الدرس الثاني: الدالة الكسرية الجبرية

أولاً: ١) عين مجال كل من الدوال الكسرية الجبرية الآتية ثم أوجد ن (٠)، ن (٢)، ن (-٢): إن أمكن

أ) ن (س) = $\frac{س + \mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

مجال ن (س) = ح - {} = ح

ن (٠) = $\frac{\mathrm{٠} + \mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

ن (٢) = $\frac{\mathrm{٢} + \mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٤}}$

ن (-٢) = $\frac{-\mathrm{٢} + \mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

ب) ن (س) = $\frac{س - \mathrm{٢}}{\mathrm{٢}س}$

مجال ن (س) = ح - {٠}

ن (٠) = غير معرفة

ن (٢) = $\frac{\mathrm{٢} - \mathrm{٢}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٠}}{\mathrm{٤}}$ = صفر

ن (-٢) = $\frac{-\mathrm{٢} -\mathrm{٢}}{\mathrm{٢} \times -\mathrm{٢}}=\frac{-\mathrm{٤}}{-\mathrm{٤}}$ = -١

جـ) ن (س) = $\frac{\mathrm{١}}{س + \mathrm{٢}}$

مجال ن (س) = ح - {-٢}

ن (٠) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٠} + \mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

ن (٢) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢} + \mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

ن (-٢) = غير معرفة ليس لها وجود.

د) ن (س ) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٩}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١٦}}$

ن (س ) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٩}}{(س + \mathrm{٤}) (س - \mathrm{٤})}$

مجال ن (س) = ح - {-٤، ٤}

ن (٠) = $\frac{{\left(\mathrm{٠}\right)}^{\mathrm{٢}}+ \mathrm{٩}}{(\mathrm{٠} + \mathrm{٤}) (\mathrm{٠} - \mathrm{٤})}=\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤} \times -\mathrm{٤}}=-\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٦}}$

ن (٢) = $\frac{{\left(\mathrm{٢}\right)}^{\mathrm{٢}}+ \mathrm{٩}}{(\mathrm{٢} + \mathrm{٤}) (\mathrm{٢} - \mathrm{٤})}=\frac{\mathrm{٤} + \mathrm{٩}}{\mathrm{٦} \times -\mathrm{٢}}=-\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{١٢}}$

ن (-٢) = $\frac{{(-\mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}+ \mathrm{٩}}{(-\mathrm{٢} + \mathrm{٤}) (-\mathrm{٢} - \mathrm{٤})}=\frac{\mathrm{٤} + \mathrm{٩}}{\mathrm{٢} \times - \mathrm{٦}}=-\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{١٢}}$

هـ) ن (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٢}} - س}$

ن (س ) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١}}{س( س - \mathrm{١})}$

مجال ن (س) = ح - {٠، ١}

ن (٠) = غير معرفة

ن (٢) = $\frac{{\left(\mathrm{٢}\right)}^{\mathrm{٢}}+ \mathrm{١}}{\mathrm{٢} (\mathrm{٢} - \mathrm{١})}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}$

ن (-٢) = $\frac{{(-\mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}+ \mathrm{١}}{-\mathrm{٢} (-\mathrm{٢} - \mathrm{١})}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

و) ن (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١}}$

ن (س ) = $\frac{(س - \mathrm{١}) (س + \mathrm{١})}{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١}}$

مجال ن (س) = ح - {} - ح

ن (٠) = $\frac{(\mathrm{٠} - \mathrm{١}) (\mathrm{٠} + \mathrm{١})}{{\left(\mathrm{٠}\right)}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١}}=\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{١}}$ = -١

ن (٢) = $\frac{(\mathrm{٢} - \mathrm{١}) (\mathrm{٢} + \mathrm{١})}{{\left(\mathrm{٢}\right)}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

ن (-٢) = $\frac{(-\mathrm{٢} - \mathrm{١}) (-\mathrm{٢} + \mathrm{١})}{{(-\mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

٢) إذا كان مجال الدالة ن: ن (س) = $\frac{س - \mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٢}} - أ س + \mathrm{٩}}$ هو ح - {٣} فأوجد قيمة أ.

$\because$ المجال ح - {٣}

{٣} أصفار المقام

(٣)^٢ - أ × ٣ + ٩ = ٠

٩ - ٣ أ + ٩ = ٠

-٣ أ + ١٨ = ٠

-٣ أ = -١٨

أ = ٦

ثانياً: أوجد المجال المشترك لكل من:

١) ن_١ (س) = $\frac{\mathrm{١}}{س}$، ن_٢ (س) = $\frac{\mathrm{٢}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١}}$

المجال المشترك = ح - {٠، ١}

٢) ن_١ (س) = $\frac{\mathrm{٣}}{{س}^{\mathrm{٢}} - س}$، ن_٢ (س) = $\frac{\mathrm{٢}س - \mathrm{٣}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١}}$

مجال ن_١ = ح - {٠، ١}

مجال ن_٢ = {١، -١}

المجال المشترك = ح - {٠، ١، -١}

٣) ن_١ (س) = $\frac{\mathrm{٣}}{س - \mathrm{٢}}$، ن_٢ (س) = $\frac{\mathrm{٥}}{س + \mathrm{٢}}$، ن_٣ (س) = $\frac{س}{{س}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٤}س}$

مجال ن_١ = ح - {٢}

مجال ن_٢ = {-٢}

مجال ن_٣ = {٠، ٢، -٢}

المجال المشترك = ح - {٠، ٢، -٢}

٤) ن_١ (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}}{{س}^{\mathrm{٢}} -\mathrm{٥}س + \mathrm{٦}}$، ن_٢ (س) = $\frac{\mathrm{٣}س}{{س}^{\mathrm{٢}} - س}$، ن_٣ (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣}س - \mathrm{٤}}{{س}^{\mathrm{٢}} + س - \mathrm{٢}}$

مجال ن_١ = ح - {٢، ٣}

مجال ن_٢ = {٠، ١}

مجال ن_٣ = {-٢، ١}

المجال المشترك = ح - {٢، ٣، ٠، ١، -٢}

ثالثاً: أوجد المجال المشترك لكل مما يأتي:

١) $\frac{س}{\mathrm{٣}}$، $\frac{\mathrm{٣}}{س}$

المجال المشترك = ح - {٠}

٢) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}س}$، $\frac{س - \mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$

المجال المشترك = ح - {٠}

٣) $\frac{س + \mathrm{٢}}{س + \mathrm{٥}}$، $\frac{س - \mathrm{٤}}{س - \mathrm{٧}}$

المجال المشترك = ح - {-٥، ٧}

٤) $\frac{\mathrm{٤}}{س - \mathrm{٤}}$، $\frac{س - \mathrm{٥}}{\mathrm{٥}س}$

المجال المشترك = ح - {٤، ٠}

٥) $\frac{س}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}}$، $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢} - س}$

المجال المشترك = ح - {٢، -٢}

٦) $\frac{\mathrm{٥}}{س - \mathrm{٢}}$، $\frac{س + \mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٢}س}$

المجال المشترك = ح - {٢، ٠}

٧) $\frac{\mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{١}}$، $\frac{س}{\mathrm{١} - {س}^{\mathrm{٢}}}$

المجال المشترك = ح - {١، -١}

٨) $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٤}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}}$، $\frac{\mathrm{٧}}{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٤}س + \mathrm{٤}}$

المجال المشترك = ح - {٢، -٢}

٩) $\frac{س - \mathrm{٢}}{س + \mathrm{٤}}$، $\frac{\mathrm{٧}}{س - \mathrm{٣}}$، $\frac{س}{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٤}}$

المجال المشترك = ح - {-٤، ٣}

١٠) $\frac{س + \mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، $\frac{\mathrm{٣}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٩}}$، $\frac{\mathrm{٣}س}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣}س}$

المجال المشترك = ح - {٣، -٣، ٠}

١١) $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}}{س - \mathrm{٣}}$، $\frac{\mathrm{٧}}{س + \mathrm{٣}}$، $\frac{-\mathrm{٢}س}{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٢٧}}$

المجال المشترك = ح - {٣، -٣}

١٢) $\frac{\mathrm{٤}س - \mathrm{٣}}{{س}^{\mathrm{٢}} - س}$، $\frac{س - \mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١٦}}$، $\frac{\mathrm{٥}س}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٢}س - \mathrm{٣}}$

المجال المشترك = ح - {٠، ١، ٣، -١}

١٣) $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٥}س + \mathrm{٦}}$، $\frac{\mathrm{٧}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٩}}$، $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣}س - \mathrm{٤}}{{س}^{\mathrm{٢}} + س - \mathrm{٢}}$

المجال المشترك = ح - {٣، ٢، -٣، -٢، ١}