الدرس السادس: العلاقة بين مماسات الدائرة

أولاً:

١) في كل من الأشكال الآتية، $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ قطعتان مماستان للدائرة م. أوجد قيمة الرمز المستخدم في القياس:

أ)

أ ب = أ جـ

س = $\frac{\mathrm{١٨٠} - \mathrm{٥٠}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١٣٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٦٥°

ص = ٩٠ - ٦٥ = ٢٥°

ع = ١٨٠ - ٥٠ = ١٣٠°

ب)

س = ٣٥°

ص = ٩٠ - ٣٥ = ٥٥°

ع = ٥٥°

جـ)

أ ب = أ جـ

جـ ب = أ جـ

أ ب = جـ ب = أ جـ

ص = ٦٠°

س = ٣٠°

ع = ٦٠°

٢) في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ قطعتان مماستان للدائرة م، $\overline{أ ب}$ // $\overline{\mathrm{جـ} ء}$، ق ($\angle$ ب م ء) = ١٣٠°.

أ) أثبت أن: $\underset{\mathrm{جـ} ب}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ جـ ء

$\because$ $\angle$ ب جـ ء المحيطية، $\angle$ ب م ء المركزية مشتركتان في $\stackrel{⏜}{ب ء}$

$\therefore$ ق ($\angle$ ب جـ ء ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١٣٠ = ٦٥°

ب) أوجد ق ($\angle$ أ).

$\because$ أ ب // جـ ء، $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ قاطع لهما

$\therefore$ ق ($\angle$ ء جـ ب) = ق ($\angle$ أ ب جـ) = ٦٥° بالتبادل. (١)

$\because$ أ ب = أ جـ

$\therefore$ ق ($\angle$ أ جـ ب) = ق ($\angle$ أ ب جـ) = ٦٥° (٢)

من ١) و ٢) $\underset{\mathrm{جـ} ب}{\leftarrow }$ ينصف $\angle$ أ جـ ء

ق ($\angle$ أ) = ١٨٠ - (٦٥ + ٦٥) = ٥٠°

٣) في الشكل المقابل: م، ن دائرتان متماستان من الخارج في أ، المستقيم ل مماس مشترك لهما عند أ، جـ $\in$ ل، رسم من جـ مماسان آخران للدائرتين م، ن يمسانهما في ء، هـ على الترتيب، $\underset{\mathrm{جـ} م}{\leftarrow }$ $\cap$ $\overline{ء أ}$ = {س}، $\overline{\mathrm{جـ} ن}$ $\cap$ $\overline{أ \mathrm{هـ}}$ = {ص}

أ) ما عدد الأشكال الرباعية الدائرية في الشكل المقابل؟ وما هي؟

عدد الأشكال ٢.

م ء جـ أ رباعي دائري

جـ أ ن هـ رباعي دائري

ب) أثبت أن: جـ ء = جـ أ = جـ هـ، وفسر ذلك هندسياً.

$\therefore$ جـ ء = جـ أ (١)

$\because$$\underset{\mathrm{جـ} أ}{\leftarrow }$، $\underset{\mathrm{جـ} \mathrm{هـ}}{\leftarrow }$ متماستان للدائرة عند أ، هـ

$\therefore$ جـ أ = جـ هـ (٢)

من ١) و ٢) جـ ء = جـ أ = جـ هـ

٤) مستعيناً بمعطيات الشكل. أوجد قيمة الرمز المستخدم في القياس:

أ )

أ م = $\sqrt{{\left(\mathrm{١٢}\right)}^{\mathrm{٢}} + {\left(\mathrm{٥}\right)}^{\mathrm{٢}}}=\sqrt{\mathrm{١٤٤} + \mathrm{٢٥}}=\sqrt{\mathrm{١٦٩}}$ = ١٣

ص = ١٣ - ٥ = ٨ سم.

ب)

أ ب = أ جـ

٢س - ٣ = ١٥

٢س = ١٨

س = ٩

ص - ٢ = ١٥

ص = ١٥ + ٢ = ١٧

جـ)

أ و = أ ء = ٢ سم $\Leftarrow$ و جـ = ص = ٣ سم.

و جـ = هـ جـ = ٣ سم $\Leftarrow$ جـ هـ = هـ ب = س = ٤ سم.

ثانياً:

١) في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ قطعتان مماستان للدائرة م. ق ($\angle$ ب أ م) = ٢٥°، هـ $\in$ $\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$ الأكبر.

أوجد:

أولاً: ق ($\angle$ أ جـ ب)

$\because$ $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، مما ستان للدائرة م عند ب، جـ

$\therefore$ أ ب = أ جـ، $\overline{م أ}$ ينصف $\angle$ أ.

$\therefore$ ق ($\angle$ أ) = ٥٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ أ جـ ب) = $\frac{\mathrm{١٨٠} - \mathrm{٥٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٦٥°

ثانياً: ق ($\angle$ ب هـ جـ)

$\overline{أ \mathrm{جـ}}$ $\perp$ $\overline{م \mathrm{جـ}}$، $\overline{أ ب}$ $\perp$ $\overline{م ب}$

$\therefore$ أ جـ م ب رباعي دائري

$\therefore$ ق ($\angle$جـ م ب) = ١٣٠°

$\therefore$ ق ($\angle$جـ هـ ب) المحيطية = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$جـ م ب) = ٦٥°

٢) في كل من الأشكال الآتية: أوجد قيمة كل من س، ص بالسنتمترات.

أ)

أ ب = أ جـ

و ء = و جـ = ٤ سم.

س = ٤سم

أ ب = ١٣ سم

ص = ١٣ - ١٠ = ٣ سم.

ب)

هـ ب = هـ ء،

س + ٣ = ٧

س = ٧ - ٣ = ٤

هـ أ = هـ جـ = ١٢ سم.

ص - ٢ = ٥

ص = ٥ + ٢ = ٧

٣) في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ قطعتان مماستان للدائرة م، $\overline{ب ء}$ قطر في الدائرة. اثبت أن: $\overline{أ م}$ // $\overline{\mathrm{جـ} ء}$

$\because$ $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ مماسان للدائرة م. عند ب، جـ

$\therefore$ $\overline{أ م}\perp \overline{ب \mathrm{جـ}}$ وينصف

$\therefore$ ق ($\angle$ جـ و أ) = ٩٠°

$\because$$\overline{ب ء}$ قطر في الدائرة م

$\therefore$ ق ($\angle$ ء جـ و) = ٩٠°

ق ($\angle$ ء جـ و) = ق ($\angle$ جـ و أ) = ٩٠° وهما في وضع تبادل

$\therefore$ $\overline{أ م}$ // $\overline{\mathrm{جـ} ء}$

٤) م، ن دائرتان متماستان من الخارج في ء، $\overleftrightarrow{أ ب}$ مماس مشترك لهما عند أ، ب، $\underset{ء \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ مماس مشترك للدائرتين عند ء. حيث $\underset{ء \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ $\cap$ $\overleftrightarrow{أ ب}$ = {جـ}.

أثبت أن:

أولاً: جـ منتصف $\overline{أ ب}$.

$\because$ $\overline{\mathrm{جـ} أ}$، $\overline{\mathrm{جـ} ء}$ مماستان للدائرة م عند أ، ء

$\therefore$ جـ أ = جـ ء (١)

$\because$ $\overline{\mathrm{جـ} ب}،\overline{\mathrm{جـ} ء}$ مماستان للدائرة ن عند ب، ء

$\therefore$ جـ ب = جـ ء (٢)

$\therefore$ جـ أ = جـ ب

$\therefore$ جـ منتصف $\overline{أ ب}$

ثانياً: $\overline{أ ء}$ $\perp$ $\overline{ب ء}$

في $△$ أ ء ب

$\because$ $\overline{ء \mathrm{جـ}}$ متوسط.

$\because$ ء جـ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ أ ب

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ء ب) = ٩٠°

$\therefore$ $\overline{أ ء}$ $\perp$ $\overline{ب ء}$

٥) $\overline{أ ب}$ قطر في الدائرة م، أ ب = ١٠ سم، جـ $\in$ الدائرة م، رسم مماس للدائرة عند جـ فقطع المماسين المرسومين لهنا عند أ، ب في س، ص على الترتيب حيث س ص = ١٣ سم

أ) أثبت أن: $\overline{س م}$ $\perp$ $\overline{ص م}$

$\because$ $\overline{س م}$، $\overline{س \mathrm{جـ}}$ مماستان للدائرة م، عند أ، جـ

$\therefore$ $\overline{س م}$ ينصف $\angle$ س

$\because$ $\overline{ص \mathrm{جـ}}$، $\overline{ص ب}$ مماستان للدائرة م، عند جـ، ب

$\therefore$ $\overline{ص م}$ ينصف $\angle$ ص

$\because$ $\overline{أ س}$، $\overline{ب ص}$ مماستان للدائرة م، عند أ، ب

$\therefore$ $\overline{أ س}\perp \overline{أ م}$، $\overline{ص ب}\perp \overline{م ب}$

$\because$ س أ ب ص شكل رباعي

$\therefore$ ق ($\angle$ س) + ق ($\angle$ ص) = ١٨٠°

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ س) + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ ص) = ٩٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ م س ص) + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ م ص س) = ٩٠°

ق ($\angle$ س م ص) = ٩٠°

$\therefore$ $\overline{س م}$ $\perp$ $\overline{ص م}$

ب) مساحة الشكل أ س ص ب.

س أ = س جـ، ص جـ = ص ب

الشكل أ س ص ب شبه منحرف قائم

مساحته = $\left(\frac{{\bcancel{س أ }}^{س \mathrm{جـ}}+ {\bcancel{ص ب}}^{ص \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢}}\right)$ × ١٠

= $\frac{س ص}{\mathrm{٢}}$ × ١٠

= $\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{٢}}$ × ١٠ = ٦٥سم^٢

٦) الشكل المقابل: $\overleftrightarrow{أ ب}$ مماس مشترك للدائرتين م، ن من الخارج عند أ، ب على الترتيب، طولا نصفي قطريهما ١٧سم، ٨ سم على الترتيب وكان م ن = ٤١ سم. أوجد طول $\overline{أ ب}$

العمل نرسم $\overline{ن س}\perp \overline{م أ}$

$\because$ $\overline{ن س}\perp \overline{م أ}$، ق ($\angle$ أ) = ق ($\angle$ ب) = ٩٠°

$\therefore$ الشكل أ س ن ب مستطيل

أ س = ن ب = ٨ سم.

$\therefore$ م س = ١٧ - ٨ = ٩ سم.

في $△$ م س ن القائم في س

ن س = أ ب = $\sqrt{{\left(\mathrm{٤١}\right)}^{\mathrm{٢}} - {\left(\mathrm{٩}\right)}^{\mathrm{٢}}}$ = ٤٠ سم

أ ب = ٤٠ سم.