الدرس الثالث: مساحات بعض الأشكال الهندسية

أولاً:

١) أوجد مساحة كل من الأشكال التالية:

١) معين طول ضلعه ١٢ سم وارتفاعه ٨ سم.

مساحة المعين = الضلع × ع

= ١٢ × ٨ = ٩٦ سم^٢

٢) معين طولا قطريه ٨ سم، ١٠ سم.

مساحة المعين = $\frac{\mathrm{حاصل} \mathrm{ضرب} \mathrm{العنصرين}}{\mathrm{٢}}$ = $\frac{\mathrm{٨} \times \mathrm{١٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٤٠ سم^٢

٣) مربع طول قطره ٨ سم.

مساحة = $\frac{\mathrm{القطر} \times \mathrm{نفسه}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٨} \times \mathrm{٨}}{\mathrm{٢}}$ = ٣٢ سم^٢

٤) معين محيطه ٥٢ سم وطول أحد قطريه ١٠ سم.

الضلع = $\frac{\mathrm{المحيط}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٥٢}}{\mathrm{٤}}$ = ١٣سم.

ب ء = ١٠ سم.

في $△$ أ ب م

ق ($\angle$ م) = ٩٠°

أ م = $\sqrt{{\left(\mathrm{١٣}\right)}^{\mathrm{٢}} - {\left(\mathrm{٥}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ١٢سم.

أ جـ = ١٢ + ١٢ = ٢٤ سم.

مساحة سطح المعين = $\frac{أ \mathrm{جـ} \times ب ء}{\mathrm{٢}}$ = $\frac{\mathrm{٢٤} \times \mathrm{١٠}}{\mathrm{٢}}$ = ١٢٠ سم^٢.

٥) معين محيطه ٦٠ سم وقياس إحدى زواياه ٦٠°.

طول الضلع = المحيط ÷ ٤ = ٦٠ ÷ ٤ = ١٥ سم.

في المثلث أ ب م ق ($\angle$م) = ٩٠°، ق ($\angle$ ب) = ٣٠°

أ م = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ أ ب = ٧,٥ سم.

ب م = $\sqrt{{\left(\mathrm{١٥}\right)}^{\mathrm{٢}} - {(\mathrm{٥},\mathrm{٧})}^{\mathrm{٢}}}$ = ٧,٥ $\sqrt{\mathrm{٢}}$ سم.

أ جـ = ٧,٥ + ٧,٥ = ١٥ سم

ب ء = ٧,٥ $\sqrt{\mathrm{٢}}$ + ٧,٥ $\sqrt{\mathrm{٢}}$ = ١٥ $\sqrt{\mathrm{٢}}$ سم.

مساحة المعين = $\frac{أ \mathrm{جـ} + ب ء}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١٥} \times \mathrm{١٥}\sqrt{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}$ ≈ ١٥٩ سم^٢

٢) أوجد طول القاعدة المتوسطة لشبه منحرف طولا قاعدتيه ٧سم، ١٣ سم.

القاعدة المتوسطة = $\frac{{ق}_{\mathrm{١}} + {ق}_{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٧} + \mathrm{١٣}}{\mathrm{٢}}$ = ١٠

٣) في كل من الأشكال الآتية: استخدم المعلومات المعطاة على الرسم لإيجاد مساحة الشكل:

أ)

القاعدة المتوسطة = $\frac{{ق}_{\mathrm{١}} + {ق}_{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٨} + \mathrm{١٢}}{\mathrm{٢}}$ = ١٠ سم.

المساحة = ١٠ × ٥ = ٥٠ سم^٢

ب)

المساحة = ٨ × ٥ = ٤٠ سم^٢

جـ)

القاعدة المتوسطة = $\frac{\mathrm{٧} + \mathrm{١٢}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١٩}}{\mathrm{٢}}$ سم.

ع = ٥سم.

المساحة = $\frac{\mathrm{١٩}}{\mathrm{٢}}$ × ٥ = ٤٠ سم^٢

د)

القاعدة المتوسطة = $\frac{\mathrm{٧} + \mathrm{١٧}}{\mathrm{٢}}$ = ١٢سم.

ع = أ س = ٥$\sqrt{\mathrm{٣}}$ سم.

المساحة = ١٢ × ٥$\sqrt{\mathrm{٣}}$ = ٦٠ $\sqrt{\mathrm{٣}}$ سم^٢

ثانياً:

١) شبه منحرف مساحته ٤٥٠ سم^٢ وطولا قاعدتيه المتوازيتين ٢٤ سم، ١٢ سم أوجد ارتفاعه.

القاعدة المتوسطة = $\frac{\mathrm{٢٤} + \mathrm{١٢}}{\mathrm{٢}}$ = ١٨ سم.

الارتفاع = $\frac{\mathrm{المساحة}}{\mathrm{القاعدة} \mathrm{المتوسطة}}=\frac{\mathrm{٤٥٠}}{\mathrm{١٨}}$ = ٢٥سم

٢) شبه منحرف مساحته ١٠٨ سم^٢ وطول إحدى قاعدتيه المتوازيتين ١٥ سم وارتفاعه ٨ سم أوجد طول قاعدته الأخرى.

القاعدة المتوسطة = $\frac{\mathrm{المساحة}}{ع}=\frac{\mathrm{١٠٨}}{\mathrm{٨}}$ = ١٣,٥ سم.

ق_٢ = ٢ × المتوسطة - ق_١

ق_٢ = ٢ × ١٣,٥ - ١٥ ≈ ١٢ سم.

٣) شبه منحرف مساحته ١٨٠ سم^٢ وارتفاعه ١٢ سم، والنسبة بين طولي قاعدتيه ٣: ٢ فما طول كل منهما؟

القاعدة المتوسطة = $\frac{\mathrm{المساحة}}{ع}=\frac{\mathrm{١٨٠}}{\mathrm{١٢}}$ = ١٥ سم.

ق_١: ق_٢: المجموع

٣: ٢: ٥

..: ..: ٣٠

قيمة الجزء = $\frac{\mathrm{٣٠}}{\mathrm{٥}}$ = ٦

ق_١ = ٣ × ٦ = ١٨ سم.

ق_٢ = ٢ × ٦ = ١٢ سم.

نفرض ق_١ = ٣س، ق_٢ = ٢س

ق_١ + ق_٢ = ٢ × المتوسطة

٣س + ٢س = ٢ × ١٥

٥س = ٣٠

س = ٦

٤) قطعتا أرض متساويتان في المساحة، الأولى على شكل معين طولا قطريه ١٨، ٢٤ متراً، والأخرى على متساويتان شكل شبه منحرف ارتفاعه ١٢ متراً، أوجد طول قاعدتها المتوسطة.

مساحة شبه المنحرف = مساحة المعين

القاعدة المتوسطة × ع = $\frac{\mathrm{١٨} \times \mathrm{٢٤}}{\mathrm{٢}}$

القاعدة المتوسطة × ١٢ = ١٨ × ١٢

القاعدة المتوسطة = ١٨سم.

٥) شبه منحرف متساوي الساقين مساحته ١٢٠ سم^٢ ومحيطه ٦٠ سم، فإذا كان طول قاعدته المتوسطة ٢٠سم، أوجد طول كل من قاعدتيه.

ع = أ س = ء ص = $\frac{\mathrm{المساحة}}{ق. م}=\frac{\mathrm{١٢٠}}{\mathrm{٢٠}}$ = ٦ سم.

ق_١ + ق_٢ = ٢ × المتوسطة

ق_١ + ق_٢ = ٤٠ سم.

المحيط = ٦٠ سم.

أ ب + ء جـ + ق_١ + ق_٢ = ٦٠

٢أ ب + ٤٠ = ٦٠

٢أ ب = ٢٠

أ ب = ١٠سم.

في المثلث أ ب س ق ($\angle$ س) = ٩٠°

ب س = ٨ سم. من فيثاغورث

ق_١ + ق_٢ = ٤٠

ق_١ + ق_١ + ٨ + ٨ = ٤٠

٢ق_١ + ١٦ = ٤٠

٢ق_١ = ٢٤

ق_١ = ١٢سم.

ق_٢ = ٢٨سم.

٦) أ ب جـ ء مستطيل فيه أ ب = ٦ سم، ب جـ = ٨ سم، س، ص، ل، م منتصفات أضلاعه $\overline{أ ب}$، $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، $\overline{\mathrm{جـ} ء}$، $\overline{ء أ}$ على الترتيب.

أ) برهن أن الشكل س ص ل م معين وأوجد مساحته.

في المثلث أ س م ق ($\angle$ أ) = ٩٠°

س م = $\sqrt{\mathrm{٩} + \mathrm{١٦}}$ = ٥ سم.

بالمثل س ص = ص ل = م ل = س م

إذاً الشكل س ص ل م معين

مساحة المعين = $\frac{س ل \times م ص}{\mathrm{٢}}$ = $\frac{\mathrm{٨} \times \mathrm{٦}}{\mathrm{٢}}$

مساحة المعين = ٢٤ سم^٢

ب) أوجد ارتفاع المعين س ص ل م.

الارتفاع = $\frac{\mathrm{المساحة}}{\mathrm{الضلع}}=\frac{\mathrm{٢٤}}{\mathrm{٥}}$ ≈ ٤,٨ سم.

٧) قطعة أرض على شكل شبه منحرف، النسبة بين طولي كل من قاعدتيه المتوازيتين وارتفاعه كنسبة ٣: ٢: ٤ على الترتيب أوجد طول قاعدته المتوسطة إذا كان مساحة سطحه ٤٠٠٠ سم^٢.

ق_١ = ٣س، ق_٢ = ٢س، ع = ٤س

القاعدة المتوسطة = $\frac{\mathrm{٣}س + \mathrm{٢}س}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٥}س}{\mathrm{٢}}$

المساحة = ٤٠٠٠ سم^٢

القاعدة × ع = ٤٠٠٠

$\frac{\mathrm{٥}س}{\bcancel{\mathrm{٢}}} \times {\bcancel{\mathrm{٤}}}^{\mathrm{٢}} س$ = ٤٠٠٠

١٠س^٢ = ٤٠٠٠

س^٢ = ٤٠٠

س = $\pm$ ٢٠ السالب مرفوض

س = ٢٠