الدرس الثالث: تساوي كسرين جبريين

أولاً: أكمل ما يأتي:

١) أبسط صورة للدالة ن حيث ن (س) = $\frac{\mathrm{٤}{س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{٢}س}{\mathrm{٢}س}$، س $\ne$ ٠ هي ....

ن (س) = $\frac{\bcancel{\mathrm{٢}س}(\mathrm{٢}س-\mathrm{١})}{\bcancel{\mathrm{٢}س}}$ = ٢س - ١

٢) المجال المشترك للدالتين ن_١، ن_٢ حيث ن_١ (س) = $\frac{س-\mathrm{٢}}{{س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{٤}}$، ن_٢ (س) = $\frac{\mathrm{١}}{س+\mathrm{١}}$ هو ........

• س^٢ - ٤ = ٠

س = $\pm$ ٢

م_١ = ح - {٢، -٢}

• س + ١ = ٠

س = -١

م_٢ = ح - {-١}

المجال المشترك = ح - {٢، -٢، -١}

٣) إذا كان ن_١ (س) = $\frac{\mathrm{١}+أ}{س-\mathrm{٢}}$، ن_٢ (س) = $\frac{\mathrm{٤}}{س-\mathrm{٢}}$ وكان ن_١ (س) = ن_٢ (س) فإن أ = .....

١ + أ = ٤

أ = ٤ - ١

أ = ٣

٤) إذا كان أبسط صورة للكسر الجبري ن (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{٤}س+\mathrm{٤}}{{س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{١}}$ هي ن (س) = $\frac{س-\mathrm{٢}}{س+\mathrm{٢}}$ فإن أ = .....

ن (س) = $\frac{(س-\mathrm{٢})(س-\mathrm{٢})}{{س}^{\mathrm{٢}}-أ}=\frac{س-\mathrm{٢}}{س+\mathrm{٢}}$

أ = ٤

٥) إذا كان ن_١ (س) = $\frac{-\mathrm{٧}}{س+\mathrm{٢}}$، ن_٢ (س) = $\frac{س}{س-ك}$ وكان المجال المشترك للدالتين ن_١، ن_٢ هو ح - {-٢، ٧} فإن ك = ......

م_١ = ح - {-٢}، م_٢ = ح - {ك}

المجال المشترك = ح - {-٢، ك}

ك = ٧

ثانياً: ١) اختصر كلاً من الكسور الآتية إلى أبسط صورة مبيناً مجالها:

أ) $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{٤}}{{س}^{\mathrm{٣}}-\mathrm{٨}}$

س^٣ - ٨ = ٠

س^٣ = ٨

س = ٢

م_١ = ح - {٢}

ن (س) = $\frac{(س+\mathrm{٢})\bcancel{(س-\mathrm{٢})}}{\bcancel{(س-\mathrm{٢})}[{س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٢}س+\mathrm{٤}]}$ = $\frac{(س+\mathrm{٢})}{{س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٢}س+\mathrm{٤}}$

ب) $\frac{س+\mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٣}س+\mathrm{٢}}$

س^٢ + ٣س + ٢ = ٠

(س + ٢) (س + ١) = ٠

س = -٢، س = -١

م_٢ = ح - {-٢، -١}

ن_٢ (س) = $\frac{\bcancel{س+\mathrm{١}}}{(س+\mathrm{٢})\bcancel{(س+\mathrm{١})}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{س+\mathrm{٢}}$

جـ) $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{٤}}{{س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{٥}س+\mathrm{٦}}$

س^٢ -٥س + ٦ = ٠

(س - ٣) (س - ٢) = ٠

س = ٣، س = ٢

م_٣ = ح - {٣، ٢}

ن_٣ (س) = $\frac{\bcancel{(س-\mathrm{٢})}(س+\mathrm{٢})}{(س-\mathrm{٣})\bcancel{(س-\mathrm{٢})}}=\frac{س+\mathrm{٢}}{س-\mathrm{٣}}$

د) $\frac{{س}^{\mathrm{٣}}-\mathrm{١}}{(س-\mathrm{١})(س+\mathrm{٥})}$

ن_١ (س) = $\frac{\bcancel{(س-\mathrm{١})}[{س}^{\mathrm{٢}}+س+\mathrm{١}]}{\bcancel{(س-\mathrm{١})}(س+\mathrm{٥})}$

م_١ = ح- {١، -٥}

ن_١ (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}+س+\mathrm{١}}{س+\mathrm{٥}}$

هـ) $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{٦}س+\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}{س}^{\mathrm{٣}}-\mathrm{١٨}س}$

ن_٢ (س) = $\frac{(س-\mathrm{٣})(س-\mathrm{٣})}{\mathrm{٢}س({س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{٩})}=\frac{(س-\mathrm{٣})(س-\mathrm{٣})}{\mathrm{٢}س(س+\mathrm{٣})(س-\mathrm{٣})}$

م_٢ = ح - {٠، -٣، ٣}

ن_٢ (س) = $\frac{س-\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}س(س+\mathrm{٣})}$

و) $\frac{{س}^{\mathrm{٣}}+\mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٣}}-{س}^{\mathrm{٢}}+س}$

ن_٣ (س) = $\frac{(س+\mathrm{١})\bcancel{[{س}^{\mathrm{٢}}-س+\mathrm{١}]}}{س(\bcancel{{س}^{\mathrm{٢}}-س+\mathrm{١})}}$

م_٣ = ح - {٠}

ن_٣ (س) = $\frac{س+\mathrm{١}}{س}$

ز) $\frac{\mathrm{٢}{س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٧}س+\mathrm{٦}}{\mathrm{٤}{س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٤}س-\mathrm{٣}}$

ن_١ (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٧}س+\mathrm{١٢}}{{س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٤}س-\mathrm{١٢}}$

ن_١ (س) = $\frac{(س+\mathrm{٤})(س+\mathrm{٣})}{(س+\mathrm{٦})(س-\mathrm{٢})}$ = $\frac{(س+\mathrm{٢})(س+\mathrm{٣})}{(س+{\displaystyle \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}})(س-{\displaystyle \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}})}$

م_١ = ح - {$-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$}

ن_١ (س) = $\frac{(س+\mathrm{٢})\bcancel{(\mathrm{٢}س+\mathrm{٣})}}{(\mathrm{٢}س-\mathrm{١})\bcancel{(\mathrm{٢}س+\mathrm{٣})}}=\frac{س+\mathrm{٢}}{\mathrm{٢}س-\mathrm{١}}$

ح) $\frac{{(س-\mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{١}}{س(س-\mathrm{٣})}$

ن_٢ (س) = $\frac{(س-\mathrm{٢}+\mathrm{١})(س-\mathrm{٢}-\mathrm{١})}{س(س-\mathrm{٣})}$

م_٢ = ح - {٠، ٣}

ن_٢ (س) = $\frac{(س-\mathrm{١})\bcancel{(س-\mathrm{٣})}}{س\bcancel{(س-\mathrm{٣})}}$

ن_٢ (س) = $\frac{س-\mathrm{١}}{س}$

ط) $\frac{{س}^{\mathrm{٣}}+{س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{٢}}{س-\mathrm{١}}$

ن_٣ (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٣}}-\mathrm{١}+س-\mathrm{١}}{س-\mathrm{١}}$

م_٣ = ح - {١}

ن_٣ (س) = $\frac{(س-\mathrm{١})[{س}^{\mathrm{٢}}+س+\mathrm{١}]+(س-\mathrm{١})(س+\mathrm{١})}{س-\mathrm{١}}$

ن_٣ (س) = $\frac{\bcancel{(س-\mathrm{١})}[{س}^{\mathrm{٢}}+س+\mathrm{١}+س+\mathrm{١}]}{\bcancel{س-\mathrm{١}}}$

ن_٣ (س) = س^٢ + ٢س + ٢

٢) في كل مما يأتي بين ما إذا كان ن_١ = ن_٢ أم لا مع ذكر السبب:

أ) ن_١ (س) = $\frac{س-\mathrm{١}}{س}$، ن_٢ (س) = $\frac{(س-\mathrm{١})({س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{١})}{س({س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{١})}$

ن_١ (س) = $\frac{س-\mathrm{١}}{س}$

م_١ = ح - {٠}

ن_١ (س) = $\frac{س-\mathrm{١}}{س}$

ن_٢ (س) = $\frac{(س-\mathrm{١})\bcancel{({س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{١})}}{س\bcancel{({س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{١})}}$

م_٢ = ح - {٠}

ن_٢ (س) = $\frac{(س-\mathrm{١})}{س}$

م_١ = م_٢

ن_١ (س) = ن_٢ (س)

ن_١ = ن_٢

ب) ن_١ (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{٤}}{{س}^{\mathrm{٢}}+س-\mathrm{٦}}$، ن_٢ = (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}-س-\mathrm{٦}}{{س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{٩}}$

ن_١ (س) = $\frac{\bcancel{(س-\mathrm{٢})}(س+\mathrm{٢})}{(س+\mathrm{٣})\bcancel{(س-\mathrm{٢})}}$

م_١ = ح - {-٣، ٢}

ن_١ (س) = $\frac{س+\mathrm{٢}}{س+\mathrm{٣}}$

ن_٢ (س) = $\frac{(س-\mathrm{٣})(س+\mathrm{٢})}{(س-\mathrm{٣})(س+\mathrm{٣})}$

م_٢ = ح - {٣، -٣}

ن_٢ (س) = $\frac{س+\mathrm{٢}}{س+\mathrm{٣}}$

م_١ = م_٢

ن_١ (س) = ن_٢ (س)

ن_١ = ن_٢

جـ) ن_١ (س) = $\frac{\mathrm{٢}{س}^{\mathrm{٣}}+\mathrm{٦}س}{(س-\mathrm{١})({س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٣})}$، ن_٢ = (س) = $\frac{\mathrm{٢}س}{{س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{١}}$

ن_١ (س) = $\frac{\mathrm{٢}س\bcancel{({س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٣})}}{(س-\mathrm{١١})\bcancel{({س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٣})}}$

م_١ = ح - {١}

ن_١ (س) = $\frac{\mathrm{٢}س}{س-\mathrm{١}}$

ن_٢ (س) = $\frac{\mathrm{٢}س}{س-\mathrm{١}}$

م_٢ = ح - {١}

ن_٢ (س) = $\frac{\mathrm{٢}س}{س-\mathrm{١}}$

م_١ = م_٢

ن_١ (س) = ن_٢ (س)

ن_١ = ن_٢

د) ن_١ (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٣}}+\mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٣}}-{س}^{\mathrm{٢}}+س}$، ن_٢ = (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٣}}+{س}^{\mathrm{٢}}+س+\mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٢}}+س}$

ن_١ (س) = $\frac{\mathrm{٢}س\bcancel{({س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٣})}}{(س-\mathrm{١١})\bcancel{({س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٣})}}$

م_١ = ح - {١}

ن_١ (س) = $\frac{\mathrm{٢}س}{س-\mathrm{١}}$

ن_٢ (س) = $\frac{\mathrm{٢}س}{س-\mathrm{١}}$

م_٢ = ح - {١}

ن_٢ (س) = $\frac{\mathrm{٢}س}{س-\mathrm{١}}$

م_١ = م_٢

ن_١ (س) = ن_٢ (س)

ن_١ = ن_٢

٣) في كل مما يأتي أثبت أن: ن_١ = ن_٢

أ) ن_١ (س) = $\frac{\mathrm{١}}{س}$، ن_٢ = (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٤}}{{س}^{\mathrm{٣}}+\mathrm{٤}س}$

م_١ = ح - {٠}

ن_١ (س) = $\frac{\mathrm{١}}{س}$

ن_٢ (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٤}}{س({س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٤})}$

م_٢ = ح - {٠}

ن_٢ (س) = $\frac{\mathrm{١}}{س}$

م_١ = م_٢

ن_١ (س) = ن_٢ (س)

ن_١ = ن_٢

ب) ن_١ (س) = $\frac{\mathrm{٢}س}{\mathrm{٢}س+\mathrm{٨}}$، ن_٢ = (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٤}س}{{س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٨}س+\mathrm{١٦}}$

ن_١ (س) = $\frac{\mathrm{٢}س}{\mathrm{٢}(س+\mathrm{٤})}$

المجال = ح - {-٤}

ن_١ (س) = $\frac{س}{س+\mathrm{٤}}$

ن_٢ (س) = $\frac{س\bcancel{(س+\mathrm{٤})}}{(س+\mathrm{٤})\bcancel{(س+\mathrm{٤})}}$

م_٢ = ح - {-٤}

ن_٢ (س) = $\frac{س}{س+\mathrm{٤}}$

ن_١ = ن_٢

جـ) ن_١ (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٣}}-\mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٣}}+{س}^{\mathrm{٢}}+س}$، ن_٢ = (س) = $\frac{س}{س+\mathrm{١}}$

ن_١ (س) = $\frac{(س-\mathrm{١})\bcancel{[{س}^{\mathrm{٢}}+س+\mathrm{١}]}}{س\bcancel{({س}^{\mathrm{٢}}+س+\mathrm{١})}}$

المجال = ح - {٠}

ن_١ (س) = $\frac{س-\mathrm{١}}{س}$

ن_٢ (س) = $\frac{(س-\mathrm{١})({س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{١})}{س({س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{١})}$

م_٢ = ح - {٠}

ن_٢ (س) = $\frac{س-\mathrm{١}}{س}$

ن_١ = ن_٢

د) ن_١ (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٣}}+س}{{س}^{\mathrm{٣}}+{س}^{\mathrm{٢}}+س+\mathrm{١}}$، ن_٢ = (س) = $\frac{س}{س+\mathrm{١}}$

ن_١ (س) = $\frac{س({س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{١})}{{س}^{\mathrm{٢}}(س+\mathrm{١})+(س+\mathrm{١})\times \mathrm{١}}$ = $\frac{س({س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{١})}{(س+\mathrm{١})({س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{١})}$

المجال = ح - {-١}

ن_١ (س) = $\frac{س}{س+\mathrm{١}}$

ن_٢ (س) = $\frac{س}{س+\mathrm{١}}$

م_٢ = ح - {-١}

ن_٢ (س) = $\frac{س}{س+\mathrm{١}}$

ن_١ = ن_٢

٤) أوجد المجال المشترك للدالتين ن_١، ن_٢ لكل مما يأتي:

أ) ن_١ (س) = $\frac{س+\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$، ن_٢ = (س) = $\frac{س-\mathrm{٣}}{س}$

٣ $\ne$ ٠، س = ٠

س = $\pm$ ١

المجال المشترك = ح - {٠}

ب) ن_١ (س) = $\frac{-\mathrm{٥}}{{س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{١}}$، ن_٢ = (س) = $\frac{\mathrm{٢}}{س}$

س^٢ - ١ = ٠

س = $\pm$ ١

س = ٠

المجال المشترك = ح - {١، -١، ٠}

جـ) ن_١ (س) = $\frac{س-\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}-س}$، ن_٢ = (س) = $\frac{\mathrm{٣}س}{{س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{١}}$

٣ - س = ٠

٣ = س

س^٢ + ١ = ٠ غير قابل للتحليل.

المجال المشترك = ح - {٣}

د) ن_١ (س) = $\frac{س}{{س}^{\mathrm{٣}}-\mathrm{٨}}$، ن_٢ = (س) = $\frac{\mathrm{١١}}{{س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{٤}}$

س^٣ - ٨ = ٠

س^٣ = ٨

س = ٢

س^٢ - ٤ = ٠

س^٢ = ٤

س = ٢

المجال المشترك = ح - {٢، -٢}

هـ) ن_١ (س) = $\frac{\mathrm{٣}س+\mathrm{١}}{\mathrm{٧}س}$، ن_٢ = (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{١}}{{س}^{\mathrm{٤}}-\mathrm{٨١}}$

٧س = ٠

س = ٠

س^٤ - ٨١ = ٠

س^٤ = ٨١

س = $\sqrt[\mathrm{٤}]{\mathrm{٨١}}$ = $\pm$ ٣

المجال المشترك = ح - {٠، ٣، -٣}

و) ن_١ (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٩}س+\mathrm{٢٠}}{{س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{١٦}}$، ن_٢ = (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}+\mathrm{٥}}{{س}^{\mathrm{٢}}-\mathrm{٤}س}$

س^٢ - ١٦ = ٠

س^٢ = ١٦

س = $\pm$ ٤

س^٢ - ٤س = ٠

س (س - ٤) = ٠

س = ٠

س = ٤

المجال المشترك = {٤، -٤، ٠}