الدرس الخامس: خواص الشكل الرباعي الدائري

أولاً:

١) في كل من الأشكال الآتية، $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ قطعتان مماستان للدائرة م. أوجد قيمة الرمز

أ)

ق ($\angle$ أ ب ء)

$\because$ أ ب جـ ء رباعي دائري

$\therefore$ ق ($\angle$ أ) = ١٨٠ - ٧٠ = ١١٠°

في $△$ أ ب ء:

ق ($\angle$ أ ب ء) = ١٨٠ - [٣٠ + ١١٠]

ق ($\angle$ أ ب ء) = ٤٠°

ب)

ق ($\angle$ أ)

$\because$ $\angle$ أ المحيطية = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ م) المركزية

$\therefore$ ق ($\angle$ أ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٢س = س

$\because$ أ ب جـ ء رباعي دائري.

$\therefore$ س + ٢س = ١٨٠°

٣س = ١٨٠°

س = ٦٠°

جـ)

قياسات زوايا الشكل أ ب جـ ء

$\overline{أ ب}$ قطر

ق ($\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$) = ١٨٠ - [٨٠ + ٦٠] = ٤٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ أ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ ء جـ ب) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ [٦٠ + ٤٠] = ٥٠°

ق ($\angle$ جـ) = ١٨٠ - ٥٠ = ١٣٠°

ق ($\angle$ ب) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ [٨٠ + ٦٠] = ٧٠°

ق ($\angle$ ء) = ١٨٠ - ٧٠ = ١١٠°

د)

قياسات زوايا الشكل أ ب جـ ء

$\because$ أ ب هـ ء رباعي دائري

$\therefore$ ق ($\angle$ هـ) = ١٨٠ - ٥ = ٨٥°

$\because$ $\overline{أ ء}$ // $\overline{ب \mathrm{هـ}}$

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ب هـ) = ١٨٠ - ٩٥ = ٨٥

ق ($\angle$ جـ) = ١٨٠ - ٩٥ = ٨٥

ق ($\angle$ جـ ب هـ) = ق ($\angle$ جـ ء هـ) = ٢٨

ق ($\angle$ ب) = ٢٨ + ٨٥ = ١١٣°

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ء ب) = ٦٧°

٢) في كل من الأشكال، أوجد قيمة الرمز المستخدم في القياس.

أ)

س = ٧٥°

ق ($\angle$ جـ ء أ) = ١٨٠ - ٨٠ = ١٠٠°

$\therefore$ ص = ١٠٠°

ب)

جـ)

$\because$ أ ب جـ ء رباعي دائري

$\therefore$ س = ١٨٠ - ١٢٠ = ٦٠°

$\because$ $\underset{ب و}{\leftarrow }$ // $\overline{ء \mathrm{جـ}}$ $\therefore$ ق ($\angle$ و ب جـ) = ٦٠° بالتبادل

$\therefore$ ق ($\angle$ ء) = ص = ق ($\angle$ هـ ب و) = ٦٥ + ٦٥ = ١١٥°

٣) أثبت أن كلاً من الأشكال الآتية رباعي دائري:

أ)

ب)

$\because$ $△$ أ ب ء فيه أ ب = أ ء

$\therefore$ ق ($\angle$ أ) = ١٨٠ - ٢ × ٣٠ = ١٨٠ - ٦٠ = ١٢٠°

$\because$ ق ($\angle$ ب جـ هـ ١٨٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ ء جـ ب) = ١٨٠ - ١٢٠ = ٦٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ أ) + ق ($\angle$ ء جـ ب) = ١٢٠ + ٦٠ = ١٨٠° وهما متقابلتان

$\therefore$ الشكل أ ب جـ ء رباعي دائري.

جـ)

$\because$ أ ء // ب جـ

أ ب قاطع

ق ($\angle$ أ) = ١٨٠ - ٧٤ = ١٠٦°

$\therefore$ $\underset{\mathrm{جـ} و}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ء جـ هـ

$\therefore$ ق ($\angle$ ء جـ هـ) = ٥٣ × ٢ = ١٠٦

ق ($\angle$ ء جـ هـ) = ق ($\angle$ أ)

$\therefore$ أ ب جـ ء رباعي دائري

٤) في الشكل المقابل أثبت أن: القطع المستقيمة العمودية على أضلاع المثلث من الرؤوس المقابلة تتقاطع في نقطة واحدة. ما عدد الأشكال الرباعية الدائرية في الشكل المقابل؟ وما هي؟

ثانياً:

١ ) في كل من الأشكال الآتية: أوجد قيمة الرمز المستخدم في القياس.

أ)

س = ١٠٠

$\because$ في الشكل أ ب جـ ء ق ($\angle$ أ) + ق ($\angle$ جـ) =١٨٠

ق ($\angle$ جـ) = ص = ١٨٠ - ٧٠ = ١١٠°

ب)

٧٠ = ع - ٣٠

ع = ١٠٠

جـ)

$\because$ أ ب جـ ء رباعي دائري

$\therefore$ ق ($\angle$ أ) + ق ($\angle$ جـ) = ١٨٠°

٤س = ١٨٠

س = ٤٥°

٢) في الشكل المقابل: ق ($\angle$ أ ب هـ) = ١٠٠°، ق ($\angle$ جـ أ ء) = ٤٠° أثبت أن: ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ء}$) = ق ($\stackrel{⏜}{أ ء}$).

$\because$ $\angle$ أ ب هـ خارجة عن الشكل الرباعي أ ب جـ ء

$\therefore$ ق ($\angle$ ء) = ق ($\angle$ أ ب هـ) = ١٠٠°

$\because$ مجموع قياسات زوايا $△$ = ١٨٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ أ جـ ء) = ١٨٠ - (١٠٠ + ٤٠) = ٤٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ أ جـ ء) = $\therefore$ ق ($\angle$ ء جـ أ)

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ء}$) = ق ($\stackrel{⏜}{أ ء}$)

٣) في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$ وتر في الدائرة م، $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ قطر عمودي على $\overline{أ ب}$ ويقطعه في هـ، $\underset{ب م}{\leftarrow }$ يقطع الدائرة في س، $\overline{س ء}$ $\cap$ $\overline{أ ب}$ = {ص}

أثبت أن:

أولاً: الشكل س ص هـ جـ رباعي دائري.

$\because$ $\angle$ جـ س ء مرسومة في نقطة دائرة

$\therefore$ ق ($\angle$ جـ س ء) = ٩٠°

$\overline{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$

ق ($\angle$ س) + ق ($\angle$ ص هـ جـ) = ١٨٠°

$\therefore$ س ص هـ جـ رباعي دائري

ثانياً: ق ($\angle$ ء ص ب) = ق ($\angle$ ء ب س)

$\because$ ق ($\angle$ م) = ق ($\angle$٣) محيطية على قاعدة واحدة (١)

ق ($\angle$١) = ق ($\angle$٢) خارجة عن الشكل الرباعي

$\therefore$ ق ($\angle$ ء ص ب) = ق ($\angle$ ء ب س)

٤ ) في الشكل المقابل: دائرتان متقاطعتان في أ، ب $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ يمر بالنقطة ب ويقطع الدائرتين في جـ، د، $\underset{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ $\cap$ $\underset{ء و}{\leftarrow }$ = {س}.

أثبت أن: الشكل أ و س هـ رباعي دائري.

العمل: نرسم $\overline{أ ب}$

$\because$ الشكل أ ب جـ هـ رباعي دائري

$\therefore$ ق ($\angle$ ١) = ق ($\angle$ ٣) (١)

$\because$ الشكل أ ب ء و رباعي دائري

$\therefore$ ق ($\angle$ ٢) = ق ($\angle$ ٤) (٢)

بجمع ١ و ٢

$\therefore$ ق ($\angle$ ١) + ق ($\angle$ ٢) = ق ($\angle$ ٣) = ق ($\angle$ ٤) = ١٨٠°

$\therefore$ $\angle$ ١، $\angle$ ٢ متقابلتان متكاملتان

$\therefore$ الشكل أ و س هـ دائري.

٥) أ ب جـ مثلث مرسوم داخل دائرة فيه أ ب > أ جـ، ء $\in$ $\overline{أ ب}$ بحيث أ جـ = أ ء، $\underset{أ \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ نصف $\angle$ أ وقطع $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ في هـ وقطع الدائرة في و. أثبت أن: الشكل ب ء هـ و رباعي دائري.

البرهان: $△$ $△$ أ ء هـ، أ جـ هـ فيهما أ هـ ضلع مشترك

$\angle$ ء أ هـ $\equiv$$\angle$ جـ أ هـ

أ ء = أ جـ

$\therefore$ $△$ أ ء هـ $\equiv$ $△$ أ جـ هـ

$\angle$ ء أ هـ $\equiv$$\angle$ أ جـ هـ (١)

$\because$$\angle$ أ جـ ب $\equiv$ $\angle$ أ و ب على قاعدة واحدة (٢)

$\therefore$$\angle$ ‌أ ء هـ $\equiv$$\angle$ أ و ب

$\therefore$ الشكل ب ء هـ و رباعي دائري.