الدرس الأول: النسبة

١) عددان صحيحان النسبة بينهما ٣ : ٧، إذا طرح من كل منهما ٥ أصبحت النسبة ١ : ٣ أوجد العددين؟

نفرض العددان ٣س، ٧س

$\frac{\mathrm{٣}س - \mathrm{٥}}{\mathrm{٧}س - \mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

٣ (٣س - ٥) = ١ (٧س - ٥)

٩س - ١٥ = ٧س - ٥

٩س - ٧س = - ٥ + ١٥

٢س = ١٠

س = ٥

العددان هما ٣ × ٥ = ١٥، ٧ × ٥ = ٣٥

٢) عددان صحيحان النسبة بينهما ٢ : ٣، وإذا أضيف للأول ٧ وطرح من الثاني ١٢ صارت النسبة بينهما ٥ : ٣؛ أوجد العددين.

نفرض العددان ٢س، ٣س

$\frac{\mathrm{٢}س + \mathrm{٧}}{\mathrm{٣}س - \mathrm{١٢}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$

٥ (٣س - ١٢) = ٣ (٢س + ٧)

١٥س - ٦٠ = ٦س + ٢١

١٥س - ٦س = ٢١ + ٦٠

٩س = ٨١

س = ٩

العددان هما ٢ × ٩ = ١٨، ٣ × ٩ = ٢٧

٣) أوجد العدد الذي إذا طرح ثلاثة أمثاله من حدى النسبة $\frac{\mathrm{٤٩}}{\mathrm{٦٩}}$ فإنها تصبح $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

نفرض العدد س، ثلاثة أمثاله ٣س

$\frac{\mathrm{٤٩} - \mathrm{٣}س}{\mathrm{٦٩} - \mathrm{٣}س}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

٣ (٤٩ - ٣س) = ٢ (٦٩ - ٣س)

١٤٧ - ٩س = ١٣٨ - ٦س

-٩س + ٦س = ١٣٨ - ١٤٧

-٣س = - ٩

س = ٣

العدد هو ٣

٤) أوجد العدد الذي إذا أضيف مربعه إلى كل من حدى النسبة ٧ : ١١ فإنها تصبح ٤ : ٥

نفرض العدد س، مربعه س^٢

$\frac{\mathrm{٧} + {س}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{١١} + {س}^{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$

٥ (٧ + س^٢) = ٤ (١١ + س^٢)

٣٥ + ٥س^٢ = ٤٤ + ٤س^٢

٥س^٢ - ٤س^٢ = ٤٤ - ٣٥

س^٢ = ٩ نأخذ الجذر التربيعي للطرفين.

س = $\pm$ ٣

العدد هو ٣ أو -٣

٥) أوجد العدد الموجب الذي إذا أضيف مربعه إلى كل من حدى النسبة ٥ : ١١ فإنها تصبح ٣ : ٥

نفرض العدد س، مربعه س^٢

$\frac{\mathrm{٥} + {س}^{\mathrm{٢}}}{\mathrm{١١} + {س}^{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

٥ (٥ + س^٢) = ٣ (١١ + س^٢)

٢٥ + ٥س^٢ = ٣٣ + ٣س^٢

٥س^٢ - ٣س^٢ = ٣٣ - ٢٥

٢س^٢ = ٨

س^٢ = ٤

س = $\pm$ ٢

العدد هو ٢ أو -٢