نماذج اختبارات الجبر (النموذج الأول)

أجب عن الأسئلة الآتية:

(يسمح باستخدام الآلة الحاسبة)

السؤال الأول: اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة:

١) مجال الدالة ن (س) = $\frac{س}{س - \mathrm{١}}$ هو ....

أ) ح - {صفر}

ب) ح - {١}

جـ) ح - {صفر، ١}

د) ح - {-١}

• س - ١ = ٠

س = ١

٢) عدد حلول المعادلتين: س + ص = ٢، ص + س = ٣ معا هو ...

أ) صفر

ب) ١

جـ) ٢

د) ٣

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١}}\ne \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

٣) إذا كان س $\ne$ صفر فإن $\frac{\mathrm{٥}س}{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١}}$ ÷ $\frac{س}{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١}}$ = .....

أ) -٥

ب) -١

جـ) ١

د) ٥

$\frac{\mathrm{٥} \bcancel{س}}{\bcancel{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١}}}$ × $\frac{\bcancel{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{١}}}{\bcancel{س}}$ = ٥

٤) إذا كانت النسبة بين محيطي مربعين ١ : ٢ فإن النسبة بين مساحتيهما = ......

أ) ١ : ٢

ب) ٢ : ١

جـ) ١ : ٤

د) ٤ : ١

الضلعين = ١ س : ٢ س

المساحتين = س^٢ : ٤س^٢

= ١ : ٤

٥) معادلة محور تماثل منحني الدالة د حيث د (س) = س^٢ - ٤ هي ....

أ) س = - ٤

ب) س = صفر

جـ) ص = صفر

د) ص = - ٤

أ = ١، ب = ٠

س = $\frac{- ب}{\mathrm{٢} أ}$ = $\frac{\mathrm{٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٠

٦) إذا كانت أ $\subset$ ف لتجربة عشوائية ما وكان ل (أَ) = ٢ ل (أ) فإن ب (أ) = .....

أ) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

ب) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

جـ) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

د) ١

ل (أ) + ل (أَ) = ١

ل (أ) + ٢ ل (أ) = ١

٣ ل (أ) = ١

ل (أ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

السؤال الثاني:

أ) باستخدام القانون العام: أوجد مجموعة حل المعادلة الآتية في ح.

٢س^٢ - ٥س + ١ = صفر ((مقرباً الناتج لرقم عشري واحد))

أ = ٢، ب = -٥، جـ = ١

س = $\frac{- ب \pm \sqrt{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤} أ \mathrm{جـ}}}{\mathrm{٢} أ}$

س = $\frac{- (-\mathrm{٥}) \pm \sqrt{\mathrm{٢٥} - \mathrm{٤} \times \mathrm{٢} \times \mathrm{١}}}{\mathrm{٢} \times \mathrm{٢}}$ = $\frac{\mathrm{٥} \pm \sqrt{\mathrm{٢٥} - \mathrm{٨}}}{\mathrm{٤}}$ = $\frac{\mathrm{٥} \pm \sqrt{\mathrm{١٧}}}{\mathrm{٤}}$

س_١ = $\frac{\mathrm{٥} +\sqrt{\mathrm{١٧}}}{\mathrm{٤}}$ = ٢,٣

س_٢ = $\frac{\mathrm{٥} -\sqrt{\mathrm{١٧}}}{\mathrm{٤}}$ = ٠,٢

م. ح. = {٢,٣، ٠,٢}

ب) أوجد ن (س) في أبسط صورة مبيناً مجالها حيث: ن (س) = $\frac{س - \mathrm{٣}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٧}س + \mathrm{١٢}}-\frac{\mathrm{٤}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٤}س}$

$\frac{\bcancel{س - \mathrm{٣}}}{\bcancel{(س - \mathrm{٣})} (س - \mathrm{٤})}-\frac{\mathrm{٤}}{س (س - \mathrm{٤})}$

المجال = ح - {٣، ٤، ٠}

$\frac{\mathrm{١}}{(س - \mathrm{٤})}-\frac{\mathrm{٤}}{س (س - \mathrm{٤})}$ نوحد المقامات

$\frac{س}{س (س - \mathrm{٤})}-\frac{\mathrm{٤}}{س (س - \mathrm{٤})}$ = $\frac{\bcancel{س - \mathrm{٤}}}{س (\bcancel{س - \mathrm{٤})}}=\frac{\mathrm{١}}{س}$

السؤال الثالث:

أ) أوجد مجموعة حل المعادلتين الآتيتين:

س - ص = صفر، س^٢ + س ص + ص^٢ = ٢٧

من المعادلة الأولى س = ص نعوض في المعادلة الثانية

ص^٢ + س^٢ + ص^٢ = ٢٧

٣ص^٢ = ٢٧ (نقسم على ٣)

ص^٢ = ٩

ص = $\pm$ ٣

ص = ٣، س = ٣

ص = -٣، س = -٣

م. ح = {(٣، ٣)، (-٣، -٣)}

ب) أوجد ن (س) في أبسط صورة مبيناً مجالها حيث: ن (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٤}س + \mathrm{٣}}{{س}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٢٧}}÷\frac{س + \mathrm{٣}}{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٣}س + \mathrm{٩}}$

ثم أوجد ن (٢)، ن (-٣) إن أمكن.

ن (س) = $\frac{(س + \mathrm{٣}) (س + \mathrm{١})}{(س - \mathrm{٣}) ({س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٣}س + \mathrm{٩})}÷\frac{س + \mathrm{٣}}{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٣}س + \mathrm{٩}}$

المجال = ح - {٣، -٣}

$\frac{\bcancel{(س + \mathrm{٣})} (س + \mathrm{١})}{(س - \mathrm{٣}) (\bcancel{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٣}س + \mathrm{٩})}}\times \frac{\bcancel{{س}^{\mathrm{٢}} + \mathrm{٣}س + \mathrm{٩}}}{\bcancel{س + \mathrm{٣}}}=\frac{س + \mathrm{١}}{س - \mathrm{٣}}$

ن (٢) = $\frac{\mathrm{٢} + \mathrm{١}}{\mathrm{٢} - \mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٣}}{-\mathrm{١}}$ = - ٣

ن (-٣) = غير ممكنة

السؤال الرابع:

أ) مستطيل طوله يزيد عن عرضه بمقدار ٤سم فإذا كان محيط المستطيل ٢٨ سم أوجد مساحة المستطيل

الطول س، العرض ص

س - ص = ٤ المعادلة الأولى

المحيط = (س + ص) × ٢ = ٢٨ (نقسم على ٢)

س + ص = ١٤ المعادلة الثانية

$$\begin{gathered} س + ص = \mathrm{١٤} \\ \underline{س - ص = \mathrm{١٤} } \\ \mathrm{٢}س = \mathrm{١٨} \end{gathered}$$

س = ٩ نعوض في المعادلة الثانية

٩ + ص = ١٤

ص = ١٤ - ٩ = ٥

المساحة = ٩ × ٥ = ٤٥ سم^٢

ب) إذا كان ن(س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٢}س}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣}س + \mathrm{٢}}$ فأوجد:

(١) ن^-١ (س) في أبسط صورة وعين مجالها

ن^-١ (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣}س + \mathrm{٢}}{{س}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٢}س}=\frac{(س - \mathrm{٢}) (س - \mathrm{١})}{س (س - \mathrm{٢})}$

مجال = ح - {٠، ٢، ١}

= $\frac{(\bcancel{س - \mathrm{٢})} (س - \mathrm{١})}{س \bcancel{(س - \mathrm{٢})}}=\frac{س - \mathrm{١}}{س}$

(٢) قيمة س إذا كان ن^-١ (س) = ٣

$\frac{س - \mathrm{١}}{س}$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١}}$

٣س = س - ١

٣س - س = -١

٢س = -١

س = $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

السؤال الخامس:

أ) إذا كان ن_١ (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٢}}}{{س}^{\mathrm{٣}} - {س}^{\mathrm{٢}}}$، ن_٢ (س) = $\frac{{س}^{\mathrm{٣}} + {س}^{\mathrm{٢}} + س}{{س}^{\mathrm{٤}} - س}$

فأثبت أن: ن_١ (س) = ن_٢ (س)

ن_١ (س) = $\frac{\bcancel{{س}^{\mathrm{٢}}}}{\bcancel{{س}^{\mathrm{٢}}} (س - \mathrm{١})}=\frac{\mathrm{١}}{س - \mathrm{١}}$

المجال = ح - {٠، ١}

ن_٢ (س) = $\frac{س ({س}^{\mathrm{٢}} + س + \mathrm{١})}{س ({س}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{١})}=\frac{\bcancel{س} \bcancel{({س}^{\mathrm{٢}} + س + \mathrm{١})}}{\bcancel{س} (س - \mathrm{١}) (\bcancel{{س}^{\mathrm{٢}} + س + \mathrm{١})}}$

المجال = ح - {٠، ١}

ن_٢ (س) = $\frac{\mathrm{١}}{س - \mathrm{١}}$

$\therefore$ ن_١ (س) = ن_٢ (س)

ب) في الشكل المقابل: إذا كان أ، ب حدثين من فضاء عينة ف لتجربة عشوائية

فأوجد:

(١) ل (أ $\cap$ ب)

ل (أ $\cap$ ب) = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

أ $\cap$ ب = {٢، ٣}

(٢) ل (أ - ب)

ل (أ - ب) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$

أ - ب = {٥}

(٣) احتمال عدم وقوع الحدث أ

ل (أَ) = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

أَ = {١، ٤، ٦}