تمارين متنوعة على الوحدة الرابعة

١) أكمل لتكون العبارة صحيحة:

أ) وتر الدائرة هو القطعة المستقيمة المرسومة بين .....

أي نقطتين على الدائرة.

ب) المستقيم المار بمركز الدائرة عمودياً على أي وتر فيها .....

ينصف هذا الوتر

جـ) خط المركزين لدائرتين متماستين من الداخل يمر ......

بنقطة التماس

د) مركز الدائرة الخارجة للمثلث هو نقطة تقاطع ......

ارتفاعات أضلاعه

هـ) الأوتار المتساوية الطول في دائرة.

تكون على أبعاد متساوية.

٢) اختر الإجابة الصحيحة من الإجابات المعطاة:

أ) المماس لدائرة طول قطرها ٦ سم. يكون على بعد ....... سم من مركزها. (٦ أو ١٢ أو ٣ أو ٢)

٣

ب) يمكن رس م دائرة تمر برؤوس ...... (معين أو مستطيل أو شبه منحرف أو متوازي أضلاع)

معين، مستطيل

جـ) $\overline{أ ب}$ قطر في الدائرة م، $\overleftrightarrow{أ \mathrm{جـ}}$، $\overleftrightarrow{ب ء}$ مماسان للدائرة، فإن $\overleftrightarrow{أ \mathrm{جـ}}$ ...... $\overleftrightarrow{ب ء}$. (يقطع أو يوازي أو عمودي على أو ينطبق على)

يوازي.

د) دائرة محيطها ٦ ط سم، والمستقيم ل يبعد عن مركزها ٣سم، فإن المستقيم ل يكون ..... (مماس للدائرة أو قاطع للدائرة أو خارج الدائرة أو قطر للدائرة)

مماس للدائرة

هـ) م، ن دائرتان متقاطعتان، طولا نصفي قطريهما ٣سم، ٥ سم، فإن م $\in$ ...... (]٨، $\infty$[ أو ]٢، $\infty$[ أو ]٠، ٢[ أو ]٢، ٨[)

نق_١ - نق_٢ < م_ن < نق_١ + نق_٢

٢ < م _ن < ٨

م _ن $\in$ ]٢، ٨[

٣) في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$، $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ وتران في الدائرة م التي طول نصف قطرها ٥سم، $\underset{م ء}{\leftarrow }$ $\perp$ $\overline{أ ب}$ يقطع $\overline{أ ب}$ في ء ويقطع الدائرة م في هـ، س منتصف $\overline{ب \mathrm{جـ}}$. أوجد أ ب = ٨ سم، ق ($\angle$ أ ب جـ) = ٥٦°

أوجد:

أ) ق ($\angle$ ء م س)

$\because$ $\overline{م ء}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$

$\therefore$ ء منتصف $\overline{أ ب}$

أ ء = ء ب

$\because$ س منتصف $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

$\therefore$$\overline{م س}\perp \overline{ب \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ ق ($\angle$ م س ب) = ٩٠°

ق ($\angle$ ء م س) = ٣٦٠ - (٩٠ + ٩٠ + ٥٦)

ق ($\angle$ ء م س) = ١٢٤°

ب) طول $\overline{ء \mathrm{هـ}}$

العمل نرسم $\overline{م أ}$

م ء = $\sqrt{{\left(\mathrm{٥}\right)}^{\mathrm{٢}} -{\left(\mathrm{٤}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٣

٤) في الشكل المقابل: م، ن دائرتان متباعدتان، هـ منتصف $\overline{م ن}$، رسم $\overleftrightarrow{أ \mathrm{هـ}}$ يقطع الدائرة م في أ، ب ويقطع الدائرة ن في جـ ء.

أثبت أن:

أ) أ ب = جـ ء

العمل نرسم م س $\perp$ أ ب

ن ص $\perp$ جـ ء

البرهان: في $△$ $△$ م س هـ، ن ص هـ

فيهما:

1. ق ($\angle$ س) = ق ($\angle$ ص) = ٩٠°
2. م هـ = ن هـ معطى
3. ق ($\angle$ م هـ س) = ق ($\angle$ ن هـ ص)

$\therefore$ $△$ م س هـ $\equiv$ $△$ ن ص هـ

وينتج أن م س = ن ص

$\therefore$ أ ب = جـ ء

ب) هـ منتصف $\overline{أ ء}$

بما أن س هـ = هـ ص

$\because$ أ س = ص ء بالجمع

أ هـ = هـ ء

$\therefore$ هـ منتصف $\overline{أ ء}$

٥) في الشكل المقابل: م دائرة طول نصف قطرها ٥سم، أ نقطة خارج الدائرة، $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ مماس للدائرة م عند ء، $\underset{أ ب}{\leftarrow }$ يقطع الدائرة في ب، جـ على الترتيب حيث أ ب = ٤سم، أ جـ = ١٢ سم.

أ) أوجد بعد الوتر $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ عن مركز الدائرة.

نرسم م هـ $\perp$$\overline{ب \mathrm{جـ}}$

نصل م ب، م أ، م ء

البرهان:

في المثلث م هـ ب

$\because$ $\overline{م \mathrm{هـ}}$ $\perp$ $\overline{\mathrm{جـ} ب}$

$\therefore$ هـ منتصف $\overline{\mathrm{جـ} ب}$

$\therefore$ م هـ = $\sqrt{\mathrm{٢٥} - \mathrm{١٦}}=\sqrt{\mathrm{٩}}$ = ٣سم.

ب) احسب طول $\overline{أ ء}$

في المثلث م هـ أ

م أ = $\sqrt{\mathrm{٩} + \mathrm{٦٤}}=\sqrt{\mathrm{٧٣}}$ سم.

في المثلث م ء أ $\underset{م ء}{\leftarrow }\perp \underset{أ ء}{\leftarrow }$

أ ء = $\sqrt{\mathrm{٧٣} - \mathrm{٢٥}}=\sqrt{\mathrm{٤٨}}$ سم.

٦) في الشكل المقابل: م، ن دائرتان متقاطعتان في أ، ب رسم $\overleftrightarrow{ب ء}$ // $\overleftrightarrow{م ن}$ ويقطع الدائرتين في ء، هـ على الترتيب. أثبت أن: ء هـ = ٢م ن.

العمل نرسم $\overline{م س}\perp \overline{ء ب}$

$\overline{ن ص}\perp \overline{ب \mathrm{هـ}}$

البرهان: $\because$ $\overline{م ن}$ // $\overline{ء \mathrm{هـ}}$

$\because$ $\overline{م س}$ // $\overline{ن ص}$

$\therefore$ م س ص ن متوازي أضلاع

$\therefore$ س ص = م ن (١)

$\because$ س منتصف $\overline{ء ب}$ $\leftarrow$ س ل = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ء ب

$\because$ ص منتصف $\overline{ب \mathrm{هـ}}$ $\leftarrow$ ب ص = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ب هـ

س ل + ب ص = م ن

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ء ب + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ب هـ = م ن

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ (ء ب + ب هـ) = م ن

(ء ب + ب هـ) = ٢ م ن

ء هـ = ٢ م ن

٧) في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$، $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ وتران متساويان في الطول في الدائرة م، س، ص منتصفا $\overline{أ ب}$، $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ بحيث يكون ب، ء في جهة واحدة من $\overleftrightarrow{س ص}$. أثبت أن: ق ($\angle$ ب س ص) = ق ($\angle$ ء ص س).

فكر: هل أ جـ // ب ء؟ فسر إجابتك.

نصل م س، م ص

$\because$ س منتصف أ ب

$\therefore \overline{م س}\perp \overline{أ ب}$ (١)

$\because$ ص منتصف جـ ء

$\therefore \overline{م ص}\perp \overline{\mathrm{جـ} ء}$

$\because$ أ ب = جـ ء

$\therefore$ م س = م ص

$\because$ المثلث م س ص متساوي الساقين

$\therefore$ ق ($\angle$ م س ص) = ق ($\angle$ م ص س) (٢)

بالجمع ق ($\angle$ ب س ص) = ق ($\angle$ ء ص س)

٨) في الشكل المقابل: دائرتان متحدتا المركز طولا نصفي قطريهما ٤سم، ٢سم، رسم المثلث أ ب جـ بحيث تقع رؤوسه على الدائرة الكبرى وتمس أضلاعه الدائرة الصغرى في س، ص، ص. أثبت أن: المثلث أ ب جـ متساوي الأضلاع وأوجد مساحته.

$\because$ $\overline{م س}\perp \overline{أ ب}$

$\because$ $\overline{م ص}$ $\perp$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

$\because$ $\overline{م ع}\perp \overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\because$ م س = م ع = م ص = نق الدائرة الصغيرة

$\therefore$ أ ب = ب جـ = أ جـ إذا المثلث متساوي الأضلاع

نصف قطر الدائرة الصغيرة = ٢سم.

أ س م مثلث قائم الزاوية

أ س = $\sqrt{\mathrm{١٦} - \mathrm{٤}}=\sqrt{\mathrm{١٢}}$ = ٢$\sqrt{\mathrm{٣}}$

أ ب = ٤$\sqrt{\mathrm{٣}}$، ب جـ = ٤$\sqrt{\mathrm{٣}}$، أ جـ = ٤$\sqrt{\mathrm{٣}}$

نحسب الارتفاع أ ص لدينا أ م = ٤، م ص = ٢

إذاً أ ص = ٤$\sqrt{\mathrm{٣}}$

م $△$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٤$\sqrt{\mathrm{٣}}$ × ٦

= ١٢$\sqrt{\mathrm{٣}}$

٩) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث فيه أ ب = أ جـ، رسمت دائرة م قطرها $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ قطعت $\overline{أ ب}$ في ء، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ في هـ، $\overline{م س}$ $\perp$ $\overline{ب ء}$، $\overline{م ص}$ $\perp$ $\overline{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$. أثبت أن: ب ء = جـ هـ

$\because$ أ ب = أ جـ

$\therefore$ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ جـ)

في $△$ $△$ ب س أ، جـ ص أ

فيهما

1. ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ جـ)
2. ق ($\angle$ س) = ق ($\angle$ ص) = ٩٠°
3. م ب = م جـ = نق

$\therefore$ $△$ ب س م $\equiv$ $△$ جـ ص أ

ينتج أن م س = م ص

$\because$ م س $\perp$ ب ء

$\because$ م ص $\perp$ جـ هـ

$\therefore$ ب ء = هـ جـ