الدرس الرابع: العمليات على الكسور الجبرية

أولاً: أوجد ن (س) في أبسط صورة مبيناً مجال ن حيث:

١) ن (س) = $\frac{س - \mathrm{٢}}{س} + \frac{\mathrm{٣} + س}{\mathrm{٢}س}$

س = ٠، ٢س = ٠

المجال المشترك = ح - {٠}

ن (س) = $\frac{س - \mathrm{٢}}{س}+\frac{\mathrm{٣} + س}{\mathrm{٢}س}$ (نضرب الكسر الأول بـ ٢)

ن (س) = $\frac{\mathrm{٢}س - \mathrm{٤} + \mathrm{٣} + س}{\mathrm{٢}س} = \frac{\mathrm{٣}س - \mathrm{١}}{\mathrm{٢}س}$

٢) ن (س) = $\frac{\mathrm{٢}س}{س + \mathrm{٢}} +\frac{\mathrm{٤}}{س + \mathrm{٢}}$

س = -٢، س = -٢

المجال المشترك = ح - {-٢}

ن (س) = $\frac{\mathrm{٢}س + \mathrm{٤}}{س + \mathrm{٢}}$

ن (س) = $\frac{\mathrm{٢}\bcancel{ (س + \mathrm{٢})}}{\bcancel{س + \mathrm{٢}}}$ = ٢

٣) ن (س) = $\frac{\mathrm{٢}}{س + \mathrm{٣}}+\frac{س + \mathrm{٣}}{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٣}س}$

ن (س) = $\frac{\mathrm{٢}}{س + \mathrm{٣}}+\frac{س + \mathrm{٣}}{س (س + \mathrm{٣})}$

ن (س) = $\frac{\mathrm{٢}}{س + \mathrm{٣}}+\frac{\mathrm{١}}{س}$

ن (س) = $\frac{\mathrm{٢}س + س + \mathrm{٣}}{س (س + \mathrm{٣})}=\frac{\mathrm{٣}س + \mathrm{٣}}{س (س + \mathrm{٣})}$

٤) ن (س) = $\frac{س}{س - \mathrm{٤}}-\frac{س + \mathrm{٤}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١٦}}$

ن (س) = $\frac{س}{س - \mathrm{٤}}-\frac{س + \mathrm{٤}}{(س + \mathrm{٤}) (س - \mathrm{٤})}$

م = ح - {٤، -٤}

ن (س) = $\frac{\mathrm{٤}}{س - \mathrm{٤}}-\frac{\mathrm{١}}{س - \mathrm{٤}}$

ن (س) = $\frac{\mathrm{٤} - \mathrm{١}}{س - \mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٣}}{س - \mathrm{٤}}$

٥) ن (س) = $\frac{\mathrm{٣}}{س - \mathrm{١}}-\frac{\mathrm{٢}}{س - \mathrm{١}}$

م = ح - {+١}

ن (س) = $\frac{\mathrm{٣} -\mathrm{٢}}{س - \mathrm{١}}$

ن (س) = $\frac{\mathrm{١}}{س - \mathrm{١}}$

٦) ن (س) = $\frac{\mathrm{٥}}{س - \mathrm{٣}}+\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣} - س}$

م = ح - {٣}

ن (س) = $\frac{\mathrm{٥}}{س - \mathrm{٣}}-\frac{\mathrm{٤}}{س - \mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٥} - \mathrm{٤}}{س - \mathrm{٣}}$

ن (س) = $\frac{\mathrm{١}}{س - \mathrm{٣}}$

٧) ن (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}}{س - \mathrm{١}}+\frac{س}{\mathrm{١} - س}$

ن (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}}{س - \mathrm{١}}-\frac{س}{س - \mathrm{١}}$

المجال = ح - {١}

ن (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} - س}{س - \mathrm{١}}=\frac{س \bcancel{(س - \mathrm{١})}}{\bcancel{س - \mathrm{١}}}$

ن (س) = س

٨) ن (س) = $\frac{س}{س - \mathrm{٢}}-\frac{س}{س + \mathrm{٢}}$

المجال = ح - {٢، -٢}

ن (س) = $\frac{س (س + \mathrm{٢}) - س (س - \mathrm{٢})}{(س - \mathrm{٢}) (س + \mathrm{٢})}$

ن (س) = $\frac{\bcancel{{س}^{\mathrm{٢}}} + \mathrm{٢}س \bcancel{- {س}^{\mathrm{٢}}} + \mathrm{٢}س}{(س - \mathrm{٢}) (س - \mathrm{٢})}$

ن (س) = $\frac{\mathrm{٤}س}{(س - \mathrm{٢}) (س + \mathrm{٢})}$

٩) ن (س) = $\frac{س + \mathrm{٣}}{\mathrm{٢}س}-\frac{س}{\mathrm{٢}س - \mathrm{١}}$

٢س = ٠ س = ٠

٢س - ١ = ٠، ٢س = ١، س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

المجال المشترك = ح - {٠، $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$}

ن (س) = $\frac{(س + \mathrm{٣}) (\mathrm{٢}س - \mathrm{١}) - س \times \mathrm{٢}س}{\mathrm{٢}س (\mathrm{٢}س - \mathrm{١})}$

ن (س) = $\frac{\bcancel{\mathrm{٢}{س}^{\mathrm{٢}}} + \mathrm{٥}س - \mathrm{٣} \bcancel{- \mathrm{٢}{س}^{\mathrm{٢}}}}{\mathrm{٢}س (\mathrm{٢}س - \mathrm{١})}$

ن (س) = $\frac{\mathrm{٥}س - \mathrm{٣}}{\mathrm{٢}س (\mathrm{٢}س - \mathrm{١})}$

١٠) ن (س) = $\frac{\mathrm{٣}}{س + \mathrm{١}}+\frac{\mathrm{٢}س + \mathrm{١}}{\mathrm{١} - {س}^{\mathrm{٢}}}$

ن (س) = $\frac{\mathrm{٣}}{س + \mathrm{١}}-\frac{\mathrm{٢}س + \mathrm{١}}{(س + \mathrm{١}) (س -\mathrm{١})}$

المجال المشترك = ح - {-١، ١}

ن (س) = $\frac{\mathrm{٣} (س - \mathrm{١}) - (\mathrm{٢}س + \mathrm{١})}{(س + \mathrm{١}) (س - \mathrm{١})}$

ن (س) = $\frac{\mathrm{٣}س - \mathrm{٣} - \mathrm{٢}س - \mathrm{١}}{(س + \mathrm{١}) (س - \mathrm{١})}$

ن (س) = $\frac{س - \mathrm{٤}}{(س + \mathrm{١}) (س - \mathrm{١})}$

ثانياً: أوجد ن (س) في أبسط صورة محدداً مجال ن في كل مما يأتي:

١) ن (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} + س + \mathrm{١}}{س}\times \frac{{س}^{\mathrm{٢}} - س}{{س}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{١}}$

ن (س) = $\frac{\bcancel{{س}^{\mathrm{٢}} + س + \mathrm{١}}}{\bcancel{س}}\times \frac{\bcancel{س} (س - \mathrm{١})}{(س - \mathrm{١}) \bcancel{[{س}^{\mathrm{٢}} + س + \mathrm{١}]}}$

المجال المشترك = ح - {٠، ١}

ن (س) = ١

٢) ن (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٢}} - س}\times \frac{س + \mathrm{٣}}{{س}^{\mathrm{٢}} + س + \mathrm{١}}$

ن (س) = $\frac{\bcancel{(س - \mathrm{١}) }\bcancel{[{س}^{\mathrm{٢}} + س + \mathrm{١}]}}{س\bcancel{ (س - \mathrm{١})}}\times \frac{س + \mathrm{٣}}{\bcancel{{س}^{\mathrm{٢}} + س + \mathrm{١}}}$

المجال المشترك = ح - {٠، ١}

ن (س) = $\frac{س + \mathrm{٣}}{س}$

٣) ن (س) = $\frac{\mathrm{٣}س - \mathrm{١٥}}{س + \mathrm{٣}}÷\frac{\mathrm{٥}س - \mathrm{٢٥}}{\mathrm{٤}س + \mathrm{١٢}}$

ن (س) = $\frac{\mathrm{٣} (س - \mathrm{٥})}{س + \mathrm{٣}}÷\frac{\mathrm{٥} (س - \mathrm{٥})}{\mathrm{٤} (س + \mathrm{٣})}$

المجال المشترك = ح = - {-٣، ٥}

ن (س) = $\frac{\mathrm{٣} \bcancel{(س - \mathrm{٥})}}{\bcancel{س + \mathrm{٣}}}\times \frac{\mathrm{٤} \bcancel{(س + \mathrm{٣})}}{\mathrm{٥}\bcancel{ (س - \mathrm{٥})}}$

ن (س) = $\frac{\mathrm{٣} \times \mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٥}}$

٤) ن (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٢}س - \mathrm{٣}}{س + \mathrm{٣}}÷\frac{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١}}{س + \mathrm{١}}$

ن (س) = $\frac{(س + \mathrm{٣}) (س - \mathrm{١})}{س + \mathrm{٣}}÷\frac{(س + \mathrm{١}) (س - \mathrm{١})}{س + \mathrm{١}}$

المجال المشترك = ح - {-٣، ١، -١}

ن (س) = $\frac{\bcancel{(س + \mathrm{٣}) }\bcancel{(س - \mathrm{١})}}{\bcancel{س + \mathrm{٣}}}\times \frac{\bcancel{س + \mathrm{١}}}{\bcancel{(س + \mathrm{١})} \bcancel{(س - \mathrm{١})}}$

ن (س) = ١

ثالثاً: أوجد ن (س) في أبسط صورة مبيناً مجال ن:

١) ن (س) = $\frac{س - \mathrm{٦}}{\mathrm{٢}{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١٥}س + \mathrm{١٨}}+\frac{س - \mathrm{٥}}{\mathrm{١٥} - \mathrm{١٣}س + \mathrm{٢}{س}^{\mathrm{٢}}}$

٢) ن (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٨}س + \mathrm{١٢}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}س + \mathrm{٤}} +\frac{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}س - \mathrm{٥}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٧}س + \mathrm{١٠}}$

٣) ن (س) = $\frac{س + \mathrm{٢}س + \mathrm{٤}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٨}}-\frac{\mathrm{٩} - {س}^{\mathrm{٢}}}{{س}^{\mathrm{٢}} + س - \mathrm{٦}}$

٤) ن (س) = $\frac{س - \mathrm{٣}}{س - \mathrm{٧}س + \mathrm{١٢}}-\frac{س - \mathrm{٣}}{\mathrm{٣} - س}$

٥) ن (س) = $\frac{س - \mathrm{٥}}{\mathrm{٢}{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١٣}س + \mathrm{١٥}}÷\frac{س + \mathrm{٣}}{\mathrm{١٥}س - \mathrm{١٨} - \mathrm{٢}{س}^{\mathrm{٢}}}$

ن (س) = $\frac{س - \mathrm{٥}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١٣}س + \mathrm{٣٠}}÷\frac{س + \mathrm{٣}}{- (\mathrm{٢}{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١٥}س + \mathrm{١٨})}$

ن (س) = $\frac{س - \mathrm{٥}}{(س - \mathrm{١٠}) (س - \mathrm{٣})}÷\frac{- (س + \mathrm{٣})}{ (س - \mathrm{١٢}) (س - \mathrm{٣})}$

المجال المشترك = ح - {٥، $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، ٦، -٣}

ن (س) = $\frac{\bcancel{س - \mathrm{٥}}}{\bcancel{(س - \mathrm{٥})} (\bcancel{\mathrm{٢}س - \mathrm{٣})}}\times \frac{- (س - \mathrm{٦}) (\bcancel{\mathrm{٢}س - \mathrm{٣})}}{(س +\mathrm{٣})}$

ن (س) = $\frac{- (س - \mathrm{٦})}{س + \mathrm{٣}}$

٦) ن (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣}س}{\mathrm{٢}{س}^{\mathrm{٢}} - س - \mathrm{٦}} ÷ \frac{\mathrm{٢}{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣}س}{\mathrm{٤}{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٩}}$

ن (س) = $\frac{س (س - \mathrm{٣})}{(س - \mathrm{٤}) (س + \mathrm{٣})} ÷ \frac{س (\mathrm{٢}س - \mathrm{٣})}{(\mathrm{٢}س - \mathrm{٣}) (\mathrm{٢}س - \mathrm{٣})}$

المجال المشترك = ح - {٢، -$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$}

ن (س) = $\frac{\bcancel{س} (س - \mathrm{٣})}{(س - \mathrm{٢}) (\bcancel{\mathrm{٢}س + \mathrm{٣})}}\times \frac{\bcancel{(\mathrm{٢}س + \mathrm{٣})}\bcancel{ (\mathrm{٢}س - \mathrm{٣})}}{\bcancel{س} (\bcancel{\mathrm{٢}س - \mathrm{٣})}}$

ن (س) = $\frac{س - \mathrm{٣}}{س - \mathrm{٢}}$

٧) ن (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١٢}س + \mathrm{٣٦}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٦}س}÷\frac{\mathrm{٤}س + \mathrm{٢٤}}{\mathrm{٣٦} - {س}^{\mathrm{٢}}}$

ن (س) = $\frac{\bcancel{(س - \mathrm{٦}) }(\bcancel{س - \mathrm{٦})}}{س\bcancel{ (س - \mathrm{٦})}}\times \frac{-\mathrm{٤} \bcancel{(س + \mathrm{٦})}}{\bcancel{(س - \mathrm{٦}}) (\bcancel{س + \mathrm{٦})}}$

المجال المشترك = ح - {٠، ٦، -٦}

ن (س) = $\frac{-\mathrm{٤}}{س}$

٨) ن (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٢}س + \mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{١}}÷\frac{س - \mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٢}} + س + \mathrm{١}}$

ن (س) = $\frac{(س - \mathrm{١}) (س - \mathrm{١})}{(س - \mathrm{١})\bcancel{ [{س}^{\mathrm{٢}} + س + \mathrm{١}]}}÷\frac{س - \mathrm{١}}{\bcancel{{س}^{\mathrm{٢}} + س + \mathrm{١}}}$

المجال المشترك = ح - {١}

ن (س) = $\frac{\bcancel{(س - \mathrm{١})} (\bcancel{س - \mathrm{١})}}{\bcancel{س - \mathrm{١}}}\times \frac{\mathrm{١}}{\bcancel{س - \mathrm{١}}}$

ن (س) = ١

٩) ن (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٢}س - \mathrm{١٥}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٩}}÷\frac{\mathrm{٢}س - \mathrm{١٠}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٦}س + \mathrm{٩}}$

ن (س) = $\frac{(س - \mathrm{٥}) (س + \mathrm{٣})}{(س + \mathrm{٣}) (س - \mathrm{٣})}÷\frac{\mathrm{٢} (س - \mathrm{٥})}{(س - \mathrm{٣}) (س - \mathrm{٣})}$

م = ح - {٣، -٣، ٥}

ن (س) = $\frac{\bcancel{(س - \mathrm{٥}) }(\bcancel{س + \mathrm{٣})}}{\bcancel{(س + \mathrm{٣})} \left(\bcancel{س - \mathrm{٣}}\right)}÷\frac{\bcancel{(س - \mathrm{٣}) }(س - \mathrm{٣})}{\mathrm{٢}\bcancel{ (س - \mathrm{٥})}}$

ن (س) = $\frac{س - \mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$

١٠) ن (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣}س + \mathrm{٢}}{\mathrm{١} - {س}^{\mathrm{٢}}}÷\frac{\mathrm{٣}س - \mathrm{١٥}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٦}س + \mathrm{٥}}$

ن (س) = $\frac{(س - \mathrm{٢}) (س - \mathrm{١})}{- (س - \mathrm{١}) (س + \mathrm{١})}÷\frac{\mathrm{٣} (س - \mathrm{٥})}{(س - \mathrm{٥}) (س - \mathrm{١})}$

م = ح - {١، -١، ٥}

ن (س) = $\frac{(س - \mathrm{٢}) (\bcancel{س - \mathrm{١})}}{- (\bcancel{س - \mathrm{١})} (س + \mathrm{١})}\times \frac{\mathrm{٣} \bcancel{(س - \mathrm{٥})}}{\bcancel{(س - \mathrm{٥})} (س - \mathrm{١})}$

ن (س) = $\frac{-\mathrm{٣}}{(س + \mathrm{١}) (س - \mathrm{١})}$