تمارين عامة على الوحدة

١) إذا كانت التكلفة الكلية (ص) لرحلة ما بعضها ثابت (أ) والآخر يتناسب طردياً مع عدد المشتركين س؛ فاختر الإجابة الصحيحة:

أ) ص = أ س

ب) ص = $\frac{أ}{س}$

جـ) ص = أ + $\frac{م}{س}$ (م ثابت $\ne$ ٠)

د) ص = أ + م س (م ثابت $\ne$ ٠)

٢) إذا كانت ص $\propto$ س وكانت ص = ٤٠ عندما س = ١٤ فأوجد س عندما ص = ٨٠

ص $\propto$ س، ص = م س

٤٠ = م × ١٤

$\frac{{\bcancel{\mathrm{٤٠}}}^{\mathrm{٢٠}}}{{\bcancel{\mathrm{١٤}}}^{\mathrm{٧}}}$ = م

م = $\frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{٧}}$

العلاقة هي ص = $\frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{٧}}$ س

٨٠ = $\frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{٧}}$ س $\Leftarrow$ س = ٨٠ ÷ $\frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{٧}}$ = ٨٠ × $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٢٠}}$ = ٢٨

٣) تسير سيارة بسرعة ثابتة بحيث تتناسب المسافة المقطوعة طردياً مع الزمن، فإذا قطعت السيارة ١٥٠ كيلو متراً في ٦ ساعات؛ فكم كيلو متراً تقطعها السيارة في ١٠ ساعات؟

ف $\propto$ ز

$\frac{{ف}_{\mathrm{١}}}{{ف}_{\mathrm{٢}}}=\frac{{ز}_{\mathrm{١}}}{{ز}_{\mathrm{٢}}}$

$\frac{\mathrm{١٥٠}}{{ف}_{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١٠}}$

ف_٢ = $\frac{\mathrm{١٥٠} \times \mathrm{١٠}}{\mathrm{٦}}$ = ٢٥٠ كم.

٤) إذا كان وزن جسم على القمر (و) يتناسب طردياً مع وزنه على الأرض (ر)، وإذا كان الجسم يزن ٨٤ كيلو جراماً على الأرض، ووزنه ١٤ كيلو جراماً على القمر؛ فماذا يكون وزن الجسم على القمر إذا كان وزنه على الأرض ١٤٤ كيلو جراماً؟

و $\propto$ ر

$\frac{{و}_{\mathrm{١}}}{{و}_{\mathrm{٢}}}=\frac{{ر}_{\mathrm{١}}}{{ر}_{\mathrm{٢}}}$

$\frac{\mathrm{١٤}}{{و}_{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{٨٤}}{\mathrm{١٤٤}}$

و_٢ = $\frac{\mathrm{١٤} \times \mathrm{١٤٤}}{\mathrm{٨٤}}$ = ٢٤ كجم.

٥) إذا كانت ص تتغير عكسياً مع س وكانت ص = ٢ عندما س = ٤ فأوجد قيمة ص عندما س = ١٦

ص $\propto$$\frac{\mathrm{١}}{س}$

ص = $\frac{م}{س}$

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١}}=\frac{م}{\mathrm{٤}}$

م = ٢ × ٤ = ٨

ص = $\frac{\mathrm{٨}}{س}$

عند س = ٣٦

$\therefore$ ص = $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٢}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

٦) إذا كانت أ، ب، جـ، د، في تناسب متسلسل فأثبت أن:

أ) $\frac{{أ}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣}{\mathrm{جـ}}^{\mathrm{٢}}}{{ب}^{\mathrm{٢}} - \mathrm{٣}{د}^{\mathrm{٢}}}=\frac{ب}{د}$

$\frac{أ}{ب}=\frac{ب}{\mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{جـ}}{د}$ = م

جـ = ء م^٢، ب = ء م^٢، أ = ء م^٣

الأيسر = $\frac{ء {م}^{\mathrm{٢}}}{ء}$ = م^٢ (١)

الأيمن = $\frac{{ء}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٦}} - \mathrm{٣}{ء}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٢}}}{{ء}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٤}} - \mathrm{٣} {ء}^{\mathrm{٢}}}=\frac{{ء}^{\mathrm{٢}} {م}^{\mathrm{٢}} ({م}^{\mathrm{٤}} - \mathrm{٣})}{{ء}^{\mathrm{٢}} ({م}^{\mathrm{٤}} - \mathrm{٣})}$ = م^٢ (٢)

من ١) و٢) الطرفان متساويان.

ب) $\frac{\mathrm{٢} أ + \mathrm{٣} د}{\mathrm{٣} أ - \mathrm{٤}د}=\frac{\mathrm{٢} {أ}^{\mathrm{٣}} + \mathrm{٣}{ب}^{\mathrm{٣}}}{\mathrm{٣}{أ}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٤}{ب}^{\mathrm{٣}}}$

$\frac{أ}{ب}=\frac{ب}{\mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{جـ}}{د}$ = م

جـ = ء م^٢، ب = ء م^٢، أ = ء م^٣

الأيمن = $\frac{\mathrm{٢} ء {م}^{\mathrm{٣}} + \mathrm{٣}ء}{\mathrm{٣} ء {م}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٤} ء}=\frac{ء (\mathrm{٢} {م}^{\mathrm{٣}} + \mathrm{٣})}{ء (\mathrm{٣}{م}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٤})}$ = $\frac{\mathrm{٢}{م}^{\mathrm{٣}} + \mathrm{٣}}{\mathrm{٣}{م}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٤}}$ (١)

الأيسر = $\frac{\mathrm{٢} {ء}^{\mathrm{٣}} {م}^{\mathrm{٩}} + \mathrm{٣}{ء}^{\mathrm{٣}}{م}^{\mathrm{٦}}}{\mathrm{٣} {ء}^{\mathrm{٣}} {م}^{\mathrm{٩}} - \mathrm{٤} {ء}^{\mathrm{٣}} {م}^{\mathrm{٦}}}= \frac{ء م (\mathrm{٢}{م}^{\mathrm{٣}} + \mathrm{٣})}{ء م (\mathrm{٣} {م}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٤})}=\frac{ء (\mathrm{٢} {م}^{\mathrm{٣}} + \mathrm{٣})}{ء (\mathrm{٣}{م}^{\mathrm{٣}} - \mathrm{٤})}$ (٢)

الطرفان متساويان.

٧) إذا كان $\frac{س}{\mathrm{٢}أ + ب}=\frac{ص}{\mathrm{٢}ب - \mathrm{جـ}}=\frac{ع}{\mathrm{٢}\mathrm{جـ} - أ}$ فأثبت أن $\frac{\mathrm{٢}س + ص}{\mathrm{٤}أ + \mathrm{٤}ب - \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{٢}س + \mathrm{٢}ص + ع}{\mathrm{٣} أ + \mathrm{٦}ب}$

نضرب حدي النسبة الأولى × ٢ وجمع مقدمات وتوالي النسبتين الأولى والثانية

$\frac{\mathrm{٢}س + ص}{\mathrm{٤}أ + \mathrm{٤}ب - \mathrm{جـ}}=\frac{\mathrm{٢}س + ص}{\mathrm{٤}أ + \mathrm{٤}ب - \mathrm{جـ}}$ = إحدى النسب (١)

نضرب حدي النسبة الأولى × ٢، نضرب حدي النسبة الثانية × ٢ وجمع مقدمات وتوالي النسب الثلاثة.

$\frac{\mathrm{٢}س + \mathrm{٢}ص + ع}{\mathrm{٤}أ + \mathrm{٢}ب + \mathrm{٤}ب - \mathrm{٢}\mathrm{جـ} + \mathrm{٢}\mathrm{جـ} - أ}$ = $\frac{\mathrm{٢}س + \mathrm{٢}ص + ع}{\mathrm{٣}أ + \mathrm{٦} ب}$ إحدى النسب (٢)

من ١) و٢) $\therefore$ $\frac{\mathrm{٢}س + ص}{\mathrm{٤}أ + \mathrm{٤}ب - \mathrm{جـ}}$ = $\frac{\mathrm{٢}س + \mathrm{٢}ص + ع}{\mathrm{٣}أ + \mathrm{٦} ب}$

٨) الربط بالهندسة: س، ص، ع أطوال ثلاثة أضلاع متناسبة في مثلث وكان س + ص = ١٥ سم، ص + ع = ٢٢,٥ سم؛ فأوجد س : ص.

س، ص، ع في تناسب متسلسل

$\frac{س}{ص}=\frac{ص}{س}$

بجمع مقدمات وتوالي الانسبتين

$\frac{س + ص}{ص + ع}$ إحدى النسب

$\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٥},\mathrm{٢٢}}$ إحدى النسب

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ إحدى النسب.

$\frac{س}{ص}=\frac{ص}{س}$ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

س : ص = ٢ : ٣

٩) تطبيقات حياتية: في مجال اهتمام الدولة بالريف المصري، ورصدت الدولة مبلغ ١,٨٥ × ^٦١٠ جنيه لإحدى القرى لبناء مدرسة، ووحدة صحية ومركز شباب، فإذا كانت تكاليف المدرسة $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ من تكاليف الوحدة الصحية، وتكاليف الوحدة الصحية $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$ من تكاليف مركز الشباب؛ فما هي تكاليف كل منها؟

س = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$ ص، ص = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$ ع

$\frac{س}{ص}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}$، $\frac{ص}{ع}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

$$\begin{gathered} س : ص : ع \\ \mathrm{٣} : \mathrm{٢} : \mathrm{٢} \\ \underline{\mathrm{٥} : \mathrm{٥} : \mathrm{٦}} \\ \mathrm{١٥} \mathrm{١٠} : \mathrm{١٢} \end{gathered}$$

س + ص + ع = ١,٨٥ × ^٦١٠

١٥ م + ١٠ م + ١٢ م = ١,٨٥ × ^٦١٠

٣٧ م = ١,٨٥ × ^٦١٠

م = $\frac{\mathrm{٨٥},\mathrm{١} \times {\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٦}}}{\mathrm{٣٧}}$ = ٥٠٠٠٠

س = ١٥ × ٥٠٠٠٠ = ٧٥٠٠٠٠

ص = ١٠ × ٥٠٠٠٠ = ٥٠٠٠٠٠

ع = ١٢ × ٥٠٠٠٠ = ٦٠٠٠٠٠

١٠) تطبيقات حياتية: إذا كان عدد الساعات (ن) اللازمة لإنجاز عمل ما يتناسب عكسياً مع عدد العمال (س) الذين يقومون بهذا العمل، فإذا أنجز العمل ٦ عمال في أربع ساعات، فما الزمن الذي يستغرقه ٨ عمال لإنجاز هذا العمل؟

ن $\propto$ $\frac{\mathrm{١}}{س}$

$\frac{{ن}_{\mathrm{١}}}{{ن}_{\mathrm{٢}}}=\frac{{س}_{\mathrm{٢}}}{{س}_{\mathrm{١}}}$

$\frac{\mathrm{٤}}{{ن}_{\mathrm{٢}}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٦}}$

ن_٢ = $\frac{\mathrm{٤} \times \mathrm{٦}}{\mathrm{٨}}$ = ٣ ساعات عمل.