نماذج اختبارات الهندسة (النموذج الأول)

أجب عن الأسئلة الآتية:

((يسمح باستخدام الآلة الحاسبة))

السؤال الأول: اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة:

١) الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة

أ) حادة

ب) منفرجة

جـ) مستقيمة

د) قائمة

٢) في الشكل المقابل : دائرة مركزها م. إذا كانت ق ($\stackrel{⏜}{أ ب}$) = ٥٠° فإن ق ($\angle$ أ ء ب) = .....°

أ) ٢٥

ب) ٥٠

جـ) ١٠٠

د) ١٥٠

٣) عدد محاور التماثل لأي دائرة هو .....

أ) صفر

ب) ١

جـ) ٢

د) عدد لا نهائي

٤) في الشكل المقابل: إذا كان ق ($\angle$ أ) = ١٢٠° فإن ق ($\angle$ جـ) = ....°

أ) ٦٠

ب) ٩٠

جـ) ١٢٠

د) ١٨٠

١٨٠ - ١٢٠ = ٦٠°

٥) إذا كان المستقيم مماساً للدائرة التي قطرها ٨ سم فإنه يبعد عن مركزها بمقدار يساوي ..... سم

أ) ٣

ب) ٤

جـ) ٦

د) ٨

نق = ٨ ÷ ٢ = ٤سم

٦) سطح الدائرة م $\cap$ سطح الدائرة ن = {أ} وطول نصف قطر أحدهما ٣ سم، م ن = ٨ سم فإن طول نصف قطر الدائرة الأخرى = .... سم

أ) ٥

ب) ٦

جـ) ١١

د) ١٦

٨ = ٣ + نق^٢

م ن = نق_١ + نق_٢

السؤال الثاني:

أ) أكمل مع البرهان: إذا كان الشكل الرباعي دائرياً فإن كل زاويتين متقابلتين ....

متكاملتان.

المعطيات: أ ب جـ ء شكل رباعي مرسوم داخل دائرة

المطلوب: إثبات أن

ق ($\angle$ أ) + ق ($\angle$ جـ) = ١٨٠°

ق ($\angle$ ب) + ق ($\angle$ ء) = ١٨٠°

البرهان:

$\because$ ق ($\angle$ أ) المحيطية = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ ب جـ ء) (١)

$\because$ ق ($\angle$ جـ) المحيطية = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ ب أ ء) (٢)

ق ($\angle$ أ) + ق ($\angle$ جـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ ب جـ ء) + $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ ب أ ء)

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ (ق ($\angle$ ب جـ ء) + ق ($\angle$ ب أ ء)

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٣٦٠ = ١٨٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ ب) + ق ($\angle$ ء) = ١٨٠°

ب) في الشكل المقابل أ ب جـ مثلث مرسوم داخل دائرة $\overleftrightarrow{ب ء}$ مماس للدائرة عند ب، س $\in$ $\overline{أ ب}$، ص $\in$ $\overline{ب \mathrm{جـ}}$ حيث $\overline{س ص}$ // $\overleftrightarrow{ب ء}$ أثبت أن: الشكل أ س ص جـ رباعي دائري.

$\because$ $\overleftrightarrow{ب ء}$ مماس

$\therefore$ ق ($\angle$ ء ب أ) المماسية = ق ($\angle$ جـ) المحيطية (١)

$\because$ $\overline{س ص}$ // $\overleftrightarrow{ب ء}$ ، $\overline{ب س}$ قاطع لهما

$\therefore$ ق ($\angle$ ء ب س) = ق ($\angle$ ب س ص) بالتبادل (٢)

من ١) و ٢)

ق ($\angle$ ب س ص) = ق ($\angle$ جـ)

$\therefore$ الشكل أ س ص جـ رباعي دائري.

السؤال الثالث:

أ) في الشكل المقابل: دائرتان متماستان في نقطة ب، $\underset{أ ب}{\leftarrow }$ مماس مشترك للدائرتين، $\underset{أ \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ مماس للصغرى، $\underset{أ ء}{\leftarrow }$ مماس للكبرى، أ جـ = ١٥ سم، أ ب = (٢س - ٣) سم أ ء = (ص - ٢) سم أوجد كلا من س، ص

• في الدائرة الصغرى

$\because$ $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ مماسان

$\therefore$ أ ب = أ جـ

٢س - ٣ = ١٥

٢س = ١٥ + ٣

٢س = ١٨

س = ٩

• الدائرة الكبرى

$\because$ $\overline{أ ب}$، $\overline{أ ء}$ مماسان

$\therefore$ أ ب = أ ء

ص - ٢ = ١٥

ص = ١٥ + ٢

ص = ١٧

ب) في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$ قطر في دائرة م، جـ $\in$ للدائرة. ق ($\angle$ جـ أ ب) = ٣٠°، ء منتصف $\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$، $\overline{ء ب}$ $\cap$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ = {هـ}

(١) أوجد: ق ($\angle$ ب ء جـ)، ق ($\stackrel{⏜}{أ ء}$)

• $\because$ ($\angle$ ب ء جـ)، ($\angle$ ب أ جـ) محيطيتان مشتركتان في ($\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$)

$\therefore$ ق ($\angle$ ب ء جـ) = ق ($\angle$ ب أ جـ) = ٣٠°

• $\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$) = ٢ × ٣٠ = ٦٠°

$\because$ $\overline{أ ب}$ قطر في الدائرة م

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{أ ء ب}$) = ١٨٠°

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{أ \mathrm{جـ}}$) = ١٨٠ - ٦٠ = ١٢٠° $\Leftarrow$ ق ($\stackrel{⏜}{أ ء}$) = ق ($\stackrel{⏜}{ء \mathrm{جـ}}$) = $\frac{\mathrm{١٢٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٦٠°

(٢) أثبت أن: $\overline{أ ب}$ // $\overline{\mathrm{جـ} ء}$

ق ($\angle$ أ جـ ء) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\stackrel{⏜}{أ ء}$) = ٣٠°

ق ($\angle$ أ) = ق ($\angle$ جـ) = ٣٠° وهما في وضع تبادل

$\therefore \overline{أ ب}$ // $\overline{\mathrm{جـ} ء}$

السؤال الرابع:

أ) في الشكل المقابل: $\overline{أ ب}$، $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ وتران متساويان في الطول في الدائرة م س منتصف $\overline{أ ب}$، ص منتصف $\overline{أ \mathrm{جـ}}$، ق ($\angle$ جـ أ ب) = ٧٠°

(١) أوجد ق ($\angle$ ء م هـ)

$\because$ س منتصف $\overline{أ ب}$

$\therefore$ $\overline{م س}\perp \overline{أ ب}$

$\therefore$ ق ($\angle$ أ س م) = ٩٠°

$\because$ ص منتصف $\overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ $\overline{م ص}\perp \overline{أ \mathrm{جـ}}$

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ص م) = ٩٠°

مجموع قياسات زوايا الشكل الرباعي = ٣٦٠°

$\therefore$ ق ($\angle$ ء م هـ) = ٣٦٠ - (٠ + ٩٠ + ٧٠) = ١١٠°

(٢) أثبت أن س ء = ص هـ

$\because$ أ ب = أ جـ

م س = م ص (١)

$\because$$\overline{م \mathrm{هـ}}، \overline{م ء}$ أنصاف أقطار

$\therefore$ م هـ = م ء (٢)

بالطرح

$\therefore$ س ء = ص هـ

ب) في الشكل المقابل: ق ($\angle$ أ) = ٣٠°، ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{هـ} \mathrm{جـ}}$) = ١٢٠°، ق ($\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$) = ق ($\stackrel{⏜}{ء \mathrm{هـ}}$)

(١) أوجد ق ($\stackrel{⏜}{ب ء}$) الأصغر

ق ($\angle$ أ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ [ق ($\stackrel{⏜}{\mathrm{هـ} \mathrm{جـ}}$) - ق ($\stackrel{⏜}{ء ب}$)]

٣٠ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ [١٢٠ - ق ($\stackrel{⏜}{ء ب}$)]

٦٠ = ١٢٠ - ق ($\stackrel{⏜}{ء ب}$

ق ($\stackrel{⏜}{ء ب}$) = ١٢٠ - ٦٠ = ٦٠°

(٢) أثبت أن: أ ب = أ ء

$\because$ قياس الدائرة = ٣٦٠°

$\therefore$ ق ($\stackrel{⏜}{ء \mathrm{هـ}}$) = ق ($\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$) = $\frac{\mathrm{٣٦٠} - \mathrm{١٨٠}}{\mathrm{٢}}$ = ٩٠°

$\because$ ق ($\stackrel{⏜}{ء \mathrm{هـ}}$) = ق ($\stackrel{⏜}{ب \mathrm{جـ}}$)

$\therefore$ ء هـ = ب جـ (١)

ق ($\angle$ هـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\stackrel{⏜}{ء ب \mathrm{جـ}}$)

ق ($\angle$ هـ) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١٥٠ = ٧٥°

ق ($\angle$ جـ) = ١٨٠ - (٧٥ + ٣٠) = ٧٥°

$\because$ ق ($\angle$ جـ) = ق ($\angle$ هـ)

$\therefore$ أ جـ = أ هـ (٢)

من ١) و ٢) بالطرح

$\therefore$ أ ب = أ ء

السؤال الخامس:

أ) في الشكل المقابل: $\underset{ء أ}{\leftarrow }$، $\underset{ء ب}{\leftarrow }$ مماسان للدائرة م، أ ب = أ جـ أثبت أن: $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ مماس للدائرة المارة برؤوس المثلث أ ب ء

$\because$ $\overline{ء أ}$، $\overline{ء ب}$ مماسان

$\therefore$ ء أ = ء ب

$\therefore$ ق ($\angle$ ء أ ب) = ق ($\angle$ ء ب أ) (١)

ق ($\angle$ ء ب أ) المماسية = ق ($\angle$ جـ) المحيطية (٢)

$\because$ أ ب = أ جـ

$\therefore$ ق ($\angle$ أ ب جـ) = ق ($\angle$ جـ) (٣)

$△$ أ ء ب، $△$ أ ب جـ

فيهما ق ($\angle$ ء أ ب) = ق ($\angle$ جـ)

ق ($\angle$ أ ب ء) = ق ($\angle$ أ ب جـ)

$\therefore$ ق ($\angle$ ب أ جـ) = ق ($\angle$ ء)

$\therefore$ $\overline{أ \mathrm{جـ}}$ مماس للدائرة المارة برؤوس المثلث أ ب ء

ب) في الشكل المقابل: جـ منتصف $\overline{أ ب}$، $\underset{م \mathrm{جـ}}{\leftarrow }$ $\cap$ الدائرة م = {ء}، ق ($\angle$ م أ ب) = ٢٠°، أوجد: ق ($\angle$ ب هـ ء)، ق ($\stackrel{⏜}{أ ء ب}$)

$\because$ جـ منتصف $\overline{أ ب}$

$\therefore$ $\overline{م \mathrm{جـ}}$ $\perp$ $\overline{أ ب}$

$\therefore$ ق ($\angle$ أ جـ م) = ٩٠°

في $△$ أ م جـ

ق ($\angle$ أ م جـ) = ١٨٠ - (٩٠ + ٢٠) = ٧٠°

$\because$ م أ = م ب = نق

$\therefore$ ق ($\angle$ م أ ب) = ق ($\angle$ م ب أ) = ٢٠°

ق ($\angle$ ب م ء) = ١٨٠ - (٩٠ + ٢٠) = ٧٠°

ق ($\angle$ ب هـ ء) المحيطية = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ ق ($\angle$ ب م ء) المركزية

ق ($\angle$ ب هـ ء) المحيطية = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٧٠ = ٣٥°

ق ($\angle$ أ م ب) المركزية = ق ($\angle$ أ ء ب)

ق ($\angle$ أ م ب) المركزية = ٧٠ + ٧٠ = ١٤٠°