الدرس السابع: حل المعادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد جبرياً

١) أوجد مجموعة الحل لكل من المعادلات الآتية في ح:

أ) س^٢ - ٨س + ١٥ = ٠

(س - ٥) (س - ٣) = ٠

س - ٥ = ٠

س = ٥ $\in$ ح

س - ٣ = ٠

س = ٣ $\in$ ح

{٥، ٣}

ب) س^٢ - ٧س - ٣٠ = ٠

(س - ١٠) (س + ٣) = ٠

س - ١٠ = ٠، س = ١٠ $\in$ ح

س + ٣ = ٠، س = -٣ $\in$ ح

{-٣، ١٠}

جـ) ٦س^٢ - ٧س - ٣ = ٠

س^٢ - ٧س - ١٨ = ٠

(س - $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٦}}$) (س + $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٦}}$) = ٠

س = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، س = $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ $\in$ ح

{$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$}

د) ٥س^٢ + ١٢س = ٤٤

٥س^٢ + ١٢س - ٤٤ = ٠

س^٢ + ١٢س - ٢٢٠ = ٠

(س + $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٥}}$) (س - $\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٥}}$) = ٠

س = - $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٥}}$، س = ٢ $\in$ ح

{-$\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٥}}$، ٢}

هـ) (س - ٣) (س + ١) = ٥

س^٢ - ٢س - ٣ = ٥

س^٢ - ٢س - ٨ = ٠

(س - ٤) (س + ٢) = ٠

س = ٤، س = -٢ $\in$ ح

{٤، -٢}

و) (س + ٣)^٢ - ٤٩ = ٠

س^٢ + ٦س + ٩ - ٤٩ = ٠

س^٢ + ٦س - ٤٠ = ٠

(س + ١٠) (س - ٤) = ٠

س = -١٠، س = ٤ $\in$ ح

{١٠، ٤}

٢) أوجد مجموعة الحل لكل من المعادلات الآتية في ح:

أ) ١٢س^٢ = ٤٧س - ٤٥

١٢س^٢ - ٤٧س + ٤٥ = ٠

س^٢ - ٤٧س + ٥٤٠ = ٠

(س - $\frac{\mathrm{٢٧}}{\mathrm{١٢}}$) (س - $\frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{١٢}}$) = ٠

س = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$، س = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$

{$\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$، $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$}

ب) س^٤ - ٥س^٢ + ٤ = ٠

(س^٢ - ٤) (س^٢ - ١) = ٠

(س + ٢) (س - ٢)، (س + ١) (س - ١) = ٠

س = -٢، س = ٢، س = -١، س = ١

{٢، -٢، ١، -١}

جـ) (س + ٣)^٢ + ٣ (س + ٣) - ١٠ = ٠

الاستبدال ص = س + ٢

ص^٢ + ٣ص - ١٠ = ٠

(ص + ٥) (ص - ٢) = ٠

ص = -٥، ص = ٢

• س + ٣ = - ٥

س = -٥ -٣

س = -٨

• س + ٣ = ٢

س = ٢ - ٣

س = -١ $\in$ ح

{-٨، -١}

د) س^٢ - ٦س = ٠

س (س - ٦) = ٠

س = ٠، س = ٦

م. ح = {٠، ٦}

هـ) ٤س^٣ = ٩س

٤س^٢ - ٩س = ٠

س (٤س^٢ - ٩) = ٠

س (٢س + ٣) (٢س - ٣) = ٠

س = ٠

• ٢س + ٣ = ٠
• س = $-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$
• س = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

{٠،$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، $-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$}

و) ٦س^٢ - س = ٢٢

٦س^٢ - س - ٢٢ = ٠

س^٢ - س - ١٣٢ = ٠

(س - $\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٦}}$) (س + $\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٦}}$) = ٠

س = ٢، س = - $\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٦}}$ $\in$ ح

{٢، -$\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٦}}$}

٣) عددان حقيقيان يزيد أحدهما عن الآخر بمقدار ٤، فإذا كان حاصل ضرب العددين يساوي ٤٥.

نفرض أن العددين هما س، ص + ٤

س (س + ٤) = ٤٥

س^٢ + ٤س - ٤٥ = ٠

(س + ٩) (س - ٥) = ٠

س = -٩، س = ٥

العددان هما -٩، -٥ أو ٥، ٩

٤) قطعة أرض مستطيلة الشكل طولها يزيد عن عرضها بخمسة أمتار، فإذا كانت مساحتها ٥٠٠ متر مربع فأوجد بعديها؟

نفرض أن العرض هو س فيكون الطول = س + ٥

المساحة = ٥٠٠

س (س + ٥) = ٥٠٠

س^٢ + ٥س - ٥٠٠ = ٠

(س + ٢٥) (س - ٢٠) = ٠

س = -٢٥ مرفوض، س = ٢٠

العرض = ٢٠ متر، الطول = ٢٠ + ٥ = ٢٥

٥) أ ب جـ مثلث فيه ق ($\angle$ أ) = (س^٢ + ٦١)°، ق ($\angle$ ب) = (١١٠ - ١١س)°، ق ($\angle$ جـ) = (٩٠ - ٧س)° أوجد قيمة س، وقياسات زوايا المثلث.

ق ($\angle$ أ) + ق ($\angle$ ب) + ق ($\angle$ جـ) = ١٨٠°

س^٢ + ٦١ + ١١٠ - ١١س + ٩٠ - ٧س = ١٨٠

س^٢ - ١٨س + ٢٦١ - ١٨٠ = ٠

س^٢ -١٨س + ٨١ = ٠

(س - ٩)^٢ = ٠

س - ٩ = ٠

س = ٩

ق ($\angle$ أ) = (٩)^٢ + ٦١ - ٨١ + ٦١ = ١٤٢°

ق ($\angle$ ب) = ١١٠ - ١١ × ٩ = ١١٠ - ٩٩ = ١١°

ق ($\angle$ جـ) = ٩٠ - ٧ × ٩ = ٩٠ - ٦٣ = ٢٧°

٦) إذا كان عمر حاتم الآن يزيد عن عمر حنان بمقدار ٤ سنوات، ومجموع مربعي عمريهما الآن يساوي ٢٦، فما عمر كل منهما الآن؟

نفرض أن عمر حنان س فيكون عمر حاتم = س + ٤

س^٢ + (س + ٤)^٢ = ٢٦

س^٢ + س^٢ + ٨س + ١٦ - ٢٦ = ٠

٢س^٢ + ٨س - ١٠ = ٠نقسم على ٢

س^٢ + ٤س - ٥ = ٠

(س + ٥) (س - ١) = ٠

س = -٥ مرفوض

س = ١

عمر حنان = ١ سنة

عمر حاتم = ٥سنوات.

٧) عدد حقيقي يزيد عن معكوسه الضربي بمقدار $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$ فما العدد؟

نفرض أن العدد س معكوسه = $\frac{\mathrm{١}}{س}$

س = $\frac{\mathrm{١}}{س}$ + $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$ نضرب ب ٦س

٦س × س = $\frac{\mathrm{١}}{س}$ × ٦س + $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$ × ٦س

٦س^٢ = ٦ + ٥س

٦س^٢ -٥س - ٦ = ٠

(س - $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٦}}$) (س + $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٦}}$) = ٠

س = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، س = $\frac{-\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

العدد هو $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ أو $\frac{-\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ - $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

$\frac{-\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ - ($\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$) = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

٨) عدد حقيقي إذا أضيف إليه مربعه، كان الناتج ١٢، فما العدد؟

نفرض أن العرض س مربعه س^٢

س^٢ + س = ١٢

س^٢ + س - ١٢ = ٠

(س + ٤) (س - ٣) = ٠

س = -٤، س = ٣

العددان هما -٤، ٣

٩ + ٣ = ١٢

١٦ - ٤ = ١٢

٩) عددان فرديان متتاليان مجموع مربعيهما ١٣٠، فما العددان؟

نفرض أن العددين ف، ف + ٢

ف^٢ + (ف + ٢)^٢ = ١٣٠

ف^٢ + ف^٢ + ٤ف + ٤ - ١٣٠ = ٠

٢ف^٢ + ٤ف - ١٢٦ = ٠ (÷ ٢)

ف^٢ + ٢ف - ٦٣ = ٠

(ف + ٩) (ف - ٧) = ٠

ف = -٩، ف = ٧

العددان هما -٩، -٧ أو ٧، ٩

١٠) مثلث قائم الزاوية أطوال أضلاعه ٢س، ٢س + ١، س - ١١ من السنتمترات. احسب قيمة س وأوجد محيط المثلث ومساحته؟

(٢س + ١)^٢ = (٢س)^٢ + (س - ١١)^٢

٤س^٢ + ٤س + ١ = ٤س^٢ + س^٢ - ٢٢س + ١٢١

س^٢ -٢٢س - ٤س + ١٢١س - ١ = ٠

س^٢ -٢٦س + ١٢٠ = ٠

(س - ٢٠) (س - ٦) = ٠

س = ٢٠، س = ٦ مرفوض لأن ٦ - ١١ = -٥

الأول = ٢ × ٢٠ = ٤٠ سم

الثاني = ٢ × ٢٠ + ١ = ٤١ سم

الثالث = ٢٠ - ١١ = ٩ سم

المحيط = ٤٠ + ٤١ + ٩ = ٩٠ سم.

المساحة = $\frac{\mathrm{١}}{\bcancel{\mathrm{٢}}}$ × ${\bcancel{\mathrm{٤٠}}}^{\mathrm{٢٠}}$ × ٩ = ٨٠ سم.