اختبار الوحدة الخامسة

١) أولاً: أكمل:

أ) في الشكل الرباعي الدائري كل زاويتين متقابلتين .....

متكاملتان.

ب) مركز الدائرة الداخلة لأي مثلث هو نقطة تقاطع .....

منصفات زوايا المثلث الداخلة.

ثانياً: في الشكل المقابل: م دائرة طول نصف قطرها ٧ سم، $\overline{أ ب}$ قطر، $\overleftrightarrow{س ص}$ مماس للدائرة عند جـ، $\overleftrightarrow{س ص}$ // $\overleftrightarrow{أ ب}$.

٢) اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة: (اعتبر ط = $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$)

١) ق ($\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$) = .....

أ) ٤٥°

ب) ٦٠°

جـ) ٩٠°

د) ١٨٠°

٢) طول ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$) = ....

أ) ١١ سم.

ب) ٢٢ سم.

جـ) ٣٣ سم.

د) ٤٤سم

محيط الدائرة = ٢ $\mathrm{\pi }$ نق

= ٢ × $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$ × ٧

= ٤٤

طول $\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$ = $\frac{\mathrm{٤٤}}{\mathrm{٤}}$ = ١١سم.

٣) مساحة المنطقة الحمراء = ....

أ) ١٥٤ سم^٢

ب) ٧٧ سم^٢

جـ) ٣٨,٥ سم^٢

د) ١٤ سم^٢

مساحة الدائرة = $\mathrm{\pi }$ نق^٢

مساحة ربع الدائرة = $\frac{{\displaystyle \frac{{\bcancel{\mathrm{٢٢}}}^{\mathrm{١١}}}{\bcancel{\mathrm{٧}}}}\times \bcancel{ \mathrm{٧} }\times \mathrm{٧}}{{\bcancel{\mathrm{٤}}}_{\mathrm{٢}}}$ = $\frac{\mathrm{٧٧}}{\mathrm{٢}}$ سم^٢

م $△$ أ م جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٧ × ٧ = $\frac{\mathrm{٤٩}}{\mathrm{٢}}$سم^٢

$\frac{\mathrm{٧٧}}{\mathrm{٢}}-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٢٨}}{\mathrm{٢}}$ = ١٤ سم^٢.

٣) في الشكل المقابل: $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ء}$ مماس للدائرة عند جـ، $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ء}$ // $\overline{أ ب}$، ق ($\angle$ أ م ب) = ١٢٠° اثبت أن: المثلث جـ أ ب متساوي الأضلاع.

$\because$ $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ // $\overline{أ ب}$

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$) = ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ب}$)

$\therefore$ أ جـ = جـ ب

$\therefore$ $△$ أ جـ ب متساوي الساقين

$\therefore$ ق ($\angle$ أ) = ق ($\angle$ ب)

$\because$ ق ($\angle$ جـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ م) مشتركتان في $\stackrel{⏜}{أ ب}$

ق ($\angle$ جـ) = ٦٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ أ) = ق ($\angle$ ب) = ٦٠°

$\therefore$$△$ أ ب جـ متساوي الأضلاع.

٤) أ ب جـ مثلث مرسوم داخل دائرية فيه: أ ب = أ جـ، ء $\in$ $\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$، رسم $\underset{ء س}{\leftarrow }$ مماس للدائرة عند د حيث $\underset{ء س}{\leftarrow }$ $\cap$ $\overleftrightarrow{ب \mathrm{جـ}}$ = {س}، $\overline{أ د }\cap \overline{ب \mathrm{جـ}}$ = {ص}. أثبت أن: س ص = س ء

$\because$ $\overline{أ ء}$ $\cap$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ = {ص}

$\therefore$ ق ($\angle$ ص) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ [ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ء}$) + ق ($\stackrel{⏜}{أ ب}$)] (١)

ق ($\angle$ ء) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\stackrel{⏜}{أ ء}$)

ق ($\angle$ ء) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ [ق ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$) + ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ء}$)] (٢)

$\because$ أ ب = أ جـ

$\because$ ق ($\stackrel{⏜}{أ ب}$) = ق ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$)

من ١) و ٢)

$\therefore$ ق ($\angle$ ص) = ق ($\angle$ ء)

$\therefore$ $△$ س ص ء متساوي الساقين.

$\therefore$ س ص = س ء

٥) في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ قطعتان مماستان للدائرة عند ب، جـ. ق ($\angle$ أ) = ٥٠°، ق ($\angle$ جـ د هـ) = ١١٥°

أثبت أن:

أولاً: $\underset{ب \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ ب هـ

$\because$ $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ مماسان للدائرة م،

$\therefore$ أ ب = أ جـ

$\therefore$ $△$ أ ب جـ متساوي الساقين.

$\because$ ق ($\angle$ أ) = ٥٠°

​​ $\therefore$​​ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ جـ) = $\frac{\mathrm{١٣٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٦٥°

$\because$ ب جـ ء هـ رباعي دائري

$\therefore$​​ق ($\angle$ ء) = ١١٥°

$\therefore$ ​​ق ($\angle$ جـ هـ ب) = ١٨٠ - ١١٥ = ٦٥°

$\because$ ق ($\angle$ أ ب جـ) = ق ($\angle$ جـ ب أ) = ٦٥°

$\therefore$ $\underset{ب \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ ب هـ

ثانياً: جـ ب = جـ هـ

$\because$ $\underset{أ \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ مماس

$\therefore$ ق ($\angle$ أ جـ ب) = ق ($\angle$ ب هـ جـ) = ٦٥° مشتركتان في $\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$

$\because$ ق ($\angle$ جـ ب هـ) = ق ($\angle$ ب هـ جـ) = ٦٥°

$\therefore$ $△$ جـ ب هـ متساوي الساقين

$\therefore$​​​​​​​ جـ ب = جـ هـ