الدرس الرابع: الشكل الرباعي الدائري

١) في الشكل المقابل: أ ب جـ مثلث فيه أ ب = أ جـ، $\underset{ب س}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ب ويقطع $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ في س، $\underset{ب ص}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ جـ ويقطع $\overline{أ ب}$ في ص أثبت أن:

أولاً: ب جـ س ص رباعي دائري.

$\because$ أ ب جـ أ ب = أ جـ

$\therefore$ ق ($\angle$ ب) = ق ($\angle$ جـ)

$\because$ $\underset{ب س}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ب، $\underset{\mathrm{جـ} ص}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ جـ

$\therefore$$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ ب) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ جـ)

$\because$ ق $\angle$ ١ = ق $\angle$ ٤ مرسومتان على $\overline{ص س}$ وفي الجهة واحدة منها

$\therefore$ الشكل ص ب جـ س رباعي دائري

ثانياً: $\overleftrightarrow{س ص}$ // $\overleftrightarrow{ب \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ ق $\angle$ ٢ = ق $\angle$ ٥ مرسومتان على $\overline{س \mathrm{جـ}}$

$\because$ ق $\angle$ ٢ = ق $\angle$ ٣

$\therefore$ ق $\angle$ ٢ = ق $\angle$ ٥ وهما في وضع تبادل.

$\therefore$ $\overline{س ص}$ // $\overline{ب \mathrm{جـ}}$

٢) في الشكل المقابل: أ ب جـ ء متوازي أضلاع، هـ $\in$ $\underset{\mathrm{جـ} ء}{\leftarrow }$ حيث ب هـ = أ ء أثبت أن: الشكل أ ب ء هـ رباعي دائر.

$\because$ أ ب جـ ء $▱$ $\therefore$ ق $\angle$ ١ = ق $\angle$ ٢

$\therefore$ أ ء = ب جـ

أ ء = ب هـ

ب جـ = ب هـ

$\therefore$ ق $\angle$ ٣ = ق $\angle$ ٢

$\therefore$ ق $\angle$ ١ = ق $\angle$ ٣ مرسومتان على $\overline{ب ء}$ وفي جهة واحدة منها.

$\therefore$ أ، ب، ء هـ رباعي دائري

٣) في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$ قطر في الدائرة م، ء $\in$ $\underset{أ ب}{\leftarrow }$، ء $\notin$ $\overline{أ ب}$، رسم $\underset{ء \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ $\perp$ $\underset{أ ب}{\leftarrow }$، جـ $\in$ $\stackrel{⏜}{أ ب}$، $\underset{\mathrm{جـ} ب}{\leftarrow }$ $\cap$ $\underset{ء \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ = {هـ} أثبت أن: الشكل أ جـ ء هـ رباعي دائري.

$\because$ $\overline{أ ب}$ قطر في الدائرة م

$\therefore$ ق ($\angle$ أ جـ ب) = ٩٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ أ جـ ب) = ٩٠° مرسومتان على $\overline{أ \mathrm{هـ}}$ وفي جهة واحدة منها

$\therefore$ الشكل أ جـ ء هـ رباعي دائري.

٤) في الشكل المقابل: دائرة مركزها م، س، ص منتصفا $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ على الترتيب. أثبت أن:

أولاً: الشكل أ س ص م رباعي دائري.

$\because$ س منتصف $\overline{أ ب}$

$\therefore$ $\overline{م س}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$

$\because$ ص منتصف $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ (١)

ق ($\angle$ أ س م) = ق ($\angle$ أ ص م) = ٩٠° (٢)

$\therefore$ أ س ص م رباعي دائري

ثانياً: ق ($\angle$ م س ص) = ق ($\angle$ م جـ ص)

$\therefore$ ق ($\angle$ م أ ص) = ق ($\angle$ م س ص) مرسومتان على $\overline{م ص}$

م أ = أ جـ = نق

$\therefore$ ق ($\angle$ م س ص) = ق ($\angle$ م جـ ص)

ثالثاً: $\overline{أ م}$ قطر في الدائرة المارة بالنقط أ، س، ص، م.

$\because$ ق ($\angle$ أ ص م) = ٩٠°

$\therefore$ $\overline{أ م}$ قطر في الدائرة المارة بالنقطة أ

٥) أ ب جـ ء مربع، $\underset{أ س}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ب أ جـ ويقطع $\underset{ب ء}{\leftarrow }$ في س، $\underset{ء ص}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ جـ ء ب ويقطع $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ في ص. أثبت أن:

أولاً: الشكل أ س ص ء رباعي دائري.

$\because$ أ ب جـ ء مربع.

$\therefore$ ق ($\angle$ ب أ جـ) = ق ($\angle$ ب ء جـ)

$\underset{أ س}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ب أ جـ.

$\underset{ء ص}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ ب ء جـ

$\therefore$ ق ($\angle$ س أ ص) = ق ($\angle$ س ء ص) مرسومتان على $\overline{س ص}$

$\therefore$ الشكل أ س ص ء رباعي دائري.

ثانياً: ق ($\angle$ أ ص س) = ٤٥°

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ص س) = ق ($\angle$ أ ء س)

$\because$ $\overline{ب ء}$ قطر المربع

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ء ب) = ٤٥°

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ء س) = ق ($\angle$ أ ص س) = ٤٥°

٦) أ ب جـ مثلث مرسوم داخل دائرة، س $\in$ $\stackrel{⏜}{أ ب}$، ص $\in$ $\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$ حيث ق ($\stackrel{⏜}{أ س}$) = ق ($\stackrel{⏜}{أ ص}$)، $\overline{\mathrm{جـ} س}$ $\cap$ $\overline{أ ب}$ = {ء}، $\overline{ب ص}$ $\cap$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ = {هـ}. أثبت أن:

أولاً: الشكل ب جـ هـ ء رباعي دائري.

$\because$ ق ($\stackrel{⏜}{أ س}$) = ق ($\stackrel{⏜}{أ ص}$)

$\therefore$ ق ($\angle$ ١) = ق ($\angle$ ٢)

$\therefore$ الشكل ب جـ هـ ء رباعي دائري

ثانياً: ق ($\angle$ ء هـ ب) = ق ($\angle$ س أ ب).

$\therefore$ ق ($\angle$ ب هـ ء) = ق ($\angle$ ب جـ ء) مرسومتان على $\overline{ب ء}$

$\because$ ق ($\angle$ س أ ب) = ق ($\angle$ ب جـ س) محيطيتان مشتركتان $\overline{س ب}$

$\therefore$ ق ($\angle$ ء هـ ب) = ق ($\angle$ س أ ب)