تمارين متنوعة على الوحدة الخامسة

١) $\overline{أ ب}$ قطر في الدائرة م، ق ($\angle$ ب أ جـ) = ٦٥°، ء $\in$ $\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$ أوجد ق ($\angle$ أ جـ ب)، ق ($\angle$ جـ ء ب)

$\because$ $\overline{أ ب}$ قطر في الدائرة م.

$\therefore$ ق ($\angle$ أ جـ ب) = ٩٠°

$\because$ أ ب ء جـ رباعي دائري

$\therefore$ ق ($\angle$ جـ ء ب) = ١٨٠ - ٦٥ = ١١٥° زاويتان متكاملتان في رباعي دائري.

٢) $\overline{م أ}$، $\overline{م ب}$ نصفا قطرين متعامدين في الدائرة م، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، $\overline{ب ء}$ وتران متعامدان ومتقاطعان في هـ.

أ) أوجد ق ($\angle$ جـ ب ء)

$\because$ ق ($\angle$ جـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ أ م ب) = ٤٥° محيطية ومركزية مشتركتان في $\stackrel{⏜}{أ ب}$

في $△$ جـ هـ ب: ق ($\angle$ جـ هـ ب) = ٩٠°، ق ($\angle$ جـ) = ٤٥°

$\therefore$ ق ($\angle$ جـ ب ء) = ٩٠ - ٤٥= ٤٥°

ب) أثبت أن: $\overleftrightarrow{أ ء}$ // $\overleftrightarrow{ب \mathrm{جـ}}$

$\because$ ق ($\angle$ أ ء ب) = ق ($\angle$ أ جـ ب) = ٤٥° زاويتان محيطيتان مشتركتان في $\stackrel{⏜}{أ ب}$

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ء ب) = ق ($\angle$ ء ب جـ) = ٤٥° وهما في وضع تبادل

$\therefore$ ينتج توازي $\overleftrightarrow{أ ء}$ // $\overleftrightarrow{ب \mathrm{جـ}}$

٣) في الشكل المقابل: هـ نقطة خارج الدائرة. اثبت أن: ق ($\angle$ هـ) < ق ($\angle$ ب جـ ء)

العمل نرسم $\overline{ب و}$

$\because$ ق ($\angle$ ء و ب) = ق ($\angle$ ء جـ ب) محيطيتان مشتركتان في $\stackrel{⏜}{ء ب}$

$\because$ ق ($\angle$ ء و ب) خارجة عن المثلث و هـ ب

$\therefore$ ق ($\angle$ ء و ب) > ق $\angle$ هـ

$\therefore$ ق ($\angle$ ء جـ ب) > ق $\angle$ هـ

$\therefore$ ق $\angle$ هـ < ق ($\angle$ ء جـ ب)

٤) في كل من الأشكال الآتية أثبت أن الشكل أ ب جـ ء رباعي دائري:

أ)

ق ($\angle$ أ هـ ء) = ٩٥°

$\because$ $\angle$ أ هـ ء خارجة عن المثلث أ هـ ب

$\therefore$ ق ($\angle$ ب أ هـ) = ٩٥ - ٥٥ = ٤٠°

$\because$ ق ($\angle$ ب أ جـ) = ق ($\angle$ ب ء جـ) = ٤٠° مرسومتان على $\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$ في جهة واحدة منها

$\therefore$ الشكل أ ب جـ ء رباعي دائري.

ب)

$\because$ ء منتصف $\overline{\mathrm{هـ} \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ $\overline{م ء}\perp \overline{\mathrm{هـ} \mathrm{جـ}}$

$\because$ $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ب}$ مماس للدائرة عند جـ

$\therefore$ $\overline{م \mathrm{جـ}}$ $\perp$ $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ب}$

$\because$ $\overline{م \mathrm{جـ}}$ // $\overline{أ ب}$، $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ قاطع

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ب جـ) = ٩٠°

$\because$ ق ($\angle$ أ ء جـ) + ق ($\angle$ أ ب جـ) = ١٨٠°

$\therefore$ إذاً الشكل أ ب جـ ء رباعي دائري.

جـ)

$\because$ ق ($\angle$ أ) = ٦٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ س) + ق ($\angle$ ص) = ١٨٠ - ٦٠ = ١٢٠°

$\because$ $\underset{س ء}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ س، $\underset{ص ب}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ص

$\therefore$ ق ($\angle$ ء س ص) + ق ($\angle$ ب ص س) = ٦٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ س جـ ص) = ١٨٠ - ٦٠ = ١٢٠°

$\therefore$ $\angle$ أ تكمل $\angle$ ب جـ ء

$\therefore$ وجدت زاويتان متقابلتان متكاملتان

$\therefore$ أ ب جـ ء رباعي دائري.

٥) أ ب جـ ء متوازي أضلاع، الدائرة المارة بالنقط أ، ب، ء تقطع $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ في هـ أثبت أن: جـ ء = هـ ء

$\because$ أ ب جـ ء متوازي أضلاع

$\therefore$ ق ($\angle$ أ) = ق ($\angle$ جـ) (١)

$\angle$ ء هـ جـ خارجة عن الشكل الرباعي الدائري أ ب هـ ء.

$\therefore$ ق ($\angle$ ء هـ جـ) = ق ($\angle$ أ) (٢)

من ١) و ٢) $\therefore$ ق ($\angle$ ء هـ جـ) = ق ($\angle$ جـ)

$\therefore$ ء هـ = ء جـ

٦) م، ن دائرتان متقاطعتان في أ، ب رسم $\overleftrightarrow{أ ء}$ يقطع الدائرة م في هـ والدائرة ن في ء، رسم $\overleftrightarrow{ب \mathrm{جـ}}$ يقطع الدائرة م في و والدائرة ن في جـ، ق ($\angle$ جـ) = ٧٠°

أ) ق ($\angle$ و)

$\because$ أ ب جـ ء رباعي دائري

$\therefore$ ق ($\angle$ ء أ ب) = ١١٠°

$\because$ $\angle$ ء أ ب خارجة عن الشكل الرباعي أ ب جـ هـ

$\therefore$ ق ($\angle$ ء أ ب) = ق ($\angle$ و) = ١١٠°

ب) أثبت أن $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ء}$ // $\overleftrightarrow{\mathrm{هـ} و}$

$\because$ ق ($\angle$ و) + ق ($\angle$ جـ) = ١٨٠° زاويتان داخلتان في جهة واحدة من القاطع متكاملتان.

$\therefore$ $\overleftrightarrow{\mathrm{جـ} ء}$ // $\overleftrightarrow{\mathrm{هـ} و}$

٧) مستعيناً بمعطيات الشكل: اثبت أن:

أ) $\overline{ب ء}$ // $\overline{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$

$\because$ $\overleftrightarrow{أ س}$ مماس للدائرة الصغرى، $\overline{أ ب}$

$\therefore$ ق ($\angle$ ١) = ق ($\angle$ ٢) مماسية ومحيطية في $\stackrel{⏜}{أ ب}$.

$\therefore$ ق ($\angle$ ٢) = ق ($\angle$ ٣) وهما في وضع تناظر.

$\because$ $\overleftrightarrow{أ س}$ مماس للدائرة الكبرى $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ وتر.

$\therefore$ ق ($\angle$ ١) = ق ($\angle$ ٣) مماسية ومحيطية في $\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ $\overline{ب ء}$ // $\overline{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$

ب) $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ مماس للدائرة المارة برؤوس المثلث أ ب ء

المثلث أ ب جـ:

$\because$ أ ب = أ جـ

$\therefore$ ق ($\angle$ ١) = ق ($\angle$ ٢)

$\because$ $\overline{‌أ ء}$، $\overline{ء ب}$ قطعتان مماستان للدائرة عند أ، ب

$\therefore$ ق ($\angle$ ٣) = ق ($\angle$ ٤)

$\because$ $\angle$ ٣ مماسية، $\angle$ ٢ محيطية مشتركتان في $\stackrel{⏜}{أ ب}$

$\therefore$ ق ($\angle$ ٣) = ق ($\angle$ ٢)

$\therefore$ ق ($\angle$ ١) = ق ($\angle$ ٤)

ق ($\angle$ ٢) = ق ($\angle$ ٣)

$\therefore$ ق ($\angle$ ء) = ق ($\angle$ ب أ جـ)

$\therefore$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ مماس للدائرة المارة برؤوس المثلث أ ب ء