تمارين عامة على الوحدة الرابعة (المساحات)

١) في الشكل المقابل: $\overleftrightarrow{أ ب}$ // $\overleftrightarrow{ء \mathrm{هـ}}$، س، ص $\in$ $\overleftrightarrow{أ ب}$ س ء هـ ص مستطيل، $\overline{أ ء}$// $\overline{ب \mathrm{هـ}}$.

أولاً: أوجد مساحة الشكل أ ب هـ ء.

مساحة المستطيل س ء هـ ص = مساحة الشكل أ ب هـ ء

لأن أ ص // ء هـ

وأيضاً ء هـ قاعدة مشتركة

مساحة المستطيل س ء هـ ص = ٢٤ × ١٢ = ٢٨٨سم^٢

مساحة الشكل أ ب هـ ء = ٢٨٨سم^٢

ثانياً: إذاً كان أ ء = ٣٠ سم فأوجد طول العمود النازل من ب على $\overline{أ ء}$.

مساحة الشكل أ ب هـ ء = طول القاعدة × الارتفاع

٢٨٨ = ٣٠ × الارتفاع

الارتفاع = ٢٨٨ ÷ ٣ = $\frac{\mathrm{٩٦}}{\mathrm{١٠}}$ = ٩,٦ سم.

٢) في الشكل المقابل: ل م ن هـ متوازي أضلاع. برهن أن: مساحة المثلث ل هـ و + مساحة المثلث م و ن = مساحة المثلث ل هـ م.

ل م ن هـ متوازي أضلاع والمثلث ل هـ م محصور بين مستقيمين متوازيين ل هـ، م ن وأيضاً ل هـ قاعدة مشتركة

مساحة المثلث ل هـ م = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ مساحة متوازي الأضلاع ل م ن هـ

المثلثين ل هـ و، م و ن لهم قاعدة مشتركة هـ ن

المثلث ل هـ و قاعدته ل م

ل م = هـ ن

القاعدتان متساويتان المثلثان ل هـ و، م و ن

ل هـ و تنحصر بين مستقيمين متوازيين ل م، و ن

مساحة المثلث ل هـ و + مساحة المثلث م ون = مساحة المثلث ل هـ م

٣) أ ب جـ ء، ب هـ جـ ء متوازيا أضلاع $\overline{أ \mathrm{جـ}} \cap \overline{ب ء}$ = {م}. برهن أن: مساحة المثلث أ ب ء = مساحة المثلث م هـ جـ

المثلث أ ب ء ومتوازي الأضلاع أ ب جـ ء لهم قاعدة مشتركة أ ء وهما بين مستقيمين متوازيين أ ء، ب هـ

مساحة المثلث أ ب ء = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ مساحة متوازي الأضلاع أ ب جـ ء

المثلث م هـ جـ، ومتوازي الأضلاع ب هـ جـ ء لهم قاعدة مشتركة هـ جـ وتنحصر بين مستقيمين متوازيين ب ء، هـ جـ

مساحة المثلث م هـ جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ مساحة متوازي الأضلاع ب هـ جـ ء

مساحة متوازي الأضلاع أ ب جـ ء = مساحة متوازي الأضلاع ب هـ جـ ء

إذاً مساحة المثلث أ ب ء = مساحة المثلث م هـ جـ

٤) في الشكل المقابل: $\overline{أ ء}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ // $\overline{\mathrm{هـ} و}$ برهن أن: مساحة المثلث أ ب هـ = مساحة المثلث ء جـ و.

$\because$ $\overline{أ ء}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ مساحة المثلث أ ب ء = مساحة المثلث أ جـ ء لها القاعدة $\overline{أ ء}$

$\because$ $\overline{أ ء}$ // $\overline{\mathrm{هـ} و}$ مساحة المثلث أ هـ ء = مساحة المثلث أ و ء لها القاعدة $\overline{أ ء}$

بطرح ١) من ٢ مساحة المثلث أ ب هـ = مساحة المثلث ء و جـ

٥) في الشكل المقابل: أ ب = أ جـ. $\overline{ب ء}$ $\perp$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، $\overline{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$

أولاً: برهن أن $\overline{\mathrm{هـ} ء}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

ثانياً: مساحة المثلث أ ء ب = مساحة أ هـ جـ

٦) في الشكل المقابل: $\overline{أ ء}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ برهن أن: مساحة المثلث أ ب م = مساحة المثلث ء م جـ، وإذا كانت مساحة المثلث م ب جـ = ٢٠سم^٢، ومساحة المثلث أ م ب = ٣ أمثال مساحة المثلث م ب جـ، احسب مساحة المستطيل المنشأ على $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ بحيث تقع قاعدته الأخرى على $\overleftrightarrow{أ ء}$

$\because$ $\overline{أ ء}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ مساحة المثلث أ ب جـ = مساحة المثلث ء ب جـ

بطرح المثلث ب م جـ من الطرفين

فإن مساحة المثلث أ ب م = مساحة المثلث أ جـ م

مساحة المستطيل = ٨٠ × ٢ = ١٦٠سم^٢