الدرس الرابع: العلاقة بين جذري معادلة الدرجة الثانية ومعاملات حدودها

أولاً: أكمل ما يأتي:

١) إذا كان س = ٣ أحد جذري المعادلة س^٢ + م س - ٢٧ = ٠ فإن م = ......، الجذر الآخر = .....

٣ل = -٢٧، ل = -٩

مجموع الجذرين م = + ٦

م = ٦، الجذر الآخر = -٩

٢) إذا كان حاصل ضرب جذري المعادلة: ٢س^٢ + ٧س + ٣ك = ٠ يساوي مجموع جذري المعادلة س^٢ - (ك + ٤) س = ٠ فإن ك = ......

$\frac{\mathrm{٣}ك}{\mathrm{٢}}$ = ك + ٤ $\Leftarrow$ ٣ك = ٢ك + ٨

ك = ٨

٣) المعادلة التربيعية التي كل من جذريها يزيد ١ عن كل من جذري المعادلة س^٢ - ٣س + ٢ = ٠ هي ......

ل + م = ٣، ل م = ٢

ل + ١ + م + ١ = ل + م + ٢ = ٥

(ل + ١) (م + ١) = ل م + ل + م + ١

= ٢ + ٣ + ١ = ٦

س^٢ - ٥س + ٦ = صفر

٤) المعادلة التربيعية التي كل من جذريها ينقص ١ عن كل من جذري المعادلة س^٢ - ٥س + ٦ = ٠ هي ......

ل + م = ٥، ل م = ٦

ل - ١ + م - ١ = ل + م - ٢ = ٣

(ل - ١) (م - ١) = ل م - ل - م + ١ = ل م - (ل + م) + ١

= ٦ - ٥ + ١ = ٢

س^٢ - ٣س + ٢ = ٠

ثانياً: الاختيار من متعدد

٥) إذا كان أحد جذري المعادلة س^٢ - ٣س + جـ = ٠ ضعف الآخر فإن جـ تساوي .....

ل، ٢ل $\Leftarrow$ ٣ ل = ٣$\Leftarrow$ل = ١، ٢ل = ٢

أ) -٤

ب) -٢

جـ) ٢

د) ٤

٦) إذا كان أحد جذري المعادلة أ س^٢ - ٣س + ٢ = ٠ معكوساً ضربياً للآخر، فإن أ تساوي ......

$\frac{\mathrm{٢}}{أ}$ = ١

أ = ٢

أ) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

ب) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

جـ) ٢

د) ٣

٧) إذا كان أحد جذري المعادلة س^٢ - (ب - ٣) س + ٥ = ٠ معكوساً جمعياً للآخر، فإن ب تساوي .....

أ) -٥

ب) -٣

جـ) ٣

د) ٥

ثالثاً: أجب عن الأسئلة الآتية:

٨) أوجد مجموع وحاصل ضرب جذري كل معادلة فيما يأتي:

أ) ٣س^٢ + ١٩س - ١٤ = ٠

ل + م = $\frac{-\mathrm{١٩}}{\mathrm{٣}}$، ل م = $\frac{-\mathrm{١٤}}{\mathrm{٣}}$

ب) ٤س^٢ + ٤س - ٣٥ = ٠

ل + م = -١، ل م = $\frac{-\mathrm{٣٥}}{\mathrm{٤}}$

٩) أوجد قيمة أ ثم أوجد الجذر الآخر للمعادلة في كل مما يأتي:

أ) إذا كان: س = -١ أوجد جذري المعادلة س^٢ - ٢س + أ = ٠

-١ + م = ٢، الجذر الآخر = ٣

أ = -٣

ب) إذا كان: س = ٢ أوجد جذري المعادلة أ س^٢ - ٥س + أ = ٠

٢ ل = ١، ل = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ $\Leftarrow$ ل + م = $\frac{\mathrm{٥}}{ أ}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ + ٢ = $\frac{\mathrm{٥}}{ أ}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ + $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٢}}$ = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}$

أ = ٢

١٠) أوجد قيمة أ ثم أوجد الجذر الآخر للمعادلة في كل مما يأتي:

أ) ٢، ٥ جذرا المعادلة س^٢ + أ س + ب = ٠

أ = -٧، ب = ١٠،

ب) -٣، ٧ جذرا المعادلة أس^٢ + ب س -٢١ = ٠

$\frac{-\mathrm{٢١}}{أ}$ = - ب $\Leftarrow$ أ = ١ $\Leftarrow$ ب = ٤

جـ) -١، $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ جذرا المعادلة أس^٢ - س + ب = ٠

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ - ١ = $\frac{\mathrm{١}}{أ}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\Leftarrow$ أ = ٢ $\Leftarrow$$\frac{ب}{\mathrm{٢}}=-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}\Leftarrow$ب = -٣

د) $\sqrt{\mathrm{٣}}$ ت، -$\sqrt{\mathrm{٣}}$ ت جذرا المعادلة س + أس^٢ + ب = ٠

أ = ٠، ب = $\sqrt{\mathrm{٣}}$ ت × -$\sqrt{\mathrm{٣}}$ = -٣

١١) ابحث نوع الجذرين لكل من المعادلات الآتية، ثم أوجد مجموعة حل كل منها:

أ) س^٢ + ٢س - ٣٥ = ٠

ب) ٢س^٢ + ٣س + ٧ = ٠

جـ) س (س - ٤) + ٥ = ٠

د) ٣س (٣س - ٨) + ١٦ = ٠

١٢) أوجد قيمة جـ التي تجعل جذري المعادلة جـ س^٢ - ١٢س + ٩ = ٠ متساويين.

$\bcancel{\mathrm{٢}}$م = $\frac{\bcancel{\mathrm{١٢}}}{\mathrm{جـ}}$، م^٢ = $\frac{\bcancel{\mathrm{٩}}}{\bcancel{\mathrm{جـ}}}$ = ${\left(\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{جـ}}\right)}^{\mathrm{٢}}$ = $\frac{\bcancel{\mathrm{٣٦}}}{{\mathrm{جـ}}^{\bcancel{\mathrm{٢}}}}$

جـ = ٤

١٣) أوجد قيمة أ التي تجعل جذري المعادلة س^٢ -٣س + ٢ + $\frac{\mathrm{١}}{أ}$ = ٠ متساويين.

٢ل = ٣ $\Leftarrow$ ل = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، ل^٢ = (٢ + $\frac{\mathrm{١}}{أ}$) = ${\left(\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}\right)}^{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$ $\Leftarrow$ $\frac{\mathrm{١}}{أ}=\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}-\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

أ = ٤

١٤) أوجد قيمة جـ التي تجعل جذري المعادلة ٣ س^٢ - ٥س + جـ = ٠ متساويين، ثم أوجد الجذرين.

٢م = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$ $\Leftarrow$ م = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$، م^٢ = $\frac{\mathrm{جـ}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٣٦}}$ $\Leftarrow$ جـ = $\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{١٢}}$

١٥) أوجد قيمة ك التي تجعل أحد جذري المعادلة س^٢ + (ك - ١) س - ٣ = ٠ هو المعكوس الجمعي للجذر الآخر.

ك - ١ = صفر $\Leftarrow$ ك = ١

١٦) أوجد قيمة ك التي تجعل أحد جذري المعادلة: ٤ك س^٢ + ٧س + ك^٢ + ٤ = ٠ هو المعكوس الضربي للجذر الآخر.

$\frac{{ك}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٤}}{\mathrm{٤}ك}$ = ١، ك^٢ + ٤ = ٤ك $\Leftarrow$ك^٢ - ٤ك + ٤ = صفر.

(ك - ٤)^٢ = صفر $\Leftarrow$ ك = ٢

١٧) كون معادلة الدرجة الثانية التي جذراها كالآتي:

أ) -٢، ٤

ل + م = ٢، ل م = -٨

س^٢ - ٢س - ٨ = ٠

ب) -٥ت، ٥ت

ل × م = ٢٥

س^٢ + ٢٥ = ٠

جـ) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}،\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

ل + م = $\frac{\mathrm{٤} + \mathrm{٩}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{٦}}$

ل م = ١

س^٢ - $\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{٦}}$س + ١ = ٠

د) ١ - ٣ت، ١ + ٣ت

ل + م = ٢، ل م = ١ + ٩ = ١٠

س^٢ - ٢س + ١٠ = ٠

هـ) ٣ - ٢$\sqrt{\mathrm{٢}}$ت، ٣ + ٢$\sqrt{\mathrm{٢}}$ت

ل + م = ٦، ل م = ٩

س^٢ - ٦س + ١٧ = ٠

١٨) أوجد المعادلة التربيعية التي جذراها ضعفا جذري المعادلة ٢س^٢ -٨س = ٥ = ٠

ل + م = ٤، ل م = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}$

٢ل، ٢م

٢ل + ٢م = ٢(ل + م) = ٨

٢ل × ٢م = ٤ل م = $\bcancel{\mathrm{٤} }\times \frac{\mathrm{٥}}{\bcancel{\mathrm{٢}}}$ = ١٠

س^٢ - ٨س + ١٠ = ٠

١٩) أوجد المعادلة التربيعية التي كل من جذريها يزيد بمقدار ١ عن كل من جذري المعادلة: س^٢ - ٧س - ٩ = ٠

ل + م = ٧، ل م = -٩

ل + ١، م + ١

ل + ١ + م + ١ = ل + م + ٢ = ٩

(ل + ١) (م + ١) = ل م + ل + م + ١

= -٩ + ٧ + ١ = -١

س^٢ - ٩س - ١ = ٠

٢٠) أوجد المعادلة التربيعية التي كل من جذريها يساوي مربع نظيره من جذري المعادلة: س^٢ + ٣س - ٥ = ٠

ل + م = -٣، ل م = -٥

ل^٢، م^٢

ل^٢ + م^٢ = (ل + م)^٢ - ٢ ل م

= (-٣)^٢ - ٢ × (-٥)

= ٩ + ١٠

= ١٩

ل^٢ × م^٢ = (ل م)^٢ = (-٥)^٢ = ٢٥

س^٢ - ١٩س + ٢٥ = ٠

٢ ١) إذا كان ل، م جذري المعادلة س^٢ -٧س + ٣ = ٠ فأوجد معادلة الدرجة الثانية التي جذراها:

أ) ٢ل، ٢م

ل + م = ٧

ل م = ٣

٢ل + ٢م = ٢ (ل + م)

= ٢ × ٧ = ١٤

٢ل × ٢م = ٤ ل م = ١٢

س^٢ - ١٤س + ١٢ = ٠

ب) ل + ٢، م + ٢

ل + م + ٤ = ١١

ل م + ٢ل + ٢م + ٤ = ٣ + ١٤ + ٤ = ٢١

س^٢ - ١١س + ٢١ = ٠

جـ) $\frac{\mathrm{٢}}{ل}،\frac{\mathrm{٢}}{م}$

$\frac{\mathrm{٢}م + \mathrm{٢}ل}{ل م}=\frac{\mathrm{١٤}}{\mathrm{٣}}$

$\frac{\mathrm{٤}}{ل م}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$

س^٢ - $\frac{\mathrm{١٤}}{\mathrm{٣}}$س + $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$

د) ل + م، ل م

ل + م + ل + م = ٧ + ٣ = ١٠

ل م = (ل + م) = ٣ × ٧ = ٢١

س^٢ - ١٠س + ٢١ = ٠

٢٢) مساحات: قطعة أرض على شكل مستطيل بعداه ٦، ٩ من الأمتار، يراد مضاعفة مساحة هذه القطعة وذلك بزيادة طول كل بعد من أبعادها بنفس المقدار. أوجد المقدار المضاف.

(س + ٦) (س + ٩) = ١٠٨ $\Leftarrow$ س^٢ + ٩س + ٦س + ٥٤ = ١٠٨

س^٢ + ١٥س - ١٠٨ + ٥٤ = ٠ $\Leftarrow$ س^٢ + ١٥س - ٥٤ = ٠

(س + ١٨) (س - ٣) = ٠

س = -١٨ مرفوض

س = ٣ م.

٢٣) تفكير ناقد: أوجد مجموعة قيم جـ في المعادلة التربيعية ٧س^٢ +١٤س + جـ = ٠ بحيث يكون للمعادلة:

أ) جذران حقيقيان مختلفان.

ب^٢ - ٤ أ جـ > ٠ $\Leftarrow$ ٤ - ٤ (١) × $\frac{\mathrm{جـ}}{\mathrm{٧}}$ > ٠

$\frac{\mathrm{جـ}}{\mathrm{٧}}$ < ١ $\Leftarrow$ جـ < ٧

ب) جذران حقيقيان متساويان.

جـ = ٧

جـ) جذران مركبان.

جـ > ٧

٢٤) اكتشف الخطأ: إذا كان ل + ١، م + ١ هما جذرا المعادلة س^٢ + ٥س + ٣ = ٠ فأوجد المعادلة التربيعية التي جذراها ل، م.

حل يوسف هو الصحيح. لأن الجذرين هما ل + ١، م + ١

٢٥) تفكير ناقد: إذا كان الفرق بين جذري المعادلة س^٢ + ك س + ٢ك = ٠ يساوي ضعف حاصل ضرب جذري المعادلة س^٢ + ٣س + ك = ٠ فأوجد ك.

ل - م = ٢ ك، م + ل = -ك، ل م = ٢ك

ل - م + م + ل = ٢ ك - ك

٢ل = ك $\Leftarrow$ ل = $\frac{ك}{\mathrm{٢}}$

ل - م - (م + ل) = ٢ك - (-ك)

ل - م - م - ل = ٢ك + ك

-٢م = ٣ك

م = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ ك

$\frac{ك}{\mathrm{٢}}\times \frac{-\mathrm{٣}ك}{\mathrm{٢}}$ = ٢ك