الدرس الأول: الزاوية المركزية وقياس الأقواس

١) في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$، $\overline{\mathrm{جـ} ء}$، $\overline{\mathrm{هـ} و}$ أقطار في الدائرة م أكمل:

أ) ق ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$) = .......

ب) ق ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$) = .....

جـ) ق ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ} ء}$) = .....

د ) ق ($\stackrel{⏜}{أ و \mathrm{هـ}}$) = ....

٢) في كل من الأشكال الأتية: $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ء}$ مماس للدائرة م عند ء، أكمل:

أ)

ق ($\stackrel{⏜}{ء ب}$) = .....

ق ($\stackrel{⏜}{أ ء}$) = .....

ب)

ق ($\stackrel{⏜}{أ ب ء}$) = .....

٣) في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$ قطر في الدائرة م، $\underset{أ ب}{\leftarrow }$ $\cap$ $\underset{\mathrm{جـ} ء}{\leftarrow }$ = {هـ}. ق ($\angle$ أ هـ جـ) = ٣٠°، ق ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$) = ٨٠° أوجد ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ء}$)

٤) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء هـ خماسي منتظم مرسوم داخل الدائرة م، $\overleftrightarrow{أ س}$ مماس للدائرة عند أ، $\overleftrightarrow{\mathrm{هـ} س}$ مماس للدائرة عند هـ حيث $\overleftrightarrow{أ س}$ $\cap$ $\overleftrightarrow{\mathrm{هـ} س}$ = {س}. أوجد:

أ) ق ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{هـ}}$)

ب) ق ($\angle$ أ س هـ).

٥) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء مستطيل مرسوم داخل دائرة، رسم الوتر $\overline{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$ بحيث جـ هـ = جـ ء. أثبت أن: أ هـ = ب جـ.

البرهان:

$\because$ أ ب جـ ء مستطيل.

$\therefore$ أ ب = جـ ء (١)

$\because$ جـ هـ = جـ ء (٢)

من ١) و ٢)

$\therefore$ أ ب = جـ هـ

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{أ ب}$) = ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$) بإضافة ق ($\stackrel{⏜}{ب \mathrm{هـ}}$) للطرفين

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{أ ب}$) + ق ($\stackrel{⏜}{ب \mathrm{هـ}}$) = ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$) + ق ($\stackrel{⏜}{ب \mathrm{هـ}}$)

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{هـ}}$) = ق ($\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$)

$\therefore$ أ هـ = ب جـ

٦) في الشكل المقابل: م دائرة طول نصف قطرها ١٥ سم، $\overline{أ ب}$، $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ وتران متوازيان في الدائرة، ق ( $\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$) = ٨٠°، طول $\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$ = طول $\stackrel{⏜}{أ ب}$.

أوجد:

أ) ق ($\angle$ م أ ب)

$\because$ طول $\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$ = طول $\stackrel{⏜}{أ ب}$

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{أ ب}$) = ق ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$)

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{أ ب}$) = ٨٠°

$\because$ م أ = م ب

$\therefore$ $△$ م أ ب متساوي الساقين

$\therefore$ ق ($\angle$ أ) = ق ($\angle$ ب) = $\frac{\mathrm{١٨٠} - \mathrm{٨٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٥٠°

ب) ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ء}$)

$\because$ $\overline{أ ب}$ // $\overline{\mathrm{جـ} ء}$

$\therefore$ ق () = ق ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$) = ٨٠°

$\because$ ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ء}$) + ق ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$) + ق ($\stackrel{⏜}{أ ب}$) + ق ($\stackrel{⏜}{ب ء}$) = ٣٦٠°

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ء}$) + ٨٠ + ٨٠ + ٨٠ = ٣٦٠

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ء}$) + ٢٤٠ = ٣٦٠

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ء}$) = ٣٦٠ - ٢٤٠ = ١٢٠°

جـ) طول $\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ء}$

طول $\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ء}$ = $\frac{\mathrm{١٢٠}}{\mathrm{٣٦٠}}$ × ٢ × ٣,١٤ × ١٥ = ٣١,٤

٧) في الشكل المقابل: م، ن، و ثلاث دوائر متطابقة ومتماسة في أ، ب، جـ طول نصف قطر كل منهما ١٠ سم.

أ) أثبت أن: طول $\stackrel{⏜}{أ ب}$ = طول $\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$ = طول $\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$.

$\because$ م، ن، و دوار متطابقة

$\therefore$ م أ = ن أ = ن ب = و ب = و جـ = م جـ

$\because$ أ $\in$ $\overline{م ن}$، ب $\in$ $\overline{ن و}$، جـ $\in$ $\overline{م و}$

$\therefore$ م ن = ن و = م و

$\therefore$ $△$ م ن و متساوي الأضلاع

$\therefore$ ق ($\angle$ م) = ق ($\angle$ ن) = ق ($\angle$ و)

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$) = ق ($\stackrel{⏜}{أ ب}$) = ق ($\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$)

$\therefore$ طول $\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$ = طول $\stackrel{⏜}{أ ب}$ = طول $\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$

ب) محيط الشكل أ ب جـ.

محيط الشكل أ ب جـ = طول $\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$ + طول $\stackrel{⏜}{أ ب}$ + طول $\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$

= ٣ × $\frac{\mathrm{٦٠}}{\mathrm{٣٦٠}}$ × ٢ × ٣,١٤ × ١٠

= ٣١,٤