الدرس الرابع: علاقة أوتار الدائرة بمركزها

١) في الشكل المقابل:

أ) $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ وتران متساويان في الطول في الدائرة م، س منتصف $\overline{أ ب}$، ص منتصف $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، ق ($\angle$ ء م هـ).

$\because$ س منتصف $\overline{أ ب}$

$\therefore$ $\overline{م س}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$

$\therefore$ ق ($\angle$ م س أ) = ٩٠° بالمثل ق ($\angle$ م أ ص) = ٩٠°

$\because$ مجموع قياسات زوايا الرباعي الداخلة = ٣٦٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ ء م هـ) = ٣٦٠ - (٩٠ + ٩٠ + ٧٠) = ١١٠°

ب) أثبت أن: س ء = ص هـ.

$\because$ $\overline{م س}\perp \overline{أ ب}$، $\overline{م ص}\perp \overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\because$ أ ب = أ ب أوتار

$\therefore$ م س = م ص أبعاد (١)

$\because$ م ء = م جـ = نق (٢)

بطرح ٢ - ١

س ء = ص هـ

٢) $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ وتران متساويان في الطول في الدائرة م، س منتصف س، ص منتصفا $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، ق ($\angle$ م س ص) = ٣٠°.

أثبت أن:

أولاً: المثلث م س ص متساوي الساقين.

$\because$ س منتصف أ ب، $\therefore$ $\overline{م س}\perp \overline{أ ب}$

$\because$ ص منتصف $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، $\therefore$ $\overline{م ص}$$\perp$$\overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\because$ أ ب = أ جـ أوتار

$\therefore$ م س = م ص

$\therefore$ $△$ م س ص متساوي الساقين.

ثانياً: أ س ص متساوي الأضلاع.

$\because$ أ س = أ ص

$\because$ $\overline{م س}\perp \overline{أ ب}$

ق ($\angle$ أ س م) = ٩٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ أ س ص) = ٩٠ - ٣٠ = ٦٠°

$\therefore$ $△$ أ س ص متساوي الأضلاع.

٣) $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ وتران في الدائرة م، $\overline{م س}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$، ص منتصف $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، ق ($\angle$ أ ب جـ) = ٧٥°، م س = م ص.

أ) أوجد ق ($\angle$ ب أ جـ).

$\because$ ص منتصف $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، $\therefore$ $\overline{م ص}\perp \overline{أ \mathrm{جـ}}$، $\overline{م س}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$

$\because$ م س = م ص أبعاد

$\therefore$ أ ب = أ جـ أوتار

$\therefore$ ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ جـ) = ٧٥°

$\therefore$ ق ($\angle$ ب أ جـ) = ١٨٠ - (٧٥ + ٧٥) = ٣٠°

ب) أثبت أن: محيط $△$ أ س ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ محيط $△$ أ ب جـ.

$\because$ $\overline{م س}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$

$\therefore$ س منتصف $\overline{أ ب}$، ص منتصف $\overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ س ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ب جـ (١)

أ س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ أ ب (٢)

أ ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ أ جـ (٣)

بالجمع ١ + ٢ + ٣

س ص + أ س + أ ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ب جـ + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ أ ب + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ أ جـ

$\therefore$ محيط المثلث أ س ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ محيط المثلث أ ب جـ

٤) دائرتان متحدتا المركز م، $\overline{أ ب}$، $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ وتران في الدائرة الكبرى يمسان الدائرة الصغرى في س، ص على الترتيب. أثبت أن أ ب = أ جـ.

العمل نصل م س، م ص

$\because$ $\overline{أ ب}$ مماس، م س = نق

$\therefore$ $\overline{أ ب}$ $\perp$ $\overline{م س}$ بالمثل $\overline{م ص}\perp \overline{\mathrm{جـ} ء}$

$\because$ م س = م ص = نق أبعاد

$\therefore$ أ ب = جـ ء

٥) في الشكل المقابل: م، ن دائرتان متطابقتان، رسم $\overleftrightarrow{أ ب}$ // $\overleftrightarrow{م ن}$ فقطع الدائرة م في أ، ب وقطع الدائرة ن في جـ، ء. أثبت أن: أ جـ = ب ء.

العمل نرسم م س $\perp$ أ ب، ن ص $\perp$ جـ ء

$\because$ م س = ن ص أبعاد، م، ن متطابقان

$\therefore$ أ ب = جـ ء بإضافة ب جـ للطرفين

أ ب + ب جـ = ب جـ + جـ ء

أ جـ = ب ء

٦) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث مرسوم داخل الدائرة م، فيه: ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ جـ)، س منتصف $\overline{أ ب}$، $\overline{م ص}$

$\because$ ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ جـ)

$\therefore$ أ ب = أ جـ

$\because$ س منتصف أ ب، $\therefore$ $\overline{م س}\perp \overline{أ ب}$، $\overline{م ص}\perp \overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\because$ أ ب = أ جـ أوتار

$\therefore$ م س = م ص أبعاد

٧) $\overline{أ ب}$، $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ وتران في الدائرة م، $\underset{م س}{\leftarrow }$ $\perp$ $\overline{أ ب}$ ويقطع الدائرة ء، $\underset{م ص}{\leftarrow }$ $\perp$ $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ ويقطع الدائرة في هـ، ء س = هـ س.

أثبت أن:

أولاً: أ ب = جـ ء

$\because$ م و = م هـ = نق

$\because$ س و = ص هـ

بالطرح

$\therefore$ م س = م ص (١)

$\because$ $\overline{م س}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$، $\overline{م ص}$ $\perp$ $\overline{\mathrm{جـ} ء}$

$\because$ م س = م ص = أبعاد

$\therefore$ أ ب = جـ ء أوتار

ثانياً: أ و = جـ هـ

$\because$ $\overline{م س}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$

$\therefore$ س منتصف $\overline{أ ب}$

$\therefore$ أ س = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ أ ب بالمثل جـ ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ جـ ء

$\because$ أ ب = جـ ء

$\therefore$ أ س = جـ ص

$△$ $△$ أ و س، جـ هـ ص

فيهما أ س = جـ ص

و س = ص هـ

ق ($\angle$ س) = ق ($\angle$ ص) = ٩٠°

$\therefore$ $\equiv$$△$ $△$ ينتج أ، أ و = جـ هـ

٨) في الشكل المقابل: م، ن دائرتان متقاطعتان في أ، ب، رسم $\underset{م س}{\leftarrow }$ $\perp$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ يقطع $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ في س ويقطع الدائرة م في ص. ورسم $\overline{م ن}$ يقطع $\overline{أ ب}$ في ء والدائرة م في هـ. إذا كان أ جـ = أ ب. أثبت أن: س ص = ء هـ.

$\because$ $\overleftrightarrow{م ن}$ خط المركزين، $\overline{أ ب}$ وتر مشترك

$\therefore$ $\overleftrightarrow{م ن}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$ وينصفه في الدائرة م

$\because$ $\overline{م ء}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$، $\overline{م س}$$\perp$$\overline{أ \mathrm{جـ}}$

أ ب = أ جـ أوتار

$\therefore$ م ء = م س أبعاد

$\because$ م ص = م هـ = نق

بالطرح

س ص = ء هـ

٩) م، ن دائرتان متماستان من الداخل في أ، رسم $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ وتران متساويان في الطول في ال دائرة الكبرى فقطعا الدائرة الصغرى في ء، هـ على الترتيب. أثبت أن: أ ء = أ هـ

العمل: $\overline{م س}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$، $\overline{م ص}$ $\perp$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\overline{ن و}\perp \overline{أ ء}$، $\overline{ن ل}\perp \overline{أ \mathrm{هـ}}$

في الدائرة م: أ ب = أ جـ $\Leftarrow$ م س = م ص

$\because$ $△$ أ م س $\equiv$ $△$ أ م ص وينتج أن

ق ($\angle$ ١) = ق ($\angle$ ٢)

في الدائرة ن: $△$ أ ن و $\equiv$ $△$ أ ن ك

ق ($\angle$ ٣) = ق ($\angle$ ٤) ينتج أن

ن و = ن ك أبعاد

$\therefore$ أ ء = أ هـ أوتار