تمارين عامة على الوحدة الثانية

أولاً: أكمل ما يأتي:

١) أبسط صورة للمقدار: ٢^-٣ × ٢^-٢ ÷ ٤^-٣ = .....

= ٢

٢) أبسط صورة للمقدار: (٣^-٢)^٣ ÷ ٩^-٣ × (-٢)^-١ = ......

$-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

٣) أبسط صورة للمقدار: ^٣٤ × ٣^-٢ × ($\sqrt[\mathrm{٣}]{-\mathrm{٨}}$)^-٥ = .....

٥^س × ^١٥ = ١

٥^س+١ = ١

٥^س+١ = ٥

س + ١ = ٠

س = -١

٤) إذا كان: ٣^س + ٣^س + ٣^س = ١ فإن س = .....

٣^س × ٣ = ١

٣^س+١ = ١

٣^س+١ = ^٠٣

س + ١ = ٠

س = -١

٥) $\frac{{\mathrm{٢}}^{س} \times {\mathrm{٣}}^{س}}{{\left(\mathrm{١٢}\right)}^{س}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ فإن س = ......

$\frac{{\mathrm{٢}}^{س} \times {\mathrm{٣}}^{س}}{{\left(\mathrm{١٢}\right)}^{س}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

${\left(\frac{\mathrm{٢} \times \mathrm{٣}}{\mathrm{١٢}}\right)}^{س} = \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

${\left(\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١٢}}\right)}^{س} = \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

${\left(\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\right)}^{س}={\left(\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\right)}^{\mathrm{١}}$

س = ١

ثانياً: اختر الإجابة الصحيحة من الإجابات المعطاة:

١) المقدار: $\frac{{\mathrm{٣}}^{س}\times {\mathrm{٣}}^{س}\times {\mathrm{٣}}^{س}}{{\mathrm{٣}}^{س}+{\mathrm{٣}}^{س}+{\mathrm{٣}}^{س}}$ يساوي

أ) ^٢٣^س-١

ب) ^١٣^-٢س

جـ) ${\mathrm{٣}}^{{س}^{\mathrm{٣}}-\mathrm{٣}س}$

د) ${\mathrm{٣}}^{\mathrm{٣}س-{س}^{\mathrm{٣}}}$

= $\frac{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٣}س}}{{\mathrm{٣}}^{س} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{١}}}=\frac{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٣}س}}{{\mathrm{٣}}^{س+\mathrm{١}}}$

= ^٣٣^{س- (س+١)} = ^٣٣^س-س-١

= ^٢٣^س-١

٢) القيمة العددية للمقدار: $\frac{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}ن+\mathrm{١}}\times {\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}ن+\mathrm{١}}}{\mathrm{٢}ن}$ تساوي:

أ) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٠}}$

ب) ٧

جـ) ١٠

د) ١٠٠

القيمة العددية للمقدار = $\frac{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}ن+\mathrm{١}}\times {\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}ن+\mathrm{١}}}{\mathrm{٢}ن}$

= $\frac{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}ن+\mathrm{١}} \times {\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}ن+\mathrm{١}}}{{(\mathrm{٢} \times \mathrm{٥})}^{\mathrm{٢}ن}}=\frac{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}ن+\mathrm{١}} \times {\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}ن+\mathrm{١}}}{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}ن} \times {\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}ن}}$

= ^٢٢^{ن+١ -٢ن} × ^٢٥^{ن+١ -٢ن}

= ^١٢ × ^١٥

= ١٠

٣) (٥^س+٢ -٥^س+١) ÷ ٥^س =

أ) ٥

ب) ١٠

جـ) ١٥

د) ٣٠

(٥^س+٢ + ٥^س+١) ÷ ٥^س

= ٥^س+٢ ÷ ٥^س + ٥^س+١ ÷ ٥^س

= ٥^س+٢-س + ٥^س+١-س

= ^٢٥ + ^١٥

= ٢٥ + ٥

= ٣٠

٤) قيمة المقدار: ^٥٣ + ($\sqrt{\mathrm{٣}}$)^١٠ -٢ (٣)^٥ =

أ) صفر

ب) ^٥٣

جـ) ($\sqrt{\mathrm{٣}}$)^٥

د) ٢ (٣)^٥

قيمة المقدار = ^٥٣ + ($\sqrt{\mathrm{٣}}$)^١٠ -٢ (٣)^٥

= ^٥٣ + ^٥٣ -٢ (٣)^٥

= ^٥٣ + ٢ -٢ (٣)^٥

= ٢ (٣)^٥ - ٢(٣)^٥

= صفر

٥) إذا كان ٦^س = ١١ فإن ٦^س+١ = .....

أ) ١٢

ب) ٢٢

جـ) ٦٦

د) ٧٢

٦^س = ^١٦

١١ × ٦ = ٦٦

ثالثاً:

١) إذا كانت س =٢ + $\sqrt{\mathrm{٣}}$، ص = ٢-$\sqrt{\mathrm{٣}}$، فأوجد قيمة المقدار: $\frac{{س}^{\mathrm{٧}} {ص}^{\mathrm{٨}} - ص}{{(س +ص)}^{\mathrm{٩}}}$ في أبسط صورة

س + ص = $\mathrm{٢} \bcancel{+\sqrt{\mathrm{٣}}} +\mathrm{٢} \bcancel{-\sqrt{\mathrm{٣}}}$ = ٤

س ص = (٢ + $\sqrt{\mathrm{٣}}$) (٢ - $\sqrt{\mathrm{٣}}$) = ٤ - ٣ = ١

$\frac{{س}^{\mathrm{٧}} {ص}^{\mathrm{٨}} - ص}{{(س +ص)}^{\mathrm{٩}}}$$\frac{ص (س ص - \mathrm{١})}{{(س +ص)}^{\mathrm{٩}}}= \frac{ص({\left(\mathrm{١}\right)}^{\mathrm{٧}} - \mathrm{١})}{{\left(\mathrm{٤}\right)}^{\mathrm{٩}}}=\frac{ص \times \mathrm{صفر}}{{\left(\mathrm{٤}\right)}^{\mathrm{٩}}}=\frac{\mathrm{صفر}}{{\left(\mathrm{٤}\right)}^{\mathrm{٩}}}$ =

٢) أثبت أن: $\frac{{\mathrm{٢٧}}^{س+\mathrm{١}}\times {\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}س}}{{\mathrm{٦٤}}^{س} \times \mathrm{٢٧} \times {\mathrm{٣}}^{س}}$ = ١

الطرف الأيمن = $\frac{{\left(\mathrm{٣}\right)}^{\mathrm{٣}س+\mathrm{١}}\times {\left(\mathrm{٨}\right)}^{\mathrm{٢}س}}{{\left(\mathrm{٨}\right)}^{\mathrm{٢}س}\times {\left(\mathrm{٣}\right)}^{\mathrm{٣}س}\times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٣}}}= \frac{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٣}س+\mathrm{٣}} \times {\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}س}}{{\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}س}\times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٣}س} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٣}}}$ = $\frac{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٣}س+\mathrm{٣}} \times {\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}س}}{{\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}س}\times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٣}س+\mathrm{٣}}}$

= ^٣٣^{س+٣-(٣س+٣)} × ^٢٨^س-٢س

= ٣^ًصفر × ٨^صفر = ١ × ١ = ١

إذاً الطرف الأيمن = الطرف الأيسر

٣) إذا كان $\frac{{\mathrm{٦}}^{\mathrm{٢}ن} \times {\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}ن}}{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}ن} \times {\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}ن +\mathrm{٤}}}$ = ٩^{- س} فأوجد قيمة س

٤) اختصر لأبسط صورة: $\frac{{\mathrm{٤}}^{س+\mathrm{١}} \times {\mathrm{٩}}^{\mathrm{٢}-س}}{{\mathrm{٦}}^{\mathrm{٢}س}}$ ثم احسب قيمة الناتج عند س = ١

٥) (الربط بالهندسة) إذا كانت المساحة الكلية لمكعب تساوي ٣,٣٧٥ × ^٢١٠ سم^٢

فأوجد: أ) طول حرف المكعب.

ب) حجم المكعب.

٦) (الربط بالهندسة) إذا كان حجم المخروط الدائري القائم يعطى بالعلاقة: ح = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ط نق^٢ ع. فأوجد ارتفاع المخروط ع إذا علم أن حجم المخروط ٧,٧ × ^٢١٠ سم^٣ وطول قاعدته ١٤سم. [اعتبر $\mathrm{\pi } \approx \frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$]

٧) (الربط بالهندسة) إذا كان حجم الكرة ح = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$ $\mathrm{\pi }$ نق^٢

فأوجد طول نصف قطر كرة حجمها ٣,٨٨٠٨ × ^٤١٠ سم^٣ [اعتبر $\mathrm{\pi } \approx \frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$]

٨) إذا كان: حـ = $\frac{أ ({ر}^{ن} - \mathrm{١})}{ر - \mathrm{١}}$ وكانت أ = ١٢٨، ر = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، حـ ٦,٣٠٥ × ^٣١٠، فأوجد ن.

٩) (الربط بالأعمال التجارية) إذا كان حـ = م (١ + ر)^ن حيث (حـ) جملة المبلغ م بالجنيه، (ر) ربح الجنيه في السنة، (ن) عدد السنوات. فأوجد (حـ) لأقرب جنيه، حيث إن م = ٢,٥ × ^٤١٠، ر = ٩,٨ × ١٠^-٢، ن = ١٢

١٠) الربط بالتكنولوجيا لإيجاد ناتج المقدار: $\frac{{\left(\mathrm{١٥}\right)}^{-\mathrm{٢}} \times {\left(\sqrt{\mathrm{٥}}\right)}^{\mathrm{٣}} \times {\left(\mathrm{٣}\right)}^{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٩} \times {\left(\sqrt{\mathrm{٥}}\right)}^{-\mathrm{٣}}}$ الناتج = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$