الدرس الثالث: تحديد جذري المعادلة التربيعية

أولاً: اختيار من متعدد:

١) يكون جذرا المعادلة س^٢ - ٤س + ك = ٠ متساويين إذا كانت:

أ) ك = ١

ب) ك = ٤

جـ) ك = ٨

د) ك = ١٦

٢) يكون جذرا المعادلة س^٢ - ٢س + م = ٠ حقيقيين إذا كانت:

أ) م = ١

ب) م < ١

جـ) م > ١

د) م = ٤

٣) يكون جذرا المعادلة ل س^٢ - ١٢س + ٩ = ٠ مركبين غير حقيقيين إذا كانت:

ب^٢ - ٤أ جـ = (-١٢)^٢ - ٤ × ل × ٩ = ١٤٤ - ٣٦ل < ٠ $\leftarrow$ ٣٦ ل > ١٤٤

ل > ٤

أ) ل > ٤

ب) ل < ٤

جـ) ل = ٤

د) ل = ١

ثانياً: أجب عن الأسئلة الآتية:

٤) حدد عدد الجذور وأنواعها لكل معادلة من المعادلات التربيعية الآتية:

أ) س^٢ - ٢س + ٥ = ٠

ب^٢ - ٤أ جـ = (-٢)^٢ - ٤ × ١ × ٥

= ٤ - ٢٠

= -١٦ < صفر.

جذران مركبان مترافقان

ب) ٣س^٢ + ١٠س - ٤ = ٠

ب^٢ - ٤أ جـ = (١٠)^٢ - ٤ × ٣ × (-٤)

= ١٠٠ + ٤٨

= ١٤٨ > صفر

جذران حقيقيان مختلفان.

جـ) س^٢ - ١٠س + ٢٥ = ٠

ب^٢ - ٤أ جـ = (-١٠)^٢ - ٤ × ١ × ٢٥

= ١٠٠ - ١٠٠

= ٠

جذر حقيقي واحد مكرر.

د) ٦س^٢ - ١٩س + ٣٥ = ٠

ب^٢ - ٤أ جـ = (-١٩)^٢ - ٤ × ٦ × ٣٥

= ٣٦١ - ٨٤٠

= -٤٧٩ < صفر

جذران مركبان مترافقان

هـ) (س - ١١) - س (س - ٦) = ٠

س - ١١ - س^٢ + ٦س = ٠

- س^٢ + ٧س - ١١ = ٠

ب^٢ - ٤أ جـ = (٧)^٢ - ٤ × (-١) × (-١١)

= ٤٩ - ٤٤ = ٥ > صفر

جذران حقيقيان مختلفان.

و) (س - ١) (س - ٧) = ٢ (س - ٣) (س - ٤)

س^٢ - ٨س + ٧ = ٢س^٢ - ١٤س + ٢٤

س^٢ - ٨س + ٧ - ٢س^٢ + ١٤س - ٢٤ = ٠

- س^٢ + ٦س - ١٧ = صفر

ب^٢ - ٤أ جـ = (٦)^٢ - ٤ × (-١) × (-١٧)

= ٣٦ - ٦٨

= -٣٢ < صفر

جذران مركبان مترافقان.

٥) أوجد حل كل من المعادلات الآتية في مجموعة الأعداد المركبة باستخدام القانون العام.

أ) س^٢ - ٤س + ٥ = ٠

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢} أ}$

س = $\frac{-(-\mathrm{٤}) \pm \sqrt{{(-\mathrm{٤})}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤} \times \mathrm{١} \times \mathrm{٥}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{١}}$

س = $\frac{\mathrm{٤} \pm \sqrt{\mathrm{١٦} - \mathrm{٢٠}}}{\mathrm{٢}}$

س = $\frac{\mathrm{٤} \pm \sqrt{-\mathrm{٤}}}{\mathrm{٢}}$

س = $\frac{\mathrm{٤} \pm \mathrm{٢}ت}{\mathrm{٢}}$ = ٢ $\pm$ت

مجموعة الحل {٢ + ت، ٢ - ت}

ب) ٢س^٢ + ٦س + ٥ = ٠

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢} أ}$

س = $\frac{-\mathrm{٤} \pm \sqrt{{\left(\mathrm{٦}\right)}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤} \times \mathrm{٢} \times \mathrm{٥}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٢}}$

س = $\frac{\mathrm{٦} \pm \sqrt{\mathrm{٣٦} - \mathrm{٤٠}}}{\mathrm{٤}}$

س = $\frac{\mathrm{٦}\pm \sqrt{-\mathrm{٤}}}{\mathrm{٤}}$

س = $\frac{\mathrm{٦} \pm \mathrm{٢}ت}{\mathrm{٤}}$ = $\frac{\mathrm{٣} \pm ت}{\mathrm{٢}}$

مجموعة الحل {$\frac{\mathrm{٣} +ت}{\mathrm{٢}}$، $\frac{\mathrm{٣} -ت}{\mathrm{٢}}$}

جـ) ٣س^٢ - ٧س + ٦ = ٠

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢} أ}$

س = $\frac{-(-\mathrm{٧}) \pm \sqrt{{(-\mathrm{٧})}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤} \times \mathrm{٣} \times \mathrm{٦}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٣}}$

س = $\frac{\mathrm{٧}\pm \sqrt{\mathrm{٤٩} - \mathrm{٧٢}}}{\mathrm{٦}}$

س = $\frac{\mathrm{٧}\pm \sqrt{-\mathrm{٢٣}}}{\mathrm{٦}}$

س = $\frac{\mathrm{٧} \pm \sqrt{\mathrm{٢٣}}ت}{\mathrm{٦}}$

مجموعة الحل {$\frac{\mathrm{٧} + \sqrt{\mathrm{٢٣}}ت}{\mathrm{٦}}$، $\frac{\mathrm{٧} - \sqrt{\mathrm{٢٣}}ت}{\mathrm{٦}}$}

د) ٤س^٢ - س + ١ = ٠

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢} أ}$

س = $\frac{-(-\mathrm{١}) \pm \sqrt{{(-\mathrm{١})}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤} \times \mathrm{٤} \times \mathrm{١}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٤}}$

س = $\frac{\mathrm{١}\pm \sqrt{\mathrm{١} - \mathrm{١٦}}}{\mathrm{٨}}$

س = $\frac{\mathrm{١}\pm \sqrt{-\mathrm{١٥}}}{\mathrm{٨}}$

س = $\frac{\mathrm{١}\pm \sqrt{\mathrm{١٥}}ت}{\mathrm{٨}}$

مجموعة الحل {$\frac{\mathrm{١}+ \sqrt{\mathrm{١٥}}ت}{\mathrm{٨}}$، $\frac{\mathrm{١}- \sqrt{\mathrm{١٥}}ت}{\mathrm{٨}}$}

٦) أوجد قيمة ك في كل من الحالات الآتية:

أ) إذا كان جذرا المعادلة س^٢ + ٤س + ك = ٠ حقيقيين مختلفين.

ب^٢ - ٤أ جـ > ٠

ب^٢ - ٤أ جـ = (٤)^٢ - ٤ × (١) × ك = ١٦ - ٤ ك

٤ك < ١٦ $\leftarrow$ ك < ٤

ب) إذا كان جذرا المعادلة س - ٣س + ٢ + $\frac{\mathrm{١}}{ك}$ = ٠ متساويين.

ب^٢ - ٤أ جـ = ٠

ب^٢ - ٤أ جـ = (-٣)^٢ - ٤ × (١) × (٢ + $\frac{\mathrm{١}}{ك}$) = ٩ - ٨ - $\frac{\mathrm{٤}}{ك}$ = ٠

= ١ - $\frac{\mathrm{٤}}{ك}$ = ٠ $\leftarrow$ ١ = $\frac{\mathrm{٤}}{ك}$ $\leftarrow$ ك = ٤

جـ) إذا كان جذرا المعادلة ك س - ٨س + ١٦ = ٠ مركبين غير حقيقيين.

ب^٢ - ٤أ جـ < ٠

ب^٢ - ٤أ جـ = (-٨)^٢ - ٤ × ك × ١٦ = ٦٤ - ٦٤ ك < ٠

٦٤ك > ٦٤

ك > ١

٧) إذا كان ل، م عددين نسبيين فأثبت أن جذري المعادلة: ل س^٢ + (ل - م) س - م = ٠ عددان نسبيان.

ب^٢ - ٤أ جـ = (ل - م)^٢ - ٤ × ل × (-م)

= ل^٢ - ٢ل م + م^٢ + ٤ل م = ل^٢ + ٢ل م + م^٢ = (ل + م)^٢

س = $\frac{-ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢} أ}$

س = $\frac{-(ل - م) \pm \sqrt{{(ل - م)}^{\mathrm{٢}}}}{\mathrm{٢} \times ل}$

س = $\frac{-ل + م \pm (ل + م)}{\mathrm{٢}ل}$

إما س = $\frac{-ل + م + ل + م}{\mathrm{٢}ل}=\frac{\mathrm{٢}م}{\mathrm{٢}ل}=\frac{م}{ل}$

أو س = $\frac{-ل + م - ل - م}{\mathrm{٢}ل}=\frac{-\mathrm{٢}ل}{\mathrm{٢}ل}$ = -١

٨) يقدر عدد سكان جمهورية مصر العربية عام ٢٠١٣ بالعلاقة: ع = ن^٢ + ١,٢ن + ٩١ حيث (ع) عدد السكان بالمليون، (ن) عدد السنوات

أ) كم كان عدد السكان عام ٢٠١٣؟

ن = صفر $\leftarrow$ ع = ٩١ مليون نسمة.

ب) قدر عدد السكان عام ٢٠٢٣؟

ن = ١٠ $\leftarrow$ ع (١٠)^٢ + ١,٢ × ١٠ + ٩١ = ٢٠٣ مليون.

جـ) قدر عدد السنوات التي يبلغ عدد السكان فيها ٣٣٤ مليوناً.

ع = ٣٣٤

(ن)^٢ + ١,٢ ن + ٩١ = ٣٣٤ $\leftarrow$ (ن)^٢ + ١,٢ ن + ٩١ - ٣٣٤ = ٠ $\leftarrow$ (ن)^٢ + ١,٢ ن - ٢٤٣ = ٠

إما ن = - ١٦,٢ مرفوض

أو ن = ١٥ سنة.

د) اكتب مقالاً توضح فيه الزيادة المطردة في عدد السكان وكيفية علاجها.

٩) اكتشف الخطأ: ما عدد حلول المعادلة ٢س^٢ - ٦س = ٥ في ح

١٠) إذا كان جذرا المعادلة س^٢ + ٢ (ك - ١) س + (٢ك + ١) = ٠ متساويين، فأوجد قيم ك الحقيقية، ثم أوجد الجذريين.

١١) تفكير ناقد: حل المعادلة ٣٦س^٢ - ٤٨س + ٢٥ = ٠ في مجموعة الأعداد المركبة.