الدرس الثالث: مساحة الدائرة

(١) احسب مساحة كل مما يأتي علماً بأن $\mathrm{\pi }$ $\simeq$ ١٤

أ)

أ م = ٧ سم.

مساحة الدائرة = $\mathrm{\pi }$ نق^٢

= $\frac{\mathrm{٢٢}}{\bcancel{\mathrm{٧}}}\times \bcancel{\mathrm{٧}}$ × ٧

= ٢٢ × ٧

= ١٥٤

ب)

أ ب = ٢١ سم

نق = $\frac{\mathrm{٢١}}{\mathrm{٢}}$ = ١٠,٥ سم.

مساحة الدائرة = $\mathrm{\pi }$ نق^٢

= ٣,١٤ × ١٠,٥ × ١٠,٥

= ٣,١٤ × ١١٠,٢٥

= ٣٤٦,٢ سم^٢

جـ)

أ م = ٣,٥ سم.

مساحة نصف الدائرة = $\frac{\mathrm{\pi } {\mathrm{نق}}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}$

= $\frac{\mathrm{١٤},\mathrm{٣} \times \mathrm{٥},\mathrm{٣} \times \mathrm{٥},\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١٤},\mathrm{٣} \times \mathrm{٢٥},\mathrm{١٢}}{\mathrm{٢}}$

= $\frac{\mathrm{٦},\mathrm{٣٨}}{\mathrm{٢}}$ = ١٩,٣ سم^٢

د)

أ م = ٧ سم.

مساحة ربع الدائرة = $\frac{\mathrm{\pi } {\mathrm{نق}}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٤}}$

= $\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{٢٢}}{\bcancel{\mathrm{٧}}}} \times \bcancel{ \mathrm{٧}} \times \mathrm{٧}}{\mathrm{٤}}$

= $\frac{\mathrm{١٥٤}}{\mathrm{٤}}$ = ٣٨,٥

(٢) دائرة قطرها ١٢ سم، احسب مساحة سطحها. ($\mathrm{\pi }$ $\simeq$ ٣,١٤)

نق = ١٢ ÷ ٢ = ٦

مساحة الدائرة = $\mathrm{\pi }$ نق^٢

= ٣,١٤ × ٦ × ٦

= ٣,١٤ × ٣٦

= ١١٣,٠٤ سم^٢

(٣) في الشكل المقابل دائرة م، نصف قطرها ٧ سم، قسمت إلى خمسة قطاعات دائرية متساوية - احسب مساحة سطح القطاع الواحد. (اعتبر $\mathrm{\pi }$ $\simeq$ $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$)

مساحة الدائرة = $\mathrm{\pi }$ نق^٢

مساحة القطاع الواحد = $\frac{\mathrm{\pi } {\mathrm{نق}}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٥}}$ = $\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{٢٢}}{\bcancel{\mathrm{٧}}}} \times \bcancel{ \mathrm{٧}} \times \mathrm{٧}}{\mathrm{٥}}$ = $\frac{\mathrm{١٥٤}}{\mathrm{٥}}$ = ٣٠,٨

(٤) دائرة محيطها ٢٤,٢ سم - احسب مساحة سطحها. (اعتبر $\mathrm{\pi }$ $\simeq$ $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$)

نق = محيط الدائرة × ٢ $\mathrm{\pi }$

نق = ٢٤,٢ ÷ ٢ × ٣,١٤

نق = ٢٤,٢ ÷ ٦,٢٨

نق = ٢٤٢٠ ÷ ٦٢٨

نق = ٣,٨٥ ≈ ٣,٩

مساحة الدائرة = $\mathrm{\pi }$ نق^٢

= ٣,١٤ × ٣,٩ × ٣,٩

= ٣,١٤ × ١٥,٢١

= ٤٧,٧٦ سم^٢

(٥) في الشكل المقابل: دائرة م مرسومة داخل مربع طول ضلعه ١٠سم. احسب مساحة الجزء المظلل بالشكل. (اعتبر $\mathrm{\pi }$ $\simeq$ ٣,١٤)

مساحة الجزء المظلل = مساحة المربع - مساحة نصف الدائرة

مساحة المربع = طول الضلع × نفسه

= ١٠ × ١٠

= ١٠٠ سم^٢

مساحة نصف الدائرة = $\frac{\mathrm{\pi } {\mathrm{نق}}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١٤},\mathrm{٣} \times \mathrm{٥} \times \mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}$ = ٣٩,٢٥ سم^٢

مساحة الجزء المظلل = ١٠٠,٠٠ - ٣٩,٢٥ = ٦٠,٧٥ سم^٢

(٦) طاولة طعام سطحها على شكل دائرة، طول قطرها ١,٥ متر، يراد تغطية سطحها بلوح زجاج مساو له تماماً، احسب التكلفة إذا كان سعر المتر المربع من الزجاج ٦٠ جنيهاً. (اعتبر $\mathrm{\pi }$ $\simeq$ $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$، أو ٣,١٤)

مساحة الدائرة = $\mathrm{\pi }$ نق^٢

= ٣,١٤ × ٠,٧٥ × ٠,٧٥

= ١,٧٦٦٢٥ سم^٢

التكلفة = ١,٧٦٦٢٥ × ٦٠ = ١٠٥,٩٨ جنيهاً.

(٧) دائرة م حيطها ٤٤ سم، احسب مساحة سطحها (اعتبر $\mathrm{\pi }$ $\simeq$ $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$)

محيط الدائرة = ٢ $\mathrm{\pi }$ نق

نق = محيط الدائرة ٢ $\mathrm{\pi }$

= ٤٤ ÷ ٢ × $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$

= ٤٤ ÷ $\frac{\mathrm{٤٤}}{\mathrm{٧}}$

= $\bcancel{\mathrm{٤٤}} \times \frac{\mathrm{٧}}{\bcancel{\mathrm{٤٤}}}$

= ٧ سم

مساحة الدائرة = $\mathrm{\pi }$ نق^٢

= $\frac{\mathrm{٢٢}}{\bcancel{\mathrm{٧}}} \times \bcancel{ \mathrm{٧}}$ × ٧

= ١٥٤

(٨) في الشكل المقابل: دائرة م، قسمت إلى ثلاثة قطاعات دائرية متساوية المساحة، فإذا كان طول قوس القطاع ٤٤ سم ومحيط القطاع الواحد ٨٦ سم. فاحسب:

أ) طول نصف قطر الدائرة.

محيط القطاع = القوس × ٢ نق

٨٦ = ٤٤ + ٢ نق

٢نق = ٨٦ - ٤٤ = ٤٢ سم

نق = $\frac{\mathrm{٤٢}}{\mathrm{٢}}$ = ٢١ سم.

ب) مساحة القطاع الواحد. (اعتبر $\mathrm{\pi }$ $\simeq$ $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٧}}$)

مساحة القطاع الواحد = $\frac{\mathrm{\pi } {\mathrm{نق}}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{٣}}$ = $\frac{{\displaystyle \frac{\mathrm{٢٢}}{\bcancel{\mathrm{٧}}}}\times \bcancel{{\mathrm{٢١}}^{\mathrm{٣}} }\times \mathrm{٢١}}{\mathrm{٣}}$ = $\frac{\mathrm{٦٦} \times \mathrm{٢١}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١٣٨٦}}{\mathrm{٣}}$

= ٤٦٢ سم^٢