تمارين عامة على متوسطات المثلث والمثلث المتساوي الساقين

١) في الشكل المقابل

أ ب = أ جـ، ب جـ = ١٠ سم، ق ($\angle$ ب أ ء) = ٣٠°، $\overline{أ ء}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

أولاً: أوجد طول كل من $\overline{ب ء}$، $\overline{أ ء}$.

• $\because$ أ ب = أ جـ، $\overline{أ ء}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ ب ء = جـ ء $\therefore$ ب ء = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ب جـ = ٥ سم.

• $△$ أ ب جـ فيه ق ($\angle$ أ ء ب) = ٩٠°

ق ($\angle$ ب أ ء) = ٣٠°

$\therefore$ أ ء = ٢ ب ء = ١٠ سم.

$\therefore$ أ ء = $\sqrt{{\left(\mathrm{١٠}\right)}^{\mathrm{٢}} - {\left(\mathrm{٥}\right)}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{١٠٠} - \mathrm{٢٥}}=\sqrt{\mathrm{٧٥}} = \mathrm{٥}\sqrt{\mathrm{٣}}$

ثانياً: ما عدد محاور تماثل المثلث أ ب جـ؟

$\because$ $△$ أ ب ء فيه ق ($\angle$ أ ء ب) = ٩٠°

ق ($\angle$ ب أ ء) = ٣٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ ب) = ١٨٠ - (٩٠ + ٣٠) = ٦٠°

$\because$ $△$ ‌أ ب جـ فيه أ ب = أ جـ، ق ($\angle$ ب) = ٦٠°

$\therefore$ $△$ أ ب جـ متساوي الأضلاع

$\therefore$ عدد محاور التماثل $△$ أ ب جـ = ٣ محاور

ثالثاً: ما مساحة $△$ أ ب جـ؟

$\therefore$ مساحة $△$ أ ب جـ ء = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ب جـ × أ ء

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١٠ × ٥ $\sqrt{\mathrm{٣}}$

= ٥ × ٥ $\sqrt{\mathrm{٣}}$ = ٢٥ $\sqrt{\mathrm{٣}}$

٢) في الشكل المقابل

أ ب = أ جـ، ء $\in$ $\underset{أ ب}{\leftarrow }$، هـ $\in$ $\underset{أ \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$

$\underset{ب و}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ء ب جـ،

$\underset{\mathrm{جـ} و}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ب جـ هـ

أولاً: $△$ ب و جـ متساوي الساقين

$\because$ أ ب = أ جـ

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ب جـ) = ق ($\angle$ أ جـ ب) = ق ($\angle$ ب جـ هـ)

$\therefore$$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ جـ ب ء) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ ب جـ هـ)

$\therefore$ ق ($\angle$ و ب جـ) = ق ($\angle$ و جـ ب)

$\therefore$ و ب = و جـ

$\therefore$ $△$ ب و جـ متساوي الساقين.

ثانياً: $\overleftrightarrow{أ و}$ محور تماثل $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

$\because$ أ ب = أ و (١)

$\because$ و ب = و جـ (٢)

من ١) و ٢)$\therefore$ $\overleftrightarrow{أ و}$ محور تماثل $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

٣) في الشكل المقابل

أ ب = جـ ب، أ ء = جـ ء

$\underset{ب ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ ء جـ

$\because$ أ ء = جـ ء (١)

أ ب = جـ ب (٢)

$\therefore$ $\overleftrightarrow{ء ب}$ محور تماثل $\overline{أ \mathrm{جـ}}$

في $△$ أ ء جـ

$\because$ ء أ = ء جـ، $\overleftrightarrow{ء ب}$$\perp$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ $\overleftrightarrow{ء ب}$ ينصف $\angle$ أ ء جـ

$\therefore$ $\underset{ب ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ ء جـ

$\underset{و ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ ب جـ

$\therefore$ $\overleftrightarrow{ء ب}$ محور تماثل $\overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\therefore$و أ = و جـ

$\therefore$ في $△$ أ و جـ

$\therefore$ $\overleftrightarrow{ب ء}$ ينصف $\angle$ أ و جـ

$\therefore$ $\underset{و ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ ب جـ

٤) في الشكل المقابل

$\overline{ء \mathrm{هـ}}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$، أ ء // أ هـ

برهن أن: أ ب = أ جـ.

$\because$ $△$ أ ء هـ فيه أ ء = أ هـ

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ء هـ) = ق ($\angle$ أ هـ ء)

$\because$$\overline{ء \mathrm{هـ}}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ أ ء هـ) بالتناظر

ق ($\angle$ جـ) = ق ($\angle$ أ هـ ء) بالتناظر

$\therefore$ ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ جـ)

$\therefore$ في المثلث أ ب جـ

أ ب = أ جـ

٥) في الشكل المقابل:

أ ب = أ جـ = أ ء = جـ ء

ق ($\angle$ ب أ جـ) = ٤٠°

أوجد ق ($\angle$ ب جـ ء)

في $△$ أ ب جـ

$\because$ أ ب = أ جـ

$\therefore$ ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ أ جـ ب)

= $\frac{\mathrm{١٨٠} - \mathrm{٤٠}}{\mathrm{٢}} =\frac{\mathrm{١٤٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٧٠°

في $△$ أ جـ ء

$\because$ أ جـ = جـ ء = أ ء

$\therefore$ ق ($\angle$ أ جـ ء) = ٦٠ °

$\therefore$ ق ($\angle$ ب جـ ء) = ٧٠ + ٦٠ = ١٣٠°

٦) في الشكل المقابل:

أ ب جـ مثلث فيه ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ جـ)

أوجد محيط المثلث

$\because$ ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ جـ)

$\therefore$ أ ب = أ جـ

$\therefore$ ٢س -١ = س + ٣

$\therefore$ ٢س - س = ٣ + ١

$\therefore$ س = ٤

$\therefore$ أ ب = ٢س -١ = ٢ × ٤ - ١ = ٨ - ١ = ٧ وحدة طول.

أ جـ = س + ٣ = ٤ + ٣ = ٧ وحدة طول.

ب جـ = ٩ - س = ٩ - ٤ = ٥ وحدة طول.

$\therefore$ محيط المثلث = ٧ + ٧ + ٥ = ١٩

٧) في الشكل المقابل:

أ ب جـ ء شكل رباعي فيه $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$،

$\underset{ب ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ ب جـ

$\underset{أ \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ب أ ء

أثبت أن:

أولاً: أ ب = أ ء

$\because$$\overline{ أ ء}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ ، $\overline{ب ء}$ قاطع لهما.

$\because$ ق ($\angle$ أ ء ب) = ق ($\angle$ ء ب جـ) بالتبادل.

$\because$ $\underset{ب ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ ب جـ

$\therefore$ ق ($\angle$ ء ب جـ) = ق ($\angle$ أ ب ء)

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ء ب) = ق ($\angle$ أ ب ء)

$\therefore$ في المثلث أ ء = أ ب

ثانياً: $\overline{أ \mathrm{هـ}}$ $\perp$ $\overline{ب ء}$

$\because$ $\overline{أ \mathrm{هـ}}$ ينصف $\angle$ ب أ ء

$\therefore$ $\overline{أ \mathrm{هـ}}$ $\perp$ $\overline{ب ء}$

$\therefore$ ب هـ = ء هـ

ثالثاً: ب هـ = هـ ء

$\because$ $\overline{أ \mathrm{هـ}}$ ينصف $\angle$ ب أ ء

$\therefore$ $\overline{أ \mathrm{هـ}}$ $\perp$ $\overline{ب ء}$

$\therefore$ ب هـ = ء هـ

١) باستخدام المسطرة والفرجار ارسم $\angle$ أ ب جـ الحادة وفي الجهة الأخرى من $\underset{ب أ}{\leftarrow }$ ارسم $\underset{أ \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ // $\overleftrightarrow{ب \mathrm{جـ}}$

٢) في الشكل المقابل أ ب جـ ء مستطيل، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ قطر فيه، $\underset{أ \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ب أ جـ،

$\overline{ء \mathrm{هـ}}$ $\perp$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$

حيث $\underset{أ \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ $\cap$ $\underset{ء \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ = {هـ}

$\overline{أ \mathrm{جـ}}$ $\cap$ $\overline{ء \mathrm{هـ}}$ = {م}

ء أ = ء هـ.

في $△$ $△$ أ ب جـ ، أ م هـ

$\because$ ق ($\angle$ب أ و) = ق ($\angle$ م أ هـ)

ق ($\angle$أ ب و) = ق ($\angle$ أ م هـ) = ٩٠°

ق ($\angle$أ و ب) = ق ($\angle$ هـ) (١)

$\because$$\overline{أ ء} // \overline{ب \mathrm{جـ}}$، $\overline{أ و}$ قاطع لهما.

$\therefore$ ق ($\angle$هـ و ب) = ق ($\angle$ ء أ هـ) بالتبادل (٢)

من (١) و (٢)

$\therefore$ ق ($\angle$ء أ هـ) = ق ($\angle$ هـ)

$\therefore$ ء أ = ء هـ