الدرس الثالث: نظريات المثلث المتساوي الساقين

١)

أ جـ = ٣ سم.

س ع = ٣ سم

ء هـ = ١٠ سم، ق ($\angle$ هـ) = ٦٠°

هـ و = ١٠ سم، ق ($\angle$ م ء و) = ٦٠°

٢) في الشكل المقابل: أ ب = أ جـ، ق ($\angle$ ب أ جـ) = ٤٨°

$\underset{\mathrm{جـ} ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ب جـ أ ويقطع $\overline{أ ب}$ في ء

ق ($\angle$ب)، ق ($\angle$ ب جـ ء)

$\because$ أ ب = أ جـ

• ق ($\angle$ب) = ق ($\angle$ جـ) = $\frac{\mathrm{١٨٠} - \mathrm{٤٨}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١٣٢}}{\mathrm{٢}}$ = ٦٦°

$\because$ $\underset{\mathrm{جـ} ء}{\leftarrow }$ منصف للزاوية ($\angle$ جـ)

ق (ب جـ ء) = $\frac{\mathrm{٦٦}}{\mathrm{٢}}$ = ٣٣°

٣) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث فيه أ جـ = ب جـ، $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، ق ($\angle$ ء أ جـ) = ٣٠°

قياسات زوايا $△$ أ ب جـ

$\because$ $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ ق ($\angle$ ء أ جـ) ق ($\angle$ جـ) = ٣٠° بالتبادل.

$\because$أ جـ = ب جـ

$\therefore$ ق ($\angle$ جـ أ ب) = ق ($\angle$ جـ ب أ)

= $\frac{\mathrm{١٨٠} - \mathrm{٣٠}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١٥٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٧٥°

٤) في الشكل المقابل ع $\in$ $\overline{ل ص}$، س ع = ص ع

ق ($\angle$ ل ع س) = ١٣٠°، $\underset{ل م}{\leftarrow }$ // $\overline{س ص}$

ق (م ل ص)

• في $△$ ع س ص

$\because$ ع س = ع ص

$\therefore$ ق ($\angle$ س) = ق ($\angle$ ص) (١)

$\because$ ($\angle$ ل ع ص) خارجه عن المثلث ع س ص

$\therefore$ ق ($\angle$ ل ع ص) = ق $\angle$ س + ق $\angle$ ص

نعوض في (١)

١٣٠ = ق $\angle$ س + ق $\angle$ س

١٣٠ = ٢ ق $\angle$ س

ق $\angle$ س = $\frac{\mathrm{١٣٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٦٥°

ق $\angle$ ص = ٦٥°

• $\because$ $\underset{ل م}{\leftarrow }$ // $\overline{س ص}$

$\therefore$ ق $\angle$ ص = ق $\angle$ ل بالتبادل = ٦٥°

٥) في الشكل المقابل أ ب = أ جـ، ق ($\angle$ ب) = (٢س + ١٣)° ق ($\angle$ جـ) = (٣س - ١٧)°

قياسات زوايا $△$ أ ب جـ

$\because$ أ ب = أ جـ

ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ جـ)

٢س + ١٣ = ٣س - ١٧

١٣ + ١٧ = ٣س - ٢س

س = ٣٠

ق ($\angle$ ب) = ٢س + ١٣

= ٢ × ٣٠ + ١٣

= ٧٣°

ق ($\angle$ جـ) = ٧٣°

$\therefore$ ق ($\angle$ أ) = ١٨٠ - ١٤٦

= ٣٤°

٦) في الشكل المقابل أ ب جـ مثلث متساوي الساقين فيه أ ب = أ جـ، ء $\in$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ بحيث ب ء = هـ جـ

أولاً: $△$ أ ء هـ متساوي الساقين

$\because$ أ ب = أ جـ

$\therefore$ ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ جـ)

$△$ أ ب ء، $△$ أ جـ هـ

فيهما

1. أ ب = أ جـ
2. ب ء = هـ جـ
3. ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ جـ)

$\therefore$ $\equiv$ $△$ أ ب ء، $△$ أ جـ هـ

ينتج أن أ ء = أ هـ

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ء هـ) = ق ($\angle$ أ هـ ء)

$△$ أ ء هـ متساوي الساقين

ثانياً: $\angle$ أ ء هـ $\equiv$ $\angle$ أ هـ ء

بما أن المثلث متساوي الساقين

فإن $\angle$ أ ء هـ $\equiv$ $\angle$ أ هـ ء

٧) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث متساوي الأضلاع. و $\in$ $\underset{أ \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$، د $\in$ $\underset{\mathrm{جـ} ب}{\leftarrow }$، ق ($\angle$ ء و جـ) = ٣٠°

$△$ ء جـ و متساوي الساقين.

$△$ أ ب جـ متساوي الأضلاع

$\therefore$ قياس كل زاوية من زواياه = ٦٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ أ جـ ب) = ٦٠°

$\because$ ق ($\angle$ أ جـ و) = ١٨٠° لأنها مستقيمة.

$\therefore$ ق ($\angle$ ء جـ و) = ١٨٠ - ٦٠ = ١٢٠°

في $△$ ء جـ و

ق ($\angle$ ء) = ١٨٠ - ١٥٠ = ٣٠°

$\therefore$ ($\angle$ ء) = ق ($\angle$ و) = ٣٠°

٨) في الشكل المقابل $\underset{ب ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ ب جـ، ويقطع $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ في ء، $\overline{ء \mathrm{هـ} }$ // $\overline{أ ب}$.

$△$ هـ ب ء متساوي الساقين.

$\because$ $\underset{ب ء}{\leftarrow }$ ينصف ($\angle$ ب)

$\therefore$ ق ($\angle$ ١) = ق ($\angle$ ٢) (١)

$\because$ $\overline{ء \mathrm{هـ} }$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ ق ($\angle$ هـ ء ب) = ق ($\angle$ ٢) بالتبادل

$\therefore$ ق ($\angle$ هـ ء ب) = ق ($\angle$ ١)

$\therefore$ $△$ هـ ب ء متساوي الساقين.

٩) أ ب جـ مثلث فيه ء $\in$ $\overline{أ ب}$، هـ $\in$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ بحيث كان ب ء = ب هـ، فإذا كان $\overline{ء \mathrm{هـ}}$ // $\overline{أ \mathrm{جـ}}$

أ ب = ب جـ

في $△$ ب ء هـ

$\because$ ب ء = ب هـ

$\therefore$ ق ($\angle$ ١) = ق ($\angle$ ٢) (١)

$\because$ $\overline{ء \mathrm{هـ}}$ // $\overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ ق ($\angle$ ١) = ق ($\angle$ ٣) بالتناظر

$\therefore$ ق ($\angle$ ٢) = ق ($\angle$ ٤) بالتناظر

ولكن من ١

ق ($\angle$ ٣) = ق ($\angle$ ٤)

إذاً أ ب = ب جـ

١٠) أ ب جـ مثلث فيه أ ب = أ جـ، $\underset{ب ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ ب جـ، $\underset{\mathrm{جـ} ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ جـ ب

$△$ ء ب جـ متساوي الساقين.

$\because$ أ ب = أ جـ

$\therefore$ ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ جـ) (١)

$\because$ $\underset{ب ء}{\leftarrow }$ ينصف ($\angle$ب)

$\therefore$ ق ($\angle$ ء ب جـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ ب)

$\because$ $\underset{\mathrm{جـ} ء}{\leftarrow }$ ينصف ($\angle$ جـ)

$\therefore$ ق ($\angle$ ء جـ ب) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ جـ)

من ١ نستنتج أن

ق ($\angle$ ء ب جـ) = ق ($\angle$ ء جـ ب)

$\therefore$ ء ب = ء جـ

المثلث متساوي الساقين

١١) أ ب جـ ء مربع تقاطع قطراه $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، $\overline{ب ء}$ في النقطة م

أ) في $△$ أ ب جـ، ق ($\angle$ أ ب جـ) = ......°

$\because$ أ ب جـ

$\therefore$ ق ($\angle$ ب أ جـ) = ق ($\angle$ ب جـ أ) = ......°

ب) $\because$ ق ($\angle$ ب أ ء) = ٩٠° $\therefore$ ق ($\angle$ ء أ جـ) = .....°

$\because$ ق ($\angle$ ب جـ ء) = ٩٠° $\therefore$ ق ($\angle$ أ جـ ء) = ......° ص

جـ) هل القطر $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ ينصف $\angle$ أ؟

د) هل القطر $\overline{ب ء}$ ينصف كل من $\angle$ ب، $\angle$ ء؟

هـ) هل $△$ م أ ء متساوي الساقين؟ لماذا؟

و) اذكر مثلثات متساوية الساقين رأس كل منها النقطة م. ص

ز) هل م منتصف $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، $\overline{ب ء}$

ح) هل $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ $\equiv$ $\overline{ب ء}$

ط) استنتج من البنود السابقة خواص المربع.