الدرس الرابع: المساحة الجانبية والكلية لكل من المكعب - متوازي المستطيلات

(١) أكمل:

أ) إذا كان طول حرف مكعب يساوي ٦ سم فإن مساحته الكلية تساوي .....

المساحة الكلية = مساحة وجه واحد × ٦

= (٦ × ٦) × ٦

= ٣٦ × ٦

= ٢١٦ سم^٢

ب) إذا كان مساحة قاعدة مكعب ٤٩ سم^٢ فإن مساحته الجانبية تساوي .....

المساحة الكلية = مساحة وجه واحد × ٤

= ٤٩ × ٤

= ١٩٦ سم^٢

جـ) إذا كان مجموع أطوال أحرف مكعب ٨٤ ٍم فإن مساحته الكلية تساوي .....

المساحة الكلية = مساحة وجه واحد × ٦

مجموع أطوال الأحرف = طول الحرف × ١٢

طول الحرف = مجموع أطوال الأحرف ÷ ١٢

= ٨٤ ÷ ١٢ = ٧ سم.

المساحة الكلية = ٧ × ٧ × ٦ = ٤٩ × ٦ = ٢٩٤ سم^٢

د) ارتفاع متوازي مستطيلات مساحته الكلية ١٢٠سم^٢ وبعدا قاعدتيه ٤سم، ٦سم يساوي .....

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

الارتفاع = المساحة الجانبية ÷ محيط القاعدة

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مجموع مساحتي القاعدتين

المساحة الجانبية = المساحة الكلية - مساحة القاعدتين

= ١٢٠ - ٢ (٤ × ٦)

= ١٢٠ - ٢ (٢٤)

= ١٢٠ - ٤٨

= ٧٢ سم^٢

الارتفاع = ٧٢ ÷ ٢ = ٣,٦ سم

هـ) إذا كانت المساحة الجانبية لمكعب ١٠٠سم^٢ فإن مساحته الكلية = ..... سم^٢

المساحة الكلية = مساحة وجه واحد × ٦

المساحة الجانبية = مساحة وجه واحد × ٤

مساحة وجه واحد = المساحة الجانبية ÷ ٤

= ١٠٠ ÷ ٤ = ٢٥ سم^٢

المساحة الكلية = ٢٥ × ٦ = ١٥٠ سم^٢

و) إذا كان حجم مكعب ١٠٠٠ سم^٣ فإن مساحته الكلية = ..... سم^٢

المساحة الكلية = مساحة وجه واحد × ٦

حجم المكعب = طول الحرف × نفسه × نفسه

١٠٠٠ = ١٠ × ١٠ × ١٠

طول الحرف = ١٠ سم.

المساحة الكلية = (١٠ × ١٠) × ٦

= ١٠٠ × ٦

= ٦٠٠ سم^٢

ز) إذا كان محيط قاعدة مكعب ٢٤ سم فإن مساحته الكلية = ..... سم^٢

المساحة الكلية = مساحة وجه واحد × ٦

محيط القاعدة = طول الحرف × ٤

طول الحرف = محيط القاعدة ÷ ٤

= ٢٤ ÷ ٤

= ٦ سم

المساحة الكلية = (٦ × ٦) × ٦

= ٣٦ × ٦

= ٢١٦ سم^٢

(٢) احسب المساحة الجانبية والكلية لكل مجسم فيما يلي:

• المجسم الأول

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

= (٢٠ + ١٢) × ٢ × ١٧

= ٣٢ × ٢ × ١٧

= ٦٤ × ١٧

= ١٠٨٨ سم^٢

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مجموع مساحتي القاعدتين

= ١٠٨٨ + ٢ (١٢٠ × ١٢)

= ١٠٨٨ + ٤٨٠

= ١٥٦٨

• المجسم الثاني

المساحة الجانبية = مساحة وجه واحد × ٤

= (١٥ × ١٥) × ٤

= ٢٢٥ × ٤

= ٩٠٠ سم^٢

المساحة الكلية = مساحة وجه واحد × ٦

= (١٥ × ١٥) × ٦

= ٢٢٥ × ٦

= ١٣٥٠ سم^٢

• المجسم الثالث

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

= (٨ × ٤) × ٢٥

= ٣٢ × ٢٥

= ٨٠٠ سم^٢

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مجموع مساحتي القاعدتين

= ٨٠٠ + ٢ (٨ × ٨)

= ٨٠٠ + ٢ (٦٤)

= ٨٠٠ + ١٢٨

= ٩٢٨ سم^٢

(٣) أكمل الجدول التالي (مع اعتبار الوحدات بالسنتمتر):

• متوازي مستطيلات

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

= (٩,٥ + ٦) × ٢ × ٨

= ١٥,٥ × ٢ × ٨

= ٣١ × ٨

= ٢٤٨ سم^٢

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مجموع مساحتي القاعدتين

= ٢٤٨ + ٢ (٩,٥ × ٦)

= ٢٤٨ + ١١٤

= ٣٦٢ سم^٢

• مكعب

المساحة الجانبية = مساحة وجه واحد × ٤

= (٨ × ٨) × ٤

= ٦٤ × ٤

= ٢٥٦ سم^٢

المساحة الكلية = مساحة وجه واحد × ٦

= (٨ × ٨) × ٦

= ٦٤ × ٦

= ٣٨٤ سم^٢

• متوازي مستطيلات

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

محيط القاعدة = المساحة الجانبية ÷ الارتفاع

= ١٦٨ ÷ ٨

= ٢١ سم

محيط القاعدة = محيط المستطيل = ٢١ سم

نصف المحيط = الطول + العرض

١٠,٥ = ٨,٥ + العرض

العرض = ١٠,٥ - ٨,٥ = ٢ سم

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مجموع مساحتي القاعدة

= ١٦٨ + ٢ (٨,٥ × ٢)

= ١٦٨ + ٣٤

= ٢٠٢ سم^٢

• مكعب

المساحة الجانبية = مساحة وجه واحد × ٤

مساحة وجه واحد = المساحة الجانبية ÷ ٤

= ١٠٠ ÷ ٤ = ٢٥ سم^٢

مساحة وجه المكعب = طول الحرف × نفسه

٢٥ = ..... × .......

٢٥ = ٥ × ٥

طول الحرف = ٥ سم.

المساحة الكلية = مساحة وجه واحد × ٦

= (٥ × ٥) × ٦

= ٢٥ × ٦

= ١٥٠ سم^٢

(٤) إذا كانت المساحة الجانبية لمكعب هي ٣٦سم^٢. احسب مساحته الكلية.

المساحة الجانبية = مساحة وجه واحد × ٤

مساحة وجه واحد = المساحة الجانبية ÷ ٤

= ٣٦ ÷ ٤

= ٩ سم^٢.

المساحة الكلية = مساحة وجه واحد × ٦

= ٩ × ٦ = ٥٤ سم^٢

(٥) مكعب طو حرفه ٨سم، احسب النسبة بين مساحته الجانبية ومساحته الكلية.

المساحة الجانبية = مساحة وجه واحد × ٤

= (٨ × ٨) × ٤

= ٦٤ × ٤

المساحة الكلية = مساحة وجه واحد × ٦

= (٨ × ٨) × ٦

= ٦٤ × ٦

المساحة الجانبية : المساحة الكلية

$\bcancel{\mathrm{٦٤}} \times \mathrm{٤} : \bcancel{\mathrm{٦٤}} \times \mathrm{٦}$

٤ : ٦ (نقسم على ٢)

٢ : ٣

(٦) مكعب مساحته الكلية ٧٢٦ سم^٢، احسب مساحته الجانبية.

المساحة الكلية = مساحة وجه واحد × ٦

مساحة وجه واحد = المساحة الكلية ÷ ٦

= ٧٢٦ ÷ ٦ = ١٢١ سم^٢

المساحة الجانبية = مساحة وجه واحد × ٤

= ١٢١ × ٤

= ٤٨٤ سم^٢

(٧) مكعب طول حرفه ١٠سم، ومتوازي مستطيلات طوله ٨سم، وعرضه ٥سم، ارتفاعه ١٧سم، أوجد الفرق بين المساحتين الجانبيتين لكل من المكعب ومتوازي المستطيلات.

المساحة الجانبية للمكعب = مساحة وجه واحد × ٤

= (١٠ × ١٠) × ٤

= ١٠٠ × ٤

= ٤٠٠ سم^٢

المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = محيط القاعدة × الارتفاع

= (٨ + ٥) × ٢ × ١٧

= ١٣ × ٢ × ١٧

= ٢٦ × ١٧

= ٤٤٢ سم^٢

الفرق بين المساحتين = ٤٤٢ - ٤٠٠ = ٤٢ سم^٢

(٨) علبة بدون غطاء طولها ١٦سم، عرضها ٧سم، ارتفاعها ١٩سم - احسب كلاً من مساحتها الجانبية - ومساحتها الكلية.

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

= (١٦ + ٧) × ٢ × ١٩

= ٤٦ × ١٩ = ٨٧٤ سم^٢

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة

= ٨٧٤ + (١٦ × ٧)

= ٨٧٤ + ١١٢

= ٩٨٦ سم^٢

(٩) صندوق لسيارة نقل على شكل متوازي مستطيلات، أبعاده من الداخل ٥ أمتار، ٢,٥ متر، ١,٦ متر. يراد طلائه من الداخل بدهان تكلفة المتر المربع منه ١٢ جنيهاً - احسب تكلفة الدهان.

صندوق لسيارة نقل على شكل متوازي مستطيلات، أبعاده من الداخل ٥ أمتار، ٢,٥ متر، ١,٦ متر، يراد طلائه من الداخل بدهان تكلفة المتر المربع منه ١٢ جنيهاً - احسب تكلفة الدهان.

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

= (٥ + ٢,٥) × ٢ × ١,٦

= ٧,٥ × ٢ × ١,٦

= ١٥ × ١,٦ = ٢٤ م^٢

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة

= ٢٤ + (٥ × ٢,٥)

= ٢٤ + ٧,٥

= ٢٤,٠ + ١٢,٥

= ٣٦,٥ م^٢

تكلفة الدهان = ٣٦,٥ × ١٢ = ٤٣٨ جنيهاً.

(١٠) عند طي الشكل المقابل فإن:

• المجسم الناتج هو ......

مكعب.

• المساحة الجانبية للمجسم الناتج = .....

(٦ × ٦) × ٤ = ٣٦ × ٤ = ١٤٤ سم^٢

• المساحة الكلية للمجسم الناتج = ....

(٦ × ٦) × ٦ = ٢١٦ سم^٢

(١١) علبة على شكل متوازي مستطيلات قاعدتها على شكل مربع طول ضلعه ٩سم، فإذا كان ارتفاع العلبة ٢٠سم. احسب كلاً من: مساحتها الجانبية ومساحتها الكلية.

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

= (٩ × ٤) × ٢٠

= ٣٦ × ٢٠

= ٧٢٠ سم^٢

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مجموع مساحتي القاعدتين

= ٧٢٠ + ٢ (٩ × ٩)

= ٧٢٠ + ١٦٢

= ٨٨٢ سم^٢

(١٢) حجم طولها ٥ أمتار وعرضها ٤أمتار، ارتفاعها ٣,٢ متر، يراد طلاء جدرانها وسقفها بدهان تكلفة المتر المربع ٨ جنيهات - احسب التكلفة اللازمة، علماً بأن جدران الغرفة بها فتحات (٢شباك وباب) مساحتها ٨م^٢

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

= (٥ + ٤) × ٢ × ٣,٢

= ١٨ × ٣,٢

= ٥٧,٦ م^٢

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة

= ٥٧,٦ + (٥ × ٤)

= ٥٧,٦ + ٢٠

= ٧٧,٦ م^٢

المساحة المراد طلائها = المساحة الكلية - مساحة الفتحات

= ٧٧,٦ - ٨,٠ = ٩٦,٦ م^٢

التكليف = ٩٦,٦ × ٨ = ٥٥٦,٨ جنيهاً.

(١٣) استخدم يوسف قطعة من الورق المقوى مستطيلة الشكل طولها ١,٢ متراً وعرضها ٨٠ سم، في تصميم علبة مكعبة الشكل طول ضلعها ٣٠سم. احسب مساحة الورق المتبقي بعد تصميم العلبة.

مساحة قطعة الورق المقوى = الطول × العرض

= ١٢٠ × ٨٠ = ٩٦٠٠ سم^٢

المساحة الكلية للعلبة الكلية = مساحة وجه واحد × ٦

= (٣٠ × ٣٠) × ٦

= ٩٠٠ × ٦

= ٥٤٠٠ سم^٢

المساحة المتبقية = ٩٦٠٠ - ٥٤٠٠ = ٤٢٠٠ سم^٢

(١٤) حمام سباحة أبعاده من الداخل ٣٠ متراً، ١٠ أمتار ١,٥ متراً يراد تغطيته ببلاط سيراميك مربع الشكل طول ضلع البلاطة ٢٠سم، فإذا كان سعر المتر المربع من السيراميك ٣٢ جنيهاً، احسب التكلفة الكلية لتغطية جدران وأرضية الحمام.

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

= (٣٠ + ١٠) × ٢ × ١,٥

= ٨٠ × ١,٥

= ١٢٠ م^٢

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة

= ١٢٠ + (٣٠ × ١٠)

= ١٢٠ + ٣٠٠

= ٤٢٠ م^٢

التكلفة = ٤٢٠ × ٣٢ = ١٣٤٤٠ جنيهاً.

(١٥) حاوية لنقل البضائع على شكل متوازي مستطيلات، أبعادها من الداخل ٤م، ٢,٥م، ١,٨م، يراد تغطية جوانبها وسقفها بنوع من الصاج ثمن المتر المربع منه ١٥ جنيهاً. احسب ثمن الصاج اللازم لذلك.

المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع

= (٤ + ٢,٥) × ٢ × ١,٨

= ٦,٥ × ٢ × ١,٨

= ١٣ × ١,٨

= ٢٣,٤ م^٢

المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة

= ٢٣,٤ + (٤,٠ × ٢,٥)

= ٢٣,٤ + ١٠,٠

= ٣٣,٤ م^٢

ثمن الصاج = ٣٣,٤ × ١٥ = ٥٠١ جنيهاً.