الدرس الأول: القوى الصحيحة غير السالبة والسالبة في ح

أولاً: اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة:

١) ^٣٤ + ^٣٤ + ^٣٤ + ^٣٤ يساوي:

أ) ^٣٤

ب) ^٤٤

جـ) ^١٢٤

د) ^٨١٤

^٣٤ × ^١٤ = ^٤٤

٢) ٠,٠٠٢ × ٠,٠٥ يساوي

أ) ١٠^-٥

ب) ١٠^-٤

جـ) ^٤١٠

د) ^٥١٠

$\frac{\mathrm{٢}}{ \mathrm{١٠٠٠} }\times \frac{\mathrm{٥}}{ \mathrm{١٠٠٠} }=\frac{\mathrm{١٠}}{ \mathrm{١٠٠٠٠٠} }=\frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{١٠}}^{ \mathrm{٤}}}$ = ١٠^-٤

٣) إذا كان س = $\frac{\sqrt{\mathrm{٩}}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}$ فإن س^-١ تساوي:

أ) $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}}$

ب) $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}$

جـ) $\sqrt{\mathrm{٣}}$

د) ٢

س = $\frac{\sqrt{\mathrm{٩}}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{١}}$

س^-١ = $\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$ × $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$ = $\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}}$

٤) إذا كان ٥^س = ٤ فإن ٥^{س -١} تساوي

أ) ١,٢٥

ب) ٠,٨

جـ) ٠,١٢٥

د) ٠,٠٨

٥^{س -١} = ٥^س × ٥^-١ = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{١}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٢}} = \frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٠}}$ = ٠,٨

٥) إذا كانت (س - ٥)^صفر = ١ فإن س $\in$ .......

أ) ح - {٥}

ب) ح - {-٥}

جـ) {٥}

د) ح

ثانياً: أوجد في أبسط صورة قيمة كل من:

١) ٣^-١

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

٢) ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$)^-١

= ($\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{١}}$)^١ = ٤

٣) ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$)^-٣

($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$)^٣ = $\frac{\mathrm{٢} \times \mathrm{٢} \times \mathrm{٢}}{\mathrm{٣} \times \mathrm{٣} \times \mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٢٧}}$

٤) ($\sqrt{\mathrm{٥}}$)^٤

(٥)^٢ = ٥ × ٥ = ٢٥

٥) ($-\sqrt{\mathrm{٣}}$)^-٢

(${\left(\frac{-\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}\right)}^{\mathrm{٢}}={\left(\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}\right)}^{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$)

٦) ($\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٧}}$)^-٣

${\left(\frac{\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٧}}}{\mathrm{١}}\right)}^{-\mathrm{٣}}={\left(\frac{\mathrm{١}}{\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٧}}}\right)}^{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٧}}$

٧) ($\frac{-\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}$)^٦

($\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}$)^٦ = $\frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٣}}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}$

٨) (٠,٠١)^-٢

${\left(\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٠٠}}\right)}^{-\mathrm{٢}}$ = (١٠٠)^٢ = ١٠٠٠٠

٩) ($\frac{-\sqrt{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}$)^-٤

${\left(\frac{-\mathrm{٢}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}\right)}^{\mathrm{٤}}={\left(\sqrt{\mathrm{٢}}\right)}^{\mathrm{٤}}$ = (٢)^٢ = ٤

ثالثاً: حل بمجرد النظر للمعادلة $\frac{\mathrm{١}}{{(س + \mathrm{٩})}^{\mathrm{٤}}}$ = ٠,٠٠٠١ ماذا تلاحظ؟

$\frac{\mathrm{١}}{(س + \mathrm{٩})\bcancel{{}^{\mathrm{٤}}}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{ \mathrm{١٠٠٠٠} }=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٠}\bcancel{{}^{\mathrm{٤}}} }$

س + ٩ = ١٠

س = ٩ - ١٠

س = ١

١) إذا كانت س = ٢، ص = $\sqrt{\mathrm{٣}}$، فأوجد في أبسط صورة كل من:

أ) ٣ (س + ص)^٤ (س - ص)^٤

المقدار = ٣ (٢ + $\sqrt{\mathrm{٣}}$)^٤ (٢ - $\sqrt{\mathrm{٣}}$)^٤ = ٣ [(٢ + $\sqrt{\mathrm{٣}}$) (٢ - $\sqrt{\mathrm{٣}}$)]^٤

= ٣ (٤ - ٣)^٢ = ٣ × (١)^٢ = ٣ × ١ = ٣

ب) ($\frac{س + ص}{س - ص}$)^-٢

($\frac{س + ص}{س - ص}$)^-٢ = ($\frac{س - ص}{س + ص}$)^٢ = ${\left(\frac{\mathrm{٢} - \sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢} + \sqrt{\mathrm{٣}}}\right)}^{\mathrm{٢}}$= $\frac{\mathrm{٢} - \sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢} +\sqrt{\mathrm{٣}}}\times \frac{\mathrm{٢} - \sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٢} - \sqrt{\mathrm{٣}}}=\frac{{(\mathrm{٢} - \sqrt{\mathrm{٣}})}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٤} - \mathrm{٣}}$ = ٤ + ٣ - ٤$\sqrt{\mathrm{٣}}$

= ٧ - ٤$\sqrt{\mathrm{٣}}$

المقدار = (٧ - ٤$\sqrt{\mathrm{٣}}$)^٢ = ٤٩ - ٥٦ $\sqrt{\mathrm{٣}}$ + ٤٨

= ٩٧ - ٥٦$\sqrt{\mathrm{٣}}$

٢) أوجد قيمة س في كل مما يأتي:

أ) ٣^{س -٢} = ٨١

٣^{س -٢} = ^٤٣

الأساس = الأساس

الأس = الأس

س - ٢ = ٤

س = ٦

ب) ($\sqrt{\mathrm{٣}}$)^{س -١} = ٩

($\sqrt{\mathrm{٣}}$)^{س -١} = ٩ بتربيع الطرفين

٣^{س -١} = ٨١

٣^{س -١} = ^٤٣

الأساس = الأساس

الأس = الأس

س - ١ = ٤

س = ٥

جـ) (٢٢)^{س - ٣} = ^٢٨^س+١

(${\mathrm{٢}}^{\mathrm{٥}}$)^{س - ٣} = (${\mathrm{٢}}^{\mathrm{٣}}$)^٢س+١

٥س - ١٥ = ٦س + ٣

^٥٢^س-١٥ = ^٦٢^س+٣

٥س - ١٥ = ٦س + ٣

-١٥ = س + ٣

-١٥ -٣ = س

س = -١٨

د) ٢٥ × ٣^{س -١} = ٩ × ٥^{س -١}

٥س = ٣ص

$\frac{{\mathrm{٣}}^{س - \mathrm{١}}}{{\mathrm{٥}}^{س - \mathrm{١}}}=\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢٥}}$

${\left(\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}\right)}^{س -\mathrm{١}}$ = $\frac{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}}}{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}}}$

س - ١ = ٢

س = ٣