ل أ س يطابق س ب ص يطابق المثلث ص جـ ع يطابق ع ء ل

نستنتج أن ل س = س ص = ص ع = ع ل

بما أن ق ($\angle$ أ ل س) + ق ($\angle$ أ س ل) = ٩٠° (١)

ق ($\angle$ أ ل س) = ق ($\angle$ ب س ص)

ق ($\angle$ أ س ل) = ق ($\angle$ب ص س)

ق ($\angle$ ب س ص) + ق ( $\angle$ أ س ل) = ٩٠°

إذاً ق ($\angle$ ل س ص) = ١٨٠ - ٩٠ = ٩٠°

إذاً الشكل س ص ع ل مربع.

ب) $\frac{\mathrm{مـ} \mathrm{المربع} س ص ع ل}{\mathrm{مـ} \mathrm{المربع} أ ب \mathrm{جـ} ء}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$

$\frac{\mathrm{مـ} \mathrm{المربع} س ص ع ل}{\mathrm{مـ} \mathrm{المربع} أ ب \mathrm{جـ} ء}={\left(\frac{س ص}{أ ب}\right)}^{\mathrm{٢}}$

= ${\left(\frac{\sqrt{\mathrm{١٠}}}{\mathrm{٤}}\right)}^{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{١٦}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$ وهو المطلوب.

١٠) صالة ألعاب م ستطيلة الشكل أبعادها ٨ متر، ١٢ متر، تم تغطية أرضيتها بالخشب، فكلفت ٣٢٠٠ جنيه. احسب (باستخدام التشابه) تكاليف تغطية أرضية صالة مستطيلة أكبر بنفس الخشب وبنفس الأسعار، إذا كان أبعادها ١٤، ٢١ من الأمتار.

$\frac{\mathrm{العرض} \mathrm{في} \mathrm{المستطيل} \mathrm{الأول}}{\mathrm{العرض} \mathrm{في} \mathrm{المستطيل} \mathrm{الثاني}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٤}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٧}}$

$\frac{\mathrm{الطول} \mathrm{في} \mathrm{المستطيل} \mathrm{الأول}}{\mathrm{الطول} \mathrm{في} \mathrm{المستطيل} \mathrm{الثاني}}=\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٢١}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٧}}$

المستطيلين متشابهين

إذاً $\frac{\mathrm{مساحة} \mathrm{المستطيل} \mathrm{الأول}}{\mathrm{مساحة} \mathrm{المستطيل} \mathrm{الثاني}}={\left(\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٤}}\right)}^{\mathrm{٢}} = {\left(\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٧}}\right)}^{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٤٩}}$

سعر التكلفة = سعر المتر × المساحة

$\frac{\mathrm{تكلفة} \mathrm{المستطيل} \mathrm{الأول}}{\mathrm{تكلفة} \mathrm{المستطيل} \mathrm{الثاني}}=\frac{\mathrm{سعر} \mathrm{المتر} \mathrm{في} \mathrm{الأول}}{\mathrm{سعر} \mathrm{المتر} \mathrm{في} \mathrm{الثاني}} = \frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٤٩}}$

$\frac{\mathrm{٣٢٠٠} }{\mathrm{تكلفة} \mathrm{المستطيل} \mathrm{الثاني}}=\frac{\mathrm{سعر} \mathrm{المتر} \mathrm{في} \mathrm{الأول}}{\mathrm{سعر} \mathrm{المتر} \mathrm{في} \mathrm{الثاني}} = \frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٤٩}}$

تكلفة المستطيل الثاني = $\frac{\mathrm{٣٢٠٠} \times \mathrm{٤٩}}{\mathrm{١٦}}$ = ٩٨٠٠ جنيه.