الدرس الثاني: تحليل المقدار الثلاثي على صورة المربع الكامل

١) أكمل الحد الناقص في كل مما يأتي ليصبح كل من المقادير الآتية مربعاً كاملاً:

أ) ٤س^٢ .... + ١

الأوسط = $\pm \sqrt{\mathrm{الأول}}\times \sqrt{\mathrm{الثالث}}$

الأوسط = $\pm$ ٢ × ٢س × ١

= $\pm$ ٤س

ب) أ^٢ - ٦أ ب + ....

الحد الثالث = $\frac{{\left(\mathrm{الأوسط}\right)}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٤}\times \mathrm{الأول}}$

الحد الثالث = $\frac{\mathrm{٣٦}\bcancel{ {أ}^{\mathrm{٢}}} {ب}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٤} \times \bcancel{ {أ}^{\mathrm{٢}}}}$

الثالث = ٩ب^٢

جـ) ..... - ١٨ص^٢ + ٨١

الحد الأول = $\frac{{\left(\mathrm{الأوسط}\right)}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٤}\times \mathrm{الثالث}}$

الحد الأول = $\frac{\mathrm{١٨}\times \mathrm{١٨} {ص}^{\mathrm{٤}}}{\mathrm{٤} \times \mathrm{٨١} }$

الحد الأول = ص^٤

د) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢٥}}$س^٢ ..... + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ص^٢

الأوسط = $\pm$ ٢ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$س × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ص

الأوسط = $\pm$ $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$ س ص

هـ) ٢٥م^٢ + ٢٠م ن ....

الثالث = $\frac{\mathrm{٤٠٠} {م}^{\mathrm{٢}} {ن}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٤} \times \mathrm{٢٥} {م}^{\mathrm{٢}}}$

الثالث = ٤ن^٢

و) ع^٤ ..... + ٤٩ل^٢

الأوسط = $\pm$ ٢ × ع^٢ × ٧ل

الأوسط = $\pm$ ١٤ ع^٢ ل

٢) حدد أي المقادير الآتية مربع كامل، ثم حلل المقدار إذا كان مربعاً كاملاً:

أ) س^٢ - ١٢س + ٣٦

س^٢ $\leftarrow$ س

٣٦ $\leftarrow$ ٦

الأوسط = $\pm$ ٢ × س × ٦ = $\pm$ ١٢س

مربع كامل (س - ٦)^٢

ب) ٢٥س^٢ -١٥ س + ٩

٢٥س^٢ $\leftarrow$ ٥س

٩ $\leftarrow$ ٣

الأوسط = $\pm$ ٢ × ٥س × ٣ = $\pm$ ٣٠س ليس مربعاً كاملاً.

جـ) م^٢ - ٦م - ٩

-٩ ليس مربعاً كامل.

د) ٤أ^٢ + ١٤ أ ب + ٤٩ ب^٢

٤ أ^٢ $\leftarrow$ ٢ أ

٤٩ب^٢ $\leftarrow$ ٧ب

الأوسط = $\pm$ ٢ × ٢أ × ٧ب

الأوسط = $\pm$ ٢٨أ ب ليس مربعاً كاملاً.

هـ) ٠,٠١ س^٢ - ٠,٢س + ١

٠,٠١س^٢ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٠٠}}$س^٢$\leftarrow$ $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٠}}$ س

١ $\leftarrow$ ١

الأوسط = $\pm$ ٢ × ٠,١س × ١ = $\pm$ ٠,٢س

مربعاً كاملاً.

(٠,١س - ١)^٢

و) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ص^٢ - ص + ٤

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ص^٢ $\leftarrow$ $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ص

٤ $\leftarrow$ ٢

الأوسط = $\pm$ $\bcancel{\mathrm{٢}} \times \frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٢}}}$ ص × ٢

الأوسط = $\pm$ ٢ ص ليس مرع كامل.

٣) اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات بين القوسين أمام كل عبارة:

أ) إذا كان المقدار س^٢ + ١٤س + ب مربعاً كاملاً فإن ب = .... (٢ أو ٧ أو ١٤ أو ٤٩)

ب = $\frac{{\left(\mathrm{الأوسط}\right)}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٤} \times \mathrm{الأول}}=\frac{\mathrm{١٤} \times \mathrm{١٤}{س}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٤} \times {س}^{\mathrm{٢}}}=\frac{\bcancel{\mathrm{٢} }\times \mathrm{٧} \times \bcancel{ \mathrm{٢} }\times \mathrm{٧}}{\bcancel{\mathrm{٤}}}$ = ٤٩

ب) إذا كان (س + ص)^٢ = ٦٤، س ص = ١٥ فإن س٢ + ص^٢ = ..... (٨ أو ٣٤ أو -٣٤ أو ٤٩)

(س + ص)^٢ = ٦٤

س^٢ + ص^٢ + ٢س ص = ٦٤

س^٢ + ص^٢ + ٢ × ١٥ = ٦٤

س^٢ + ص^٢ + ٣٠ = ٦٤

س^٢ + ص^٢ = ٦٤ - ٣٠

س^٢ + ص^٢ = ٣٤

جـ) إذا كان أ^٢ + ب^٢ = ١١، أ ب = ٥ فإن أ - ب = .... (٦أ أو $\pm$١ أو ١ أو -١)

(أ - ب)^٢ = أ + ب - ٢أ ب

(أ - ب)^٢ = ١١ - ٢× ٥

(أ - ب)^٢ = ١ نأخذ الجذر التربيعي

أ - ب = $\pm$ $\sqrt{\mathrm{١}}$ = $\pm$ ١

د) (٩٩)^٢ + ٢ (٩٩) + ١ = ..... (١٠٠ أو ١٠٠٠٠ أو ٤١٠ أو (٩٨)^٢)

(٩٩ + ١)^٢ = (١٠٠)^٢ = ١٠٠٠٠

هـ) إذا كان أ^٢ + ٢أ ب + ب^٢ = ٢٥ فإن أ + ب = ..... (٥ أو -٥ أو $\pm$ ٥ أو ١٢,٥)

(أ + ب)^٢ = ٢٥

أ + ب = $\pm$ ٥

و) إذا كان س^٢ + ك س + ٢٥ مربعاً كاملاً فإن ك = ..... (٥ أو ١٠ أو $\pm$١٠ أو $\pm$ ٥)

الأوسط = $\pm$ ٢ × س × ٥ = $\pm$ ١٠س

ك = $\pm$ ١٠

٤) حلل كلاً من المقادير الآتية:

أ) م^٢ -٢م + ١

(م - ١)^٢

ب) ٩س^٢ + ١٢س + ٤

(٩س + ٢)^٢

جـ) ٣٦ - ٦٠ك + ٢٥ك^٢

(٦ - ٥ك)^٢

(٥ك - ٦)^٢

الطرفان صحيحان.

د) ٤س^٢ - ٤س ص + ص^٢

(٢س - ص)^٢

هـ) ٩أ^٢ + ٦أ ب + ب^٢

(٣أ + ب)^٢

و) ٢٥ب^٢ - ١٠ب + ١

(٥ب - ١)^٢

٥) حلل كلاً من المقادير الآتية:

أ) ١٨ص^٢ - ١٢ص + ٢

٢ (٩ص^٢ - ٦ص + ١)

٢ (٣ص - ١)^٢

ب) ٢٤س + ٢٤س^٢ + ٦س^٣

٦س (٤ + ٤س + س^٢)

٦س (س + ٢)^٢

جـ) ٦أ^٤ - ١٢أ^٢ ب^٢ + ٦ب^٤

٦ (أ^٤ - ٢أ^٢ ب^٢ + ب^٤)

٦ (أ^٢ - ب٢)^٢

د) ٤ب^٢ جـ + ب جـ^٢ + ٤ب^٣

ب (٤ ب جـ + جـ^٢ + ٤ب^٢)

ب (٤ب^٢ + ٤ب جـ + جـ^٢)

ب (٢ب + جـ)^٢

هـ) ٣ع + ٤٢ع^٤ + ١٤٧ع^٧

٣ ع (١ + ١٤ع٣ + ٤٩ ع^٦)

٣ ع (٤٩ ع^٦ + ١٤ ع^٣ + ١)

٣ ع (٧ ع^٣ + ١)^٢

و) ٢٠أ ص^٢ - ٦٠أ ص + ٤٥أ.

٥ أ (٤ص^٢ - ١٢ص + ٩)

٥ أ (٢ص - ٣)^٢

٦) استخدم التحليل لتسهيل حساب قيمة كل من:

أ) (٢٠,٧)^٢ - ١,٤ × ٢٠,٧ + (٠,٧)^٢

المقدار = (٢٠,٧ - ٠,٧)^٢

المقدار = (٢٠)^٢

المقدار = ٤٠٠

ب) (٩٩٧)^٢ + ٦ × ٩٩٧ + ٩

المقدار = (٩٩٧ + ٣)^٢

المقدار = (١٠٠٠)^٢ = ١٠٠٠٠٠٠

جـ) (٥٧٤)^٢ - ٢× ٥٧٤ × ٥٧٣ + (٥٧٣)^٢

المقدار = (٥٠ - ٤٩)^٢

المقدار = (١)^٢ = ١