الدرس الثاني: العلاقة بين الزاويتين المحيطية والمركزية المشتركتين في القوس

١) في كل من الأشكال التالية، م دائرة، ادرس الشكل ثم أكمل:

أ)

ق ($\angle$ أ م ء) = ....

ق ($\angle$ أ م ء) = ٨٠°

ب)

ق ($\angle$ ب ء م) = .....

ق ($\angle$ ب ء م) = ٢٠°

جـ)

ق ($\angle$ جـ أ م) = .....

ق ($\angle$ جـ أ م) = ٢٠°

د)

ق ($\angle$ جـ أ ء) = ......

ق ($\angle$ جـ أ ء) = ١١٠°

هـ)

ق ($\angle$ جـ أ هـ) = .....

ق ($\angle$ جـ أ هـ) = ٩٠ - ٦٥ = ٢٥°

و)

ق ($\angle$ ب أ جـ) = .....

ق ($\angle$ ب أ جـ) = ٣٠°

٢) في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$ وتر في الدائرة م، $\overline{\mathrm{جـ} م}$ // $\overline{أ ب}$، $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ $\cap$ $\overline{أ م}$ = {هـ}، أثبت أن: ب هـ > أ هـ.

البرهان: $\because$ $\angle$ أ م جـ المحيطية، $\angle$ أ م جـ المركزية مشتركتان في $\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ $\angle$ أ ب جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ أ م جـ) (١)

$\because$ $\overline{\mathrm{جـ} م}$ // $\overline{أ ب}$

$\therefore$ ق ($\angle$ ب أ م) = ق ($\angle$ أ م جـ) (٢) بالتبادل

من ١) و ٢)

$\therefore$ ق ($\angle$ ب أ هـ) > ق ($\angle$ أ ب هـ)

في المثلث أ ب هـ

$\therefore$ ب هـ > أ هـ

٣) في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$، $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ وتران في الدائرة، $\overline{أ ب}$ $\cap$ $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ = {هـ} ق ($\angle$ ء هـ ب) = ١١٠°، ق ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$) = ١٠٠°. أوجد: ق ($\angle$ ء جـ ب)

البرهان $\because$ $\overline{أ ب}$ $\cap$ $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ = {هـ} (وتران متقاطعان داخل دائرة)

$\therefore$ ق ($\angle$ ب هـ ء) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ [ق ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$) + ق ($\stackrel{⏜}{ب ء}$)]

$\therefore$ ١١٠° = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ [١٠٠ + ق ($\stackrel{⏜}{ب ء}$)] بالضرب ٢

$\therefore$ ١١٠ + ق ($\stackrel{⏜}{ب ء}$) = ٢٢٠

ق ($\stackrel{⏜}{ب ء}$) = ٢٢٠ - ١٠٠ = ١٢٠°

$\because$ $\angle$ ب جـ ء زاوية محيطية تحصر القوس $\stackrel{⏜}{ب ء}$

$\therefore$ ق ($\angle$ ب جـ ء) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\stackrel{⏜}{ب ء}$)

$\therefore$ ($\angle$ ب جـ ء) = ٦٠°

٤) في الشكل المقابل: $\underset{\mathrm{جـ} ب}{\leftarrow }$ $\cap$ $\underset{\mathrm{هـ} ء}{\leftarrow }$ = {أ}، $\overline{ب \mathrm{هـ}}$ $\cap$ $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ = {و}، فإذا كان: ق ($\angle$ أ) = ٣٠°، ق ($\stackrel{⏜}{ب ء}$) = ٤٤°، ق ($\angle$ ء جـ هـ) = ٤٨°

أوجد:

أ) ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$)

$\because$ ق ($\angle$ أ) = [ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$) - ق ($\stackrel{⏜}{ب ء}$)]

$\therefore$ ٣٠° = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ [ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$) - ٤٤] بالضرب ٢

ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$) - ٤٤ = ٦٠

ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}$) = ١٠٤°

ب) ق ($\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$)

$\because$ ق ($\angle$ ء جـ هـ) = ٤٨°

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{ء \mathrm{هـ}}$) = ٢ ق ($\angle$ ء جـ هـ) = ٢ × ٤٨ = ٩٦° (زاوية محيطية تحصر القوس $\stackrel{⏜}{ء \mathrm{هـ}}$)

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$) = ٣٦٠ - (٤٤ + ٦ + ١٠٤)

ق ($\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$) = ١١٦°

٥) $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ وتران في دائرة، س، ص منتصفا $\stackrel{⏜}{أ ب}$، $\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$ على الترتيب، رسمت $\overline{س ص}$ فقطعت $\overline{أ ب}$ في ء، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ في هـ أثبت أن: أ ء = أ هـ

$\because$ س منتصف $\stackrel{⏜}{أ ب}$

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{أ س}$) = ق ($\stackrel{⏜}{ب س}$) (١)

$\because$ ص منتصف $\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{أ ص}$) = ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ص}$) (٢)

$\because$ $\overline{أ ب}$، $\overline{س ص}$ وتران متقاطعان داخل الدائرة في النقطة ء

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ء ص) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ [ق ($\stackrel{⏜}{أ ص}$) + ق ($\stackrel{⏜}{ب س}$)] (٣)

$\because$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}، \overline{س ص}$ وتران متقاطعان داخل الدائرة في النقطة هـ

$\therefore$ ق ($\angle$ أ هـ س) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ [ق ($\stackrel{⏜}{أ س}$) + ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{جـ} ص}$)] (٤)

من ١) و ٢) و ٣) و ٤)

ق ($\angle$ أ ء ص) = ق ($\angle$ أ هـ س)

$\therefore$ $△$ أ ء هـ متساوي الساقين.

$\therefore$ $△$ أ ء = أ هـ