الدرس السابع: الزاوية المماسية

١) مستعيناً بالشكل أوجد قيمة الرمز المستخدم في القياس:

أ)

س = ق ($\angle$ جـ أ هـ) = محيطية ومماسية مشتركتان في $\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$ ٥٠°

ص = ٢ × ٥٠ = ١٠٠°

ب)

ص = ١٨٠ - ١٣٠ = ٥٠°

س = ٨٠°

جـ)

أ ب = أ جـ

ق ($\angle$ أ ب جـ) = ق ($\angle$ أ جـ ب) = $\frac{\mathrm{١٨٠} - \mathrm{٥٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٦٥°

س = ٦٥°

ص = ٢ × ٥٠ = ١٠٠°

٢) مستعيناً بمعطيات الشكل، أوجد:

أ)

ق ($\angle$ أ ء جـ) = ٨٠°

ب)

ق ($\angle$ ب أ جـ) = ......

ق ($\angle$ جـ م ب) = ٣٦٠ - ٢٥٠ = ١١٠°

الشكل أ جـ م ب رباعي دائري.

ق ($\angle$ ب أ جـ) = ١٨٠ - ١١٠ = ٧٠°

جـ)

ق ($\angle$ ب أ ء) = ......

ق ($\stackrel{⏜}{ب أ}$) = ٣٦٠ - (١٢٠ + ١٤٠) = ٣٦٠ - ٢٦٠ = ١٠٠°

ق ($\angle$ ب أ ء) المماسية = ٥٠°

٣) في كل من الأشكال الآتية بين أن $\overleftrightarrow{أ ء}$ مماس للدائرة التي تمر برؤؤوس $△$ أ ب جـ

أ)

ق ($\angle$ ء أ ب) = ١٣٠°

$\because$ جـ أ = جـ ب

$\therefore$ ق ($\angle$ جـ أ ب) = ق ($\angle$ ب) = ٦٥°

ق ($\angle$ ء أ جـ) = ١٣٠ - ٦٥ = ٦٥

$\because$ ق ($\angle$ ء أ جـ) = ق ($\angle$ أ ب جـ) = ٦٥°

$\therefore$ $\overleftrightarrow{أ ء}$ مماس للدائرة المارة برؤوس المثلث أ ب جـ

ب)

٨س = ١٢٠

س = ١٥

جـ)

$△$ أ ب جـ قائم

أ جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ب جـ

$\therefore$ ق ($\angle$ ب) = ٣٠°

ق ($\angle$ جـ) = ٦٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ ء أ ب) = ق ($\angle$ جـ) = ٦٠°

$\therefore$ $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ مماس للدائرة المارة برؤوس $△$ أ ب جـ

٤) أ ب جـ ء شكل رباعي مرسوم داخل دائرة، هـ نقطة خارجها، $\underset{\mathrm{هـ} أ}{\leftarrow }$، $\underset{\mathrm{هـ} ب}{\leftarrow }$ مماسان للدائرة عند أ، ب فإذا كان ق ($\angle$ أ هـ ب) = ٧٠°، ق ($\angle$ أ ء جـ) = ١٢٥° اثبت أن:

أولاً: أ ب = أ جـ

$\because$ أ ب جـ ء رباعي دائري

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ب جـ) = ١٨٠ - ١٢٥ = ٥٥°

$\because$ $\overline{\mathrm{هـ} أ}$، $\overline{\mathrm{هـ} ب}$ مماستان للدائرة عند أ، ب.

$\therefore$ هـ أ = هـ ب

$\therefore$ ق ($\angle$ هـ أ ب) = ق ($\angle$ هـ ب أ) = ٥٥°

$\therefore$ ق ($\angle$ هـ أ ب) المماسية = ق ($\angle$ أ جـ ب) المحيطية = ٥٥° مشتركتان في $\stackrel{⏜}{أ ب}$

$\because$ ق ($\angle$ أ ب جـ) = ق ($\angle$ أ جـ ب) = ٥٥°

$\therefore$ أ ب = أ جـ

ثانياً: $\overleftrightarrow{أ \mathrm{جـ}}$ مماس للدائرة المارة بالنقط أ، ب، هـ

ق ($\angle$ ب أ جـ) = ١٨٠ - ١١٠ = ٧٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ ب أ جـ) = ق ($\angle$ هـ) = ٧٠°

$\therefore$ $\overleftrightarrow{أ \mathrm{جـ}}$ مماس للدائرة المارة بالنقط أ، ب، هـ

٥) أ ب جـ ء شكل رباعي مرسوم داخل دائرة تقاطع قطراه في هـ، رسم $\overleftrightarrow{س ص}$ مماساً للدائرة عند جـ حيث $\overleftrightarrow{س ص}$ // $\overline{ب ء}$

أولاً: $\underset{أ \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ب أ ء

$\because$ $\overleftrightarrow{س ص}$ // $\overline{ب ء}$

$\therefore$ ق ($\angle$ ب جـ) = ق ($\angle$ جـ ء)

$\because$ $\angle$ ب أ جـ المحيطية تحصر $\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$، $\angle$$\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ء}$ جـ أ ء تحصر

$\therefore$ ق ($\angle$ ب أ جـ) = ق ($\angle$ جـ أ ء)

$\therefore$ $\underset{أ \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ب أ ء

ثانياً: $\overleftrightarrow{ب \mathrm{جـ}}$ يمس الدائرة المارة برؤوس $△$ أ ب هـ

$\because$ ق ($\angle$ ء ب جـ) المحيطية = ق ($\angle$ ء أ جـ) مشتركتان في $\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ء}$.

ق ($\angle$ ب أ جـ) = ق ($\angle$ ء أ جـ)

$\therefore$ ق ($\angle$ ب أ جـ) = ق ($\angle$ ء ب جـ)

$\therefore$ $\overleftrightarrow{ب \mathrm{جـ}}$ يمس الدائرة المارة برؤوس $△$ أ ب هـ

٦) أ ب جـ ء متوازي أضلاع فيه أ جـ = ب جـ. أثبت أن: $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ء}$ مماس للدائرة الخارجة للمثلث أ ب جـ.

$\because$ أ ب = جـ ب

$\therefore$ ق ($\angle$ جـ أ ب) = ق ($\angle$ أ ب جـ)

$\because$ أ ب جـ ء متوازي أضلاع

$\therefore$ $\overline{أ ب}$ // $\overline{\mathrm{جـ} ء}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ قاطع لهما

$\therefore$ ق ($\angle$ جـ أ ب) = ق ($\angle$ أ جـ ء)

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ب جـ) = ق ($\angle$ أ جـ ء)

$\therefore$ $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ء}$ مماس للدائرة الخارجة للمثلث أ ب جـ.