الدرس الأول: مجموعة أصفار الدالة كثيرة الحدود

أولاً: اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة:

١) مجموعة أصفار الدالة د: حيث د (س) = -٣س هي:

أ) {٠}

ب) {-٣}

جـ) {-٣، ٠}

د) ح

٢) مجموعة أصفار الدالة د: حيث د (س) = س (س^٢ - ٢س + ١) هي:

أ) {٠، ١}

ب) {٠، -١}

جـ) {-١، ٠}

د) {١}

س (س - ١) (س - ١)

س = ٠، س = ١

٣) إذا كانت ص (د) = {٢}، د (س) = س^٣ - م، فإن م تساوي:

أ) $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢}}$

ب) ٢

جـ) ٤

د) ٨

(٢)^٣ - م = ٠

٨ - م = ٠

م = ٨

٤) إذا كانت ص (د) = {٥}، د (س) = س^٣ -٣س^٢ + أ فإن أ تساوي:

أ) - ٥٠

ب) - ٥

جـ) ٥

د) ٥٠

(٥)^٣ - ٣ × (٥)^٢ + أ = ٠

١٢٥ - ٧٥ + أ = ٠

٥٠ + أ = ٠

أ = - ٥٠

٥) إذا كانت ص (د) = {١، -٢}، د (س) = س^٢ + س + أ فإن أ تساوي:

أ) ٢٨

ب) ١

جـ) -١

د) -٢

(١)^٢ + (١) + أ = ٠

١ + ١ + أ = ٠

٢ + أ = ٠

أ = -٢

ثانياً: ١) أوجد مجموعة أصفار دوال كثيرات الحدود المعرفية بالقواعد الآتية في ح.

أ) د (س) = (س - ١) (س - ٢)

ص (د) = {١، ٢}

ب) د (س) = س^٢ - ٢س

= س (س - ٢)

ص (د) = {٠، ٢}

جـ) د (س) = س^٢ - ١٦

= (س - ٤) (س + ٤)

ص (د) = {٤، -٤}

د) د (س) = ٢٥ - ٩س^٢

= -٩س^٢ + ٢٥

= - (٩س^٢ - ٢٥)

= - (٣س + ٥) (٣س - ٥)

ص (د) = {-$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$، $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$}

هـ) د (س) = ٢س^٢ - ١٨س

= ٢س (س^٢ - ٩)

= ٢س (س - ٣) (س - ٣)

ص (د) = {٠، ٣، -٣}

و) د (س) = ٥س^٣ - ٢٠س

= ٥س (س^٢ - ٤)

= ٥س (س + ٢) (س - ٢)

ص (د) = {٠، -٢، ٢}

ز) د (س) = س^٣ - ١٢٥

(س - ٥)

(س^٢ + ٥س + ٢٥) لا يمكن تحليله

ص (د) = {٥}

ح) د (س) = ٢س^٣ + ١٦

= ٢ (س^٣ + ٨)

=٢ (س + ٢) (س^٢ -٢س + ٤)

ص (د) = {-٢}

ط) د (س) = ٢س^٤ + ٥٤س

= ٢س (س^٣ + ٢٧)

= ٢س (س + ٣) (س^٢ - ٣س + ٩)

ص (د) = {٠، -٣}

ي) د (س) = ٦س^٢ +س - ١٢

(٢س + ٣) (٣س - ٤) = ٠

ص (د) = {-$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$}

ك) س^٣ + ٢س^٢ - ١٥س

= س (س^٢ + ٢س - ١٥)

= س (س + ٥) (س - ٣)

ص (د) = {٠، -٥، ٣}

ل) د (س) = ٢س^٤ + س^٣ - ٦س^٢

س^٢ (٢س^٢ + س - ٦)

س^٢ (٢س - ٣) (س + ٢)

ص (د) = {٠، $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، -٢}

م) د (س) = س (س - ٥) - ١٤

= س^٢ - ٥س - ١٤

= (س + ١٢) (س - ٧)

ص (د) = {-٢، ٧}

ن) د (س) = (س - ٢) (س + ٣) + ٤

= س^٢ + ٣س - ٢س - ٦ + ٤

= س^٢ + س - ٢

= (س -١) (س + ٢)

ص (د) = {١، -٢}

س) د (س) = س^٣ + س^٢ - ٢س - ٨

= (س^٣ - ٨) + (س^٢ - ٢س)

= (س - ٢) (س + ٢س + ٤) + س (س - ٢)

(س - ٢) (س^٢ + ٢س + ٤ + س)

(س - ٢) (س^٢ + ٣س + ٤)

ص (د) = {٢}

ع) د (س) = س^٣ - ٣س^٢ - ٤س + ١٢

(س^٣ - ٣س^٢) + (-٤س + ١٢)

س^٢ (س - ٣) - ٤ (س - ٣)

(س - ٣) (س^٢ - ٤)

(س - ٣) (س - ٢) (س + ٢)

ص (د) = {٣، ٢، -٢}

٢) إذا كانت د (س) = س^٣ - ٣س^٢ - ٧٥ فأثبت أن العدد ٥ أحد أصفار هذه الدالة.

د (٥) = (٥)^٣ - ٢ × (٥)^٢ - ٧٥

= ١٢٥ - ٢ × ٢٥ - ٧٥

= ٧٥ - ٧٥

= ٠

العدد ٥ أحد أصفار الدالة د (٠)

٣) إذا كانت {-٣، ٣} هي مجموعة أصفار الدالة د حيث: د (س) = س^٢ + أ فأوجد قيمة أ.

$\because$ -٣ أحد أصفار الدالة د

$\therefore$ د (-٣) = ٠

(-٣) + أ = ٠

٩ + أ = ٠

أ = -٩

٤) إذا كانت مجموعة أصفار الدالة د حيث د (س) = أ س^٢ + ب س + ١٥ هي {٣، ٥} أوجد قيمة كل من أ، ب.

• $\because$ ٣ أحد أصفار الدالة د

أ × (٣)^٢ + ب × ٣ + ١٥ = ٠

٩ أ + ٣ب + ١٥ = ٠ (÷ ٣)

٣ أ + ب + ٥ = ٠

٣ أ + ب = -٥ (١)

• $\because$ ٥ أحد أصفار الدالة د

أ × (٥)^٢ + ب × ٥ + ١٥ = ٠

٢٥ أ + ٥ب + ١٥ = ٠ (÷ ٥)

٥ أ + ب + ٣ = ٠

٥ أ + ب = -٣ (٢)

-٣أ - ١ب = ٥

٢أ = ٢

أ = ١ بالتعويض في ١

٣ × ١ + ب = -٥

٣ + ب = -٥

ب = -٥ - ٣

ب = -٨