الدرس الثالث: قوانين القوى الصحيحة السالبة في ح

أولاً: أكمل ما يأتي:

١) أبسط صورة للمقدار: ٢^صفر + (٢)^-١ - ($\frac{-\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٢}}}$)^٢ = .....

١ + $\bcancel{+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}} \bcancel{-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}}$ = ١

٢) إذا كانت س = ($\sqrt{\mathrm{٢}}$ + ٥)^٥، ص = ($\sqrt{\mathrm{٢}}$ + ٥)^-٥ فإن س ص = .....

س ص = $\frac{\bcancel{{(\sqrt{\mathrm{٢}}+ \mathrm{٢})}^{\mathrm{٥}}}}{\bcancel{{(\sqrt{\mathrm{٢}}+ \mathrm{٢})}^{\mathrm{٥}}}}$ = ١

٣) أ^-٤ + ١ = أ^-٤ (..... + .....) حيث أ $\ne$ ٠

$\frac{\mathrm{١}}{أ - \mathrm{٤}}$ = أ^٤، (١ + أ^٤)

٤) إذا كانت ٢^س × ٥^-س = ٢,٥ فإن س = .....

$\frac{{\mathrm{٢}}^{س}}{{\mathrm{٥}}^{س}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}$ $\Leftarrow$ ${\bcancel{\left(\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\right)}}^{س} = {\left(\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}\right)}^{\mathrm{١}}$ = ${\bcancel{\left(\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\right)}}^{-\mathrm{١}}$

س = -١

٥) إذا كانت ٤^{س -١٠} = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٦}}$ فإن $\sqrt[\mathrm{٣}]{س}$ = .....

٤^{س -١٠} = $\frac{\mathrm{١}}{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}}}$

٤^{س -١٠} = (٤)^-٢

س - ١٠ = -٢

س = ٨

$\sqrt[\mathrm{٣}]{س}$ = $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٨}}$ = ٢

ثانياً: اختر الإجابة الصحيحة من الإجابات المعطاة:

١) إذا كان (س - ٣)^صفر = ١ فإن س $\in$ ....

أ) ح - {٣}

ب) ح - {-٣}

جـ) {٣}

د) ح

٢) ($\sqrt{\mathrm{٣}}+\sqrt{\mathrm{٢}}$)^٩ ($\sqrt{\mathrm{٣}}-\sqrt{\mathrm{٢}}$)^٩ يساوي:

أ) ١

ب) $\sqrt{\mathrm{٥}}$

جـ) $\sqrt{\mathrm{٦}}$

د) ٥

= (٣ - ٢)^٩ = (١)^٩ = ١

٣) إذا كان ٣^س = ٥، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}{ }^{ص}}$ = ٧ فإن ٣^{س +ص} =

أ) $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$

ب) $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٥}}$

جـ) ٢

د) ١٢

٣^س = ٥، ٣^ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٧}}$

٣^{س + ص} = ٣^س × ٣^ص = ٥ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٧}}$ = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$

٤) إذا كان ٢^س-١ × ^١٣^{- س} = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$ فإن س = ....

أ) -٣

ب) -١

جـ) ١

د) ٣

٢^س-١ × ^١٣^{- س} = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$

$\frac{{\mathrm{٢}}^{س-\mathrm{١}}}{{\mathrm{٣}}^{س-\mathrm{١}}}=\frac{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}}}{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}}}$

${\left(\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\right)}^{س-\mathrm{١}}={\left(\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}\right)}^{\mathrm{٢}} ={\left(\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\right)}^{-\mathrm{٢}}$

س - ١ = -٢

س = -١

ثالثاً: أوجد في أبسط صورة قيمة كل مما يأتي:

١) ${\left(\frac{\sqrt{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}}\right)}^{-\mathrm{٥}}$

${\left(\frac{\mathrm{٣}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}\right)}^{\mathrm{٥}}$ = ${\left(\sqrt{\mathrm{٣}}\right)}^{\mathrm{٥}} = {\left(\sqrt{\mathrm{٣}}\right)}^{\mathrm{٤}} \times \sqrt{\mathrm{٣}}$ = (٣)^٢$\sqrt{\mathrm{٣}}$ = ٩$\sqrt{\mathrm{٣}}$

٢) ($\sqrt{\mathrm{٣}}$)^-٤ × (-$\sqrt{\mathrm{٢}}$)^٤

= $\frac{\mathrm{١}}{{\left(\sqrt{\mathrm{٣}}\right)}^{\mathrm{٤}}}\times \frac{{\left(\sqrt{\mathrm{٢}}\right)}^{\mathrm{٤}}}{\mathrm{١}}=\frac{{\left(\mathrm{٢}\right)}^{\mathrm{٢}}}{{\left(\mathrm{٣}\right)}^{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٩}}$

٣) ($\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$)^٥ ÷ ($\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$)

($\frac{\mathrm{١}}{\sqrt{\mathrm{٣}}}$)^٤ = $\frac{\mathrm{١}}{{\left(\mathrm{٣}\right)}^{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٩}}$

رابعاً: اختصر كلاً مما يأتي إلى أبسط صورة:

١) $\frac{{\left(\sqrt{\mathrm{٣}}\right)}^{-\mathrm{٥}} \times {\left(\sqrt{\mathrm{٣}}\right)}^{-\mathrm{٤}}}{{\left(\sqrt{\mathrm{٣}}\right)}^{-\mathrm{١٠}}}$

= ($\sqrt{\mathrm{٣}}$)^-٥-٤+١٠ = ($\sqrt{\mathrm{٣}}$)^-٩+١٠ = $\sqrt{\mathrm{٣}}$

٢) $\frac{{( \mathrm{١٠} )}^{\mathrm{٢}} \times {( \mathrm{١٠} )}^{-\mathrm{٧}}}{{( \mathrm{١},\mathrm{٠} )}^{\mathrm{٢}} \times \mathrm{٠٠١} , \mathrm{٠} }$

= $\frac{{\left(\mathrm{١٠}\right)}^{ \mathrm{٢}-\mathrm{٧}}}{{\left({\displaystyle \frac{\mathrm{١}}{ \mathrm{١٠} }}\right)}^{\mathrm{٢}} \times \left({\displaystyle \frac{\mathrm{١}}{ \mathrm{١٠٠٠} }}\right)}=\frac{\left(\mathrm{١٠}\right){ }^{-\mathrm{٥}}}{{\displaystyle \frac{\mathrm{١}}{ \mathrm{١٠٠} }} \times {\displaystyle \frac{\mathrm{١}}{ \mathrm{١٠٠٠} }}}=\frac{{\left(\mathrm{١٠}\right) }^{-\mathrm{٥}}}{\mathrm{١٠}{ }^{\mathrm{٥}}}=\frac{\left(\mathrm{١٠}\right){ }^{-\mathrm{٥}}}{{\left(\mathrm{١٠}\right) }^{-\mathrm{٥}}}$ = ١

خامساً: أوجد قيمة س في كل مما يأتي:

١) ٢^س = ٣٢

٢^س = ^٥٢

الأساس = الأساس

الأس = الأس

س = ٥

٢) ٢^س-٣ = ١

٢^س-٣ = ٢^صفر

س - ٣ = ٠

س = ٣

٣) ٣^س-٢ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٩}}$

٣^س-٢ = $\frac{\mathrm{١}}{{\left(\mathrm{٣}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٣^-٢

س - ٢ = -٢

س = ٠

٤) ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$)^٢س-١ = $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٢٥}}$

($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$)^٢س-١ = ${\left(\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\right)}^{\mathrm{٣}}$

٢س - ١ = ٣

٢س = ١ + ٣

٢س = ٤

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٢}}$س = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٢}}$

س = ٢

٥) ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$)^س-٤ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢}$

($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$)^س-٤ = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$

($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$)^س-٤ = ($\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$)^٢

($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$)^س-٤ = ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$)^-٢

س - ٤ = -٢

س = ٤ - ٢

س = ٢

سادساً:

١) إذا كان ٣^س = ٢٧، ٤^س+ص = ١ فأوجد قيمة س، ص.

• ٣^س = ٢٧

٣^س = ^٣٣

س = ٣

• ٤^س+ص = ١

٤^س+ص = ٤^صفر

٣ + ص = ٠

ص = -٣

٢) إذا كان: $\frac{{\mathrm{٨}}^{س} \times {\mathrm{٩}}^{س}}{{\left(\mathrm{١٨}\right)}^{س}}$ = ٦٤ فأوجد قيمة س.

$\frac{{\mathrm{٨}}^{س} \times \bcancel{{\mathrm{٩}}^{س}}}{{\mathrm{٢}}^{س} \times \bcancel{{\mathrm{٩}}^{س}}}$ = ٦٤

$\frac{{\mathrm{٨}}^{س}}{{\mathrm{٢}}^{س}}$ = ٦٤

($\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٢}}$)^س = ٦٤

٤^س = ^٣٤

س = ٣

• ٤^س = ٦٤

٤^-س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦٤}}$

٣) اختصر: $\frac{{\mathrm{٤}}^{س+\mathrm{١}} \times {\mathrm{٩}}^{\mathrm{٢}-س}}{{\mathrm{٦}}^{\mathrm{٢}س}}$ في أبسط صورة ثم احسب قيم الناتج عند س = ١

المقدار = $\frac{{\left({\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}}\right)}^{س+\mathrm{١}} \times {\left({\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}}\right)}^{\mathrm{٢}-س}}{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}س} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}س}}$

المقدار = $\frac{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}س+\mathrm{٢}} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٤}-\mathrm{٢}س}}{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}س} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}س}}$ = (٢)^٢س+٢-٢س × (٣)^٤-٢س-٢س

= (٢)^٢ × (٣)^٤-٤س

= ٤ × (٣)^٤-٤س

عند س = ١ المقدار = ٤ × (٣)^٤-٤×١ = ٤ × ^٤٣^-٤ = ٤ × ١ = ٤