الدرس الأول: تساوي مساحتي متوازي الأضلاع

أولاً:

١) في كل من الأشكال التالية بين أن متوازيات الأضلاع الثلاثة متساوية المساحة:

أ)

م (أ س ص ء) = م (أ ب جـ ء)

لهما قاعدة مشتركة $\overline{أ ء}$، $\overline{أ ء}$ // $\overline{س \mathrm{جـ}}$

م (أ ب جـ ء) = م (ء هـ و جـ)

لهما قاعدة مشتركة $\overline{ء \mathrm{جـ}}$، $\overline{ء \mathrm{جـ}}$ // $\overline{أ و}$

ب)

م (أ ء جـ ب) = م (و ء جـ هـ)

لهما قاعدة مشتركة $\overline{ء \mathrm{جـ}}$، $\overline{ء \mathrm{جـ}}$ // $\overline{أ \mathrm{هـ}}$

م (و ء جـ هـ) = م (س ص جـ هـ)

لهما قاعدة مشتركة $\overline{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$، $\overline{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$$\overline{\mathrm{جـ} ء}$ //

جـ)

م (ء س ص و) = م (ء جـ هـ و)

لهما قاعدة مشتركة $\overline{ء و}$، $\overline{ء و}$$\overline{س \mathrm{هـ}}$ // $\overline{س \mathrm{هـ}}$

م (ء جـ هـ و) // م (ء جـ ب أ)

لهما قاعدة مشتركة $\overline{ء \mathrm{جـ}}$، $\overline{ء \mathrm{جـ}}$ // $\overline{أ \mathrm{هـ}}$

٢) أكمل

أ)

مساحة (أ ب جـ ء) = أ ب × س ص

١,٧ = ٠,٥ × س ص

س ص = $\frac{\mathrm{٧},\mathrm{١}}{\mathrm{٥},\mathrm{٠}}$ = ٣,٤ سم.

ب)

مساحة أ ب جـ ء = جـ ء × أ هـ

٢٤٠٠ = جـ ء × ٤٠

جـ ء = $\frac{\mathrm{٢٤٠٠}}{\mathrm{٤٠}}$= ٦٠ سم.

أ و = ٥٠ سم.

جـ)

مساحة (أ ب جـ ء) = جـ ء × أ و

= ٥٠ × ٣٠

= ١٥٠٠ سم^٢

مساحة (أ ب جـ ء) = ب جـ × أ هـ

١٥٠٠ = ب جـ × ٢٤

ب جـ = $\frac{\mathrm{١٥٠٠}}{\mathrm{٢٤}}$ = ٦٢,٥

٣) في مشروع ((ابن بيتك)) تم تقسيم أرض البناء كما بالرسم المقابل: هل مساحة القطعة رقم ١٥ = مساحة القطعة رقم ١٦؟ اذكر أرقام القطع المتساوية المساحة مفسراً إجابتك.

القطعة رقم ١٥، القطعة رقم ١٦

متوازيا أضلاع محصورة بين مستقيمين متوازيين.

وقواعدهما التي على أحد هذين المستقيمين المتوازيين متساويان الطول

$\therefore$ مساحة القطعة رقم = مساحة القطعة ١٦ (١)

القطعة رقم ١٨، القطعة رقم ١٧، القطعة رقم ١٦

متوازيات أضالع محصورات بين مستقيمين متوازيين.

وقواعدهما التي أحد هذين المستقيمين المتوازيين متساويان في الطول.

$\therefore$ مساحة القطعة رقم ١٨ = مساحة القطعة رقم ١٧ = مساحة القطعة رقم ١٦ (٢)

٤) في كل من الأشكال التالية $\overline{س ص}$ // $\overleftrightarrow{أ ب}$: بين أن مساحة الشكل المظلل نصف مساحة متوازي الأضلاع أ ب جـ ء

أ)

ب)

جـ)

د)

هـ)

و)

٥) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث قائم الزاوية في أ، $\overline{أ ء}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

أكمل:

مساحة $△$ أ ب جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ أ ب × .....

مساحة $△$ أ ب جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ب جـ × .....

$\therefore$ أ ب × ...... = ب جـ × .......

إذا كان أ ب = ٤سم، أ جـ = ٣سم، فما طول $\overline{أ ء}$؟ ....

٦) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء مربع محيطه = ٢٤سم، هـ منتصف $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

أكمل: أ ب = ..... سم، جـ هـ = ..... سم، مساحة $△$ أ هـ جـ = ..... سم^٢

ثانياً:

١) في الشكل المقابل: $\overline{أ ء}\perp \underset{\mathrm{جـ} ب}{\leftarrow }$، $\overline{ب \mathrm{هـ}} \perp \underset{أ \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$، أ جـ = ١٦سم. ب جـ = ١٠سم، أ ء = ٨سم أوجد:

أولاً: مساحة $△$ أ ب جـ

مساحة $△$ أ ب جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ب جـ × أ ء

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١٠ × ٨

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٨٠

= ٤٠ سم^٢

ثانياً: طول $\overline{ب \mathrm{هـ}}$

مساحة $△$ أ ب جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ أ جـ × ب هـ

٤٠ = $\frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٢}}} \times {\bcancel{\mathrm{١٦}}}^{\mathrm{٨}}$ × ب هـ

٤٠ = ٨ × ب هـ

ب هـ = ٥سم.

٢) أ ب جـ ء متوازي أضلاع محيطه ٤٨سم، ب جـ = ٢أ ب، مساحة $△$ أ ب جـ = ٥٦ سم^٢ هـ منتصف $\overline{ب \mathrm{جـ}}$. أوجد:

أولاً: ارتفاعي متوازي أضلاع أ ب جـ ء

٢ (أ ب + ب جـ) = ٤٨ (نقسم على ٢)

ب جـ = ٢ أ ب

أ ب + ب جـ = ٢٤

أ ب + ٢أ ب = ٢٤

٣أ ب = ٢٤

أ ب = ٨سم.

ب جـ = ٢ × ٨ = ١٦

ثانياً: مساحة $△$ أ هـ جـ

مساحة $△$ أ ب جـ = ٥٦

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × أ ب × الارتفاع المناظر لها = ٥٦

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٨ × الارتفاع المناظر لها = ٥٦

٤ الارتفاع المناظر لها = ٥٦ نقسم على ٤

الارتفاع المناظر لها $\overline{أ ب}$ = ١٤ سم.

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ب جـ × الارتفاع المناظر لها = ٥٦

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١٦ × الارتفاع المناظر لها = ٥٦

٨ × الارتفاع المناظر لها $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ = ٥٦ (نقسم على ٨)

الارتفاع المناظر لها $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ = ٧ سم.

أ ب = ٨سم

ب منتصف $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

هـ جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ب جـ

هـ جـ = ٨ سم.

الارتفاع المناظر لها هـ جـ = ٧ سم

مساحة $△$ أ هـ جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٨ × ٧

= ٢٨

٣) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء مستطيل، هـ $\in$ $\underset{ب \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ برهن أن: مساحة $△$ ء أ هـ = مساحة $△$ أ ب جـ

٤) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء، هـ ب جـ و متوازيا أضلاع، $\overline{ب \mathrm{هـ}}$ $\cap$ $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ = {ل}، ء $\in$ $\overline{أ و}$، هـ $\in$ $\overline{أ و}$

برهن أن:

أولاً: مساحة $△$ أ ب ل = مساحة $△$ و جـ ل.

$\because$ متوازي الأضلاع أ ب جـ ء، هـ ب جـ و مشتركان القاعدة $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ // $\overline{أ و}$

$\therefore$ م (أ ب جـ ء) = م (هـ ب جـ و) (١)

$\because$ $△$ أ ب ل، $▱$ أ ب جـ ء مشتركان القاعدة $\overline{أ ب}$، ب $\in$ $\overline{\mathrm{جـ} ء}$

$\therefore$ م ($△$ أ ب ل) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ م ($▱$ أ ب جـ ء) (٢)

$\because$ $△$ جـ و ل، $▱$ هـ ب جـ و مشتركان القاعدة $\overline{\mathrm{جـ} و}$، ب $\in$ $\overline{ب \mathrm{هـ}}$

$\therefore$ م ($△$ جـ و ل) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ($▱$ أ ب جـ ء) (٣)

من ١) و ٢) و ٣)

$\therefore$ م ($△$ أ ب ل) = م ($△$ و جـ ل)

مساحة المثلث ب جـ ل للطرفين

ثانياً: مساحة الشكل أ ب جـ ل = مساحة الشكل و جـ ب ل

مساحة المثلث ب جـ ل للطرفين

$\therefore$ مساحة الشكل أ ب جـ ل = مساحة الشكل و جـ ب ل

٥) في الشكل المقابل: $\overleftrightarrow{\mathrm{هـ} ء}$ // $\overleftrightarrow{ب \mathrm{جـ}}$، $\overleftrightarrow{س ء}$ // $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ص}$ $\overleftrightarrow{\mathrm{هـ} ب}$ // $\overleftrightarrow{و \mathrm{جـ}}$ // $\overleftrightarrow{ء ص}$، س $\in$ $\overline{\mathrm{هـ} ء}$، أ $\in$ $\overline{\mathrm{هـ} ء}$ برهن أن: متوازيات الأضلاع هـ ب جـ و، أ ب جـ ء، ء س جـ ص متساوية المساحة.

متوازيا الأضلاع هـ ب جـ و، أ ب جـ ء مشتركان

القاعدة $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، $\overline{\mathrm{هـ} ء}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

$\therefore$م ($▱$ هـ ب جـ و) = م ($▱$ أ ب جـ ء) (١)

$\because$ $△$ ء س جـ، $▱$ أ ب جـ ء مشتركان

القاعدة $\overline{ء \mathrm{جـ}}$، س $\in$ $\overline{أ ب}$

$\therefore$ م ($△$ ء س جـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ م ($▱$ أ ب جـ ء) (٢)

$\because$ $△$ (ء س جـ) = $▱$ (ء س جـ ص) مشتركان

القاعدة $\overline{س \mathrm{جـ}}$، ء $\in$ $\overline{ء ص}$

$\therefore$ م ($△$ ء س جـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ م ($▱$ ء س جـ ص) (٣)

من ١) و٢) و٣)

$\therefore$ متوازيات الأضلاع هـ ب جـ و، أ ب جـ ء، ء س جـ ص متساوية المساحة