الدرس الخامس: خواص الشكل الرباعي الدائري

أولاً:

١) في كل من الأشكال الآتية، ، قطعتان مماستان للدائرة م. أوجد قيمة الرمز

أ)

ق ( أ ب ء)

أ ب جـ ء رباعي دائري

ق ( أ) = ١٨٠ - ٧٠ = ١١٠°

في أ ب ء:

ق ( أ ب ء) = ١٨٠ - [٣٠ + ١١٠]

ق ( أ ب ء) = ٤٠°

ب)

ق ( أ)

أ المحيطية = ق ( م) المركزية

ق ( أ) = × ٢س = س

أ ب جـ ء رباعي دائري.

س + ٢س = ١٨٠°

٣س = ١٨٠°

س = ٦٠°

جـ)

قياسات زوايا الشكل أ ب جـ ء

قطر

ق () = ١٨٠ - [٨٠ + ٦٠] = ٤٠°

ق ( أ) = ق ( ء جـ ب) = [٦٠ + ٤٠] = ٥٠°

ق ( جـ) = ١٨٠ - ٥٠ = ١٣٠°

ق ( ب) = [٨٠ + ٦٠] = ٧٠°

ق ( ء) = ١٨٠ - ٧٠ = ١١٠°

د)

قياسات زوايا الشكل أ ب جـ ء

أ ب هـ ء رباعي دائري

ق ( هـ) = ١٨٠ - ٥ = ٨٥°

//

ق ( أ ب هـ) = ١٨٠ - ٩٥ = ٨٥

ق ( جـ) = ١٨٠ - ٩٥ = ٨٥

ق ( جـ ب هـ) = ق ( جـ ء هـ) = ٢٨

ق ( ب) = ٢٨ + ٨٥ = ١١٣°

ق ( أ ء ب) = ٦٧°

٢) في كل من الأشكال، أوجد قيمة الرمز المستخدم في القياس.

أ)

س = ٧٥°

ق ( جـ ء أ) = ١٨٠ - ٨٠ = ١٠٠°

ص = ١٠٠°

ب)

جـ)

أ ب جـ ء رباعي دائري

س = ١٨٠ - ١٢٠ = ٦٠°

// ق ( و ب جـ) = ٦٠° بالتبادل

ق ( ء) = ص = ق ( هـ ب و) = ٦٥ + ٦٥ = ١١٥°

٣) أثبت أن كلاً من الأشكال الآتية رباعي دائري:

أ)

ب)

أ ب ء فيه أ ب = أ ء

ق ( أ) = ١٨٠ - ٢ × ٣٠ = ١٨٠ - ٦٠ = ١٢٠°

ق ( ب جـ هـ ١٨٠°

ق ( ء جـ ب) = ١٨٠ - ١٢٠ = ٦٠°

ق ( أ) + ق ( ء جـ ب) = ١٢٠ + ٦٠ = ١٨٠° وهما متقابلتان

الشكل أ ب جـ ء رباعي دائري.

جـ)

أ ء // ب جـ

أ ب قاطع

ق ( أ) = ١٨٠ - ٧٤ = ١٠٦°

ينصف ء جـ هـ

ق ( ء جـ هـ) = ٥٣ × ٢ = ١٠٦

ق ( ء جـ هـ) = ق ( أ)

أ ب جـ ء رباعي دائري

٤) في الشكل المقابل أثبت أن: القطع المستقيمة العمودية على أضلاع المثلث من الرؤوس المقابلة تتقاطع في نقطة واحدة. ما عدد الأشكال الرباعية الدائرية في الشكل المقابل؟ وما هي؟

ثانياً:

١ ) في كل من الأشكال الآتية: أوجد قيمة الرمز المستخدم في القياس.

أ)

س = ١٠٠

في الشكل أ ب جـ ء ق ( أ) + ق ( جـ) =١٨٠

ق ( جـ) = ص = ١٨٠ - ٧٠ = ١١٠°

ب)

٧٠ = ع - ٣٠

ع = ١٠٠

جـ)

أ ب جـ ء رباعي دائري

ق ( أ) + ق ( جـ) = ١٨٠°

٤س = ١٨٠

س = ٤٥°

٢) في الشكل المقابل: ق ( أ ب هـ) = ١٠٠°، ق ( جـ أ ء) = ٤٠° أثبت أن: ق () = ق ().

أ ب هـ خارجة عن الشكل الرباعي أ ب جـ ء

ق ( ء) = ق ( أ ب هـ) = ١٠٠°

مجموع قياسات زوايا = ١٨٠°

ق ( أ جـ ء) = ١٨٠ - (١٠٠ + ٤٠) = ٤٠°

ق ( أ جـ ء) = ق ( ء جـ أ)

ق () = ق ()

٣) في الشكل المقابل: وتر في الدائرة م، قطر عمودي على ويقطعه في هـ، يقطع الدائرة في س، = {ص}

أثبت أن:

أولاً: الشكل س ص هـ جـ رباعي دائري.

جـ س ء مرسومة في نقطة دائرة

ق ( جـ س ء) = ٩٠°

ق ( س) + ق ( ص هـ جـ) = ١٨٠°

س ص هـ جـ رباعي دائري

ثانياً: ق ( ء ص ب) = ق ( ء ب س)

ق ( م) = ق (٣) محيطية على قاعدة واحدة (١)

ق (١) = ق (٢) خارجة عن الشكل الرباعي

ق ( ء ص ب) = ق ( ء ب س)

٤ ) في الشكل المقابل: دائرتان متقاطعتان في أ، ب يمر بالنقطة ب ويقطع الدائرتين في جـ، د، = {س}.

أثبت أن: الشكل أ و س هـ رباعي دائري.

العمل: نرسم

الشكل أ ب جـ هـ رباعي دائري

ق ( ١) = ق ( ٣) (١)

الشكل أ ب ء و رباعي دائري

ق ( ٢) = ق ( ٤) (٢)

بجمع ١ و ٢

ق ( ١) + ق ( ٢) = ق ( ٣) = ق ( ٤) = ١٨٠°

١، ٢ متقابلتان متكاملتان

الشكل أ و س هـ دائري.

٥) أ ب جـ مثلث مرسوم داخل دائرة فيه أ ب > أ جـ، ء بحيث أ جـ = أ ء، نصف أ وقطع في هـ وقطع الدائرة في و. أثبت أن: الشكل ب ء هـ و رباعي دائري.

البرهان: أ ء هـ، أ جـ هـ فيهما أ هـ ضلع مشترك

ء أ هـ جـ أ هـ

أ ء = أ جـ

أ ء هـ أ جـ هـ

ء أ هـ أ جـ هـ (١)

أ جـ ب أ و ب على قاعدة واحدة (٢)

‌أ ء هـ أ و ب

الشكل ب ء هـ و رباعي دائري.